Qu'est-ce que c'est vraiment une dérivée?

[ChinoisFou]

Salut ! Je suis un étudiant en école d'ingé, et je viens de me rendre compte à quel point il y a un concept simple que je ne comprends pas : la dérivée en mécanique...

Alors oui, je vois c'est quoi dans l'idée (coefficient directeur de la tangente à la courbe à un certain point etc....), mais je ne comprends pas toujours son application dans la plupart de mes cours de méca :
Quand on me dit quelque chose de simple comme: a=dv/dt, ok c'est clair, l'accélération c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, là tout va bien.

Mais à présent que l'on aborde des théorèmes notamment sur le travail, j'ai l'impression que le concept de dérivée n'a plus de sens. Prenons en exemple le théorème de l'énergie cinétique:

"dW = dEc"

Mais finalement, qu'est-ce que réellement "dW"? Mes professeurs me disent toujours "Ben c'est la dérivée du travail". Oui, mais ça veut dire quoi la dérivée du travail, concrètement? Dérivée du travail = dérivée de l'Energie cinétique, oui mais encore? Comment puis-je me le représenter concrètement pour comprendre cette notion?

Autre exemple:

On me dit dl = v.dt donc : (il manque les vecteurs que je sais pas comment insérer malhereusement)
<=> dW=F.dl
<=> dW=F.v*dt
<=> dW/dt = F.v

Et là je comprends rien... Depuis quand est-il possible de balancer dt comment je veux?? Donc ça voudrait dire quoi F.v.dt ??? Force.Vitesse x dérivée du temps?

Désolé si je m'exprime mal pour essayer d'expliquer mon incompréhension...

Merci d'avance pour votre aide, ça serait franchement génial

Bonne journée à tous/toutes !
-----

[gts2]

Bonjour,

On va essayer avec les mains (mais les cours de physique utilisent toujours les notions de maths de l'année n+1 !)
Soit une fonction f, vous savez définir la dérivée df/dx, on peut définir la différentielle df, application linaire tangente (courbe noire ci-dessous), on voit (se reporter au dessin) que cette fonction s'écrit bien df=f'(x).dx.
On voit donc que formellement, on peut passer de f'(x)=df/dx à df=f'(x)dx
On voit également le point de vue physicien : si on ne s'écarte pas trop du point x, df représente la variation de la fonction f lorsque x varie de dx.

Le cas du travail est un peu à part, il n' y a pas de fonction travail que l'on pourrait dériver (sauf cas particulier), mais on peut généraliser le point de vue précédent, dW est le travail correspondant à un déplacement dl.
En terme de vocabulaire, on dit que dW est le travail élémentaire correspondant au déplacement élémentaire dl.
Par contre dl est bien une différentielle, on peut écrire dl=l' dt et comme la dérivée de la position est la vitesse.
Le dt est la variable précédente (de nouveau cf. dessin)

Ceci est un début très approximatif d'explication ...

[chris28000]

Mais à présent que l'on aborde des théorèmes notamment sur le travail, j'ai l'impression que le concept de dérivée n'a plus de sens. Prenons en exemple le théorème de l'énergie cinétique:

"dW = dEc"

Mais finalement, qu'est-ce que réellement "dW"? Mes professeurs me disent toujours "Ben c'est la dérivée du travail". Oui, mais ça veut dire quoi la dérivée du travail, concrètement? Dérivée du travail = dérivée de l'Energie cinétique, oui mais encore? Comment puis-je me le représenter concrètement pour comprendre cette notion?

Autre exemple:

On me dit dl = v.dt donc : (il manque les vecteurs que je sais pas comment insérer malhereusement)
<=> dW=F.dl
<=> dW=F.v*dt
<=> dW/dt = F.v

Bonsoir,
Si la force F est constante pendant un trajet et si le mouvement est rectiligne, on peut écrire W = F.l où l est le vecteur déplacement.
Mais c'est rarement le cas, donc on est obligé de sommer des petits travaux sur des petits déplacement dl : on a donc des petits travaux F.dl car pendant un petit déplacement dl , la force F est constante. et on note ces petits travaux dW

[chris28000]

Et puis pendant un petit déplacement dl on peut supposer que la vitesse est constante de valeur v . On a donc parcouru dl pendant un temps dt = dl/v

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

Salut ! Je suis un étudiant en école d'ingé, et je viens de me rendre compte à quel point il y a un concept simple que je ne comprends pas : la dérivée en mécanique...

Alors oui, je vois c'est quoi dans l'idée (coefficient directeur de la tangente à la courbe à un certain point etc....), mais je ne comprends pas toujours son application dans la plupart de mes cours de méca :
Quand on me dit quelque chose de simple comme: a=dv/dt, ok c'est clair, l'accélération c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, là tout va bien.

Mais à présent que l'on aborde des théorèmes notamment sur le travail, j'ai l'impression que le concept de dérivée n'a plus de sens. Prenons en exemple le théorème de l'énergie cinétique:

"dW = dEc"

Mais finalement, qu'est-ce que réellement "dW"? Mes professeurs me disent toujours "Ben c'est la dérivée du travail".

Non je ne sais pas si tes professeurs disent vraiment ça, mais c'est incorrect. Il y a une confusion de vocabulaire. dW n'est pas une dérivée mais une différentielle, comme dv ou dt . Une dérivée peut etre vue comme le rapport de deux différentielles , comme dv/dt.

La notion de différentielle n'est pas si facile que ça à rendre rigoureuse mathématiquement. Pour un physicien, c'est "une petite quantité infinitésimale", qu'il se "représente" comme une quantité tendant vers zéro. dt par exemple c'est un "petit intervalle de temps tendant vers zéro", comme dx est "un petit intervalle d'espace tendant vers zéro". Le rapport des deux dx/dt en revanche ne tend pas vers zéro, il tend vers une constante qui est la vitesse.

Un mathématicien ne se satisfera pas d'une notion aussi vague d'une "petite quantité tendant vers zéro", et il donnera une définition plus abstraite mais plus correcte mathématiquement d'une différentielle (une application linéaire tangente); dans une écriture comme dW = F.dl , il faut comprendre que dW et dl ne sont pas des nombres mais des applications (dW est une combinaison linéaire de dx, dy, dz avec les coefficients Fx, Fy, Fz). La notation dW/dt n'est pas correcte mathématiquement en tant que division entre applications, mais doit plutot être comprise comme une notation symbolique du coefficient de proportionnalité entre dW et dt . Ainsi on pourrait écrire correctement :

dW = (F.v) dt
dW = (dW/dt) dt

et par identification des coefficients entre parenthèses dW/dt = F.v

ce qui revient au même que "diviser par dt" la première équation.

[Arollencore]

Bonjour.
Je pense que le plus simple c'est: une dérivée, c'est un taux de variation.

[gts2]

Je pense que le plus simple c'est: une dérivée, c'est un taux de variation.

On est d'accord, mais le problème est que le titre "Qu'est-ce que c'est vraiment une dérivée?" ne reflète pas la "vraie" question qui est "qu'est-ce qu'une différentielle ?"

[syborgg]

Ne le prenez pas mal les amis, mais en tant que mathematicien, je ne comprends toujours pas pourquoi l'enseignement de la physique sur les differentielles en est reste au 18eme siecle (des "petites variations" de la variable et de la fonction, des rapports entre ces choses indefinies qui ne sont pas "vraiment" des nombres reels etc..).
N'existe il pas de cours de physique niveau fac au 21eme siecle qui presente ces concepts si cruciaux pour la discipline de maniere rigoureuse ? C'est a dire : soit la notion mathematique classique de differentielle definie proprement comme application lineaire, soit si on tient tant aux infinitesimaux l'analyse non standard ?

[Black Jack 2]

Bonjour,

Remarquer que la notation dx/dt interprétée par les "Physiciens" comme le rapport de deux "infiniment petits" a été, depuis les années 1960, incluse (et donc "légalisée" mathématiquement) dans une théorie mathématique rigoureuse.

C'est la théorie mathématique de "l'analyse non standard" (ANS) qui a défini clairement (entre autres choses) la notion "d'infiniment petits" et établit leurs règles d'utilisation (comme par exemple la division de deux infiniment petits).

Voir par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

EDIT

Pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.

[Archi3]

Ne le prenez pas mal les amis, mais en tant que mathematicien, je ne comprends toujours pas pourquoi l'enseignement de la physique sur les differentielles en est reste au 18eme siecle (des "petites variations" de la variable et de la fonction, des rapports entre ces choses indefinies qui ne sont pas "vraiment" des nombres reels etc..).
N'existe il pas de cours de physique niveau fac au 21eme siecle qui presente ces concepts si cruciaux pour la discipline de maniere rigoureuse ? C'est a dire : soit la notion mathematique classique de differentielle definie proprement comme application lineaire, soit si on tient tant aux infinitesimaux l'analyse non standard ?

c'est simplement parce qu'un physicien se contentera souvent d'une image intuitive et d'une règle pratique d'utilisation qui soit correcte, plutot que de se préoccuper de rigueur mathématique dans la définition. Il est vrai que des images intuitives peuvent conduire à des erreurs de raisonnement (comme par exemple la flèche d'Achille qui ne peut pas rattraper la tortue), mais dans le cas des différentielles, les penser comme des petits nombres qu'on peut multiplier et diviser ne prête pas vraiment à problème, justement comme l'analyse non standard permet de le formaliser. C'est pareil que les "distributions delta" qui sont visualisées comme des concentrations de densité infinie en un point et d'intégrale finie, (en gros l'inverse d'une différentielle !), ce qui n'est pas correct mathématiquement.

[syborgg]

c'est simplement parce qu'un physicien se contentera souvent d'une image intuitive et d'une règle pratique d'utilisation qui soit correcte, plutot que de se préoccuper de rigueur mathématique dans la définition. Il est vrai que des images intuitives peuvent conduire à des erreurs de raisonnement (comme par exemple la flèche d'Achille qui ne peut pas rattraper la tortue), mais dans le cas des différentielles, les penser comme des petits nombres qu'on peut multiplier et diviser ne prête pas vraiment à problème, justement comme l'analyse non standard permet de le formaliser. C'est pareil que les "distributions delta" qui sont visualisées comme des concentrations de densité infinie en un point et d'intégrale finie, (en gros l'inverse d'une différentielle !), ce qui n'est pas correct mathématiquement.

Oui tout cela je le sais bien sur. Ma question etait plutot pourquoi l'enseignement de la physique en universite ou en prepa continue encore au 21eme siecle de se "contenter" de ce pis aller ?
D'autant plus que :

1) durant la meme annee, le prof de physique dit "vous verrez ca plus en detail en cours de maths", et le prof de math ne raccroche pas les wagons la plupart du temps. Comme si il s'agissait de 2 mondes disjoints, alors bien entendu que c'est deux manieres de parler de la meme chose.
2) Il ne serait pas difficile que ces choses la se presentent rigoureusement en cours de physique. Un peu plus de temps, mais ca serait un investissement qui vaudrait franchement le coup.

Mon hypothese c'est que l'enseignement de la physique s'accroche par simple inertie a une tradition qui remonte a plusieurs siecles. Je me trompe ?

[gts2]

Prenons une "non-dérivée" comme la charge volumique dQ/dV, comment présenter cela proprement mathématiquement parlant en L1 ?

[jacknicklaus]

@syborgg :
tu parles d'or. Je me rappelle fort bien mon désarroi, en 1ère année de prépa, lors des cours de physique su ces notions. Introduire proprement, et assez tôt, les notions de différentielles, ce serait pas du luxe. Je me rappelle aussi, plus tard, ma colère après la découverte des formes différentielles qui présentent le sujet sur un tout autre jour, et amènent une écriture tellement plus simple (Maxwell) des problématiques physique. Pourquoi on n'en parle pas plus tôt !

Je n'ai jamais compris pourquoi l'enseignement de ces notions indispensables en physique était aussi peu et mal organisé.

[syborgg]

Je n'ai jamais compris pourquoi l'enseignement de ces notions indispensables en physique était aussi peu et mal organisé.

Voila tout le probleme en effet. Mon hypothese (peut etre fausse discutons-en !) est l'inertie de la tradition.

[azizovsky]

C'est comme la définition d'une différentielle est un objet hors portée d'un L1 ...pfff.

[azizovsky]

Je viens d'ouvrir un livre de maths (digne de ce nom, édition Mir Moscou), dés la définition de la dérivée (obtenue géométriquement), il parle de la différentielle et des conditions pour qu'une variation de la fonction soit exactement une différentielle et des précisions et ...(tous à partir d'un seul dessin : de la géométrie.... )

ps: la méthode inductive vs déductive .

[gts2]

Pour la différentielle de fonction, pas de problème, enfin je pense, un dessin comme celui du message #2 peut suffire ?

Mais pour les densités, les différentielles type travail, chaleur, on présente cela comment ?

[azizovsky]

Pour la différentielle de fonction, pas de problème, enfin je pense, un dessin comme celui du message #2 peut suffire ?

Mais pour les densités, les différentielles type travail, chaleur, on présente cela comment ?

Oui, ton dessin suffit à faire naître un concept, et de jongler avec pour résoudre quelques problèmes jusqu'à que le concept basique ne suffit pas, il passe à l'étape suivante, au moins il va maîtriser l'évolution du concepts..., on voit déjà que le titre est faux, une différentielle au lieu de dérivée, ce n'est pas sa faute ...

[jacknicklaus]

Je viens d'ouvrir un livre de maths (digne de ce nom, édition Mir Moscou)

Le Smirnov ?

[azizovsky]

Oui et d'autres qui veulent êtres généralistes ( introduire des notions d'espace métrique, compact,...,en filigrane dès le départ pour ne pas avoir des problèmes après quand t'il rentre dans le vif du sujet ).

pS: un livre où il y'a que des définitions, propositions ou théorèmes, je ne prend même pas la peine de voir ce qu'il contient (les méthodes axiomatiques...).
les maths comme les autres disciplines, les idées évolues... et surtous pour un esprit "géométrisé" comme le mien ....

[azizovsky]

Je ne suis qu'un amateur et je sais de quoi je parle, la dérivée (tangente) je l'ai utilisé dans un chantier pour faire le carrelage dans les escaliers, le type est un ingénieur qui voulais savoir ce que je cherche à faire avant de m'aider, j'ai tracé une droite sur une feuille et je l'ai plié comme les murs ...., je devais chercher l'angle d'attaque pour que tous soit aligner avec un truck qu'on appelle 'souffle feu' pour une bonne décoration ...,V.Smirnov a participé indirectement .... , c'est là qu'on apprend c'est quoi une ensemble carrable de Jordan, les mesures: Riemann, Lebesgue,..., dans le tas .

[azizovsky]

Un résumé: https://video.irem.univ-paris-didero...a?start=21m17s

[ChinoisFou]

Waaaouh ! Merci à tous pour vos réponses... Désolé de pas tous vous avoir remercié, c'est la première fois que j'utilise ce forum, et vu que j'ai pas eu de notifs dans mes messages je croyais que perosnne ne m'avait répondu. Du coup je me suis dit que j'allais jeter un coup d'oeuil au thread pour voir, et surprise ! Quoiqu'il en soit, merci à tous, c'est super gentil de votre part

[syborgg]

Waaaouh ! Merci à tous pour vos réponses... Désolé de pas tous vous avoir remercié, c'est la première fois que j'utilise ce forum, et vu que j'ai pas eu de notifs dans mes messages je croyais que perosnne ne m'avait répondu. Du coup je me suis dit que j'allais jeter un coup d'oeuil au thread pour voir, et surprise ! Quoiqu'il en soit, merci à tous, c'est super gentil de votre part

Si tu veux avoir une presentation du sujet qui allie la rigueur mathematique avec la maniere de penser des physiciens, je te conseille vivement la lecture du livre "Les Differentielles" de Frederic Pham.

[Archi3]

Waaaouh ! Merci à tous pour vos réponses... Désolé de pas tous vous avoir remercié, c'est la première fois que j'utilise ce forum, et vu que j'ai pas eu de notifs dans mes messages je croyais que perosnne ne m'avait répondu. Du coup je me suis dit que j'allais jeter un coup d'oeuil au thread pour voir, et surprise ! Quoiqu'il en soit, merci à tous, c'est super gentil de votre part

témoignage un peu surprenant pour les anciens de la façon dont les jeunes se comportent, mais les remerciements font toujours plaisir

[azizovsky]

Et si c'est l'auteur du livre proposer par ''syborgg'', ou de la même lignée ....(la probabilité n'est pas nulle avec son pseudo..), un expert dans la pédagogie ....: https://numerisation.univ-irem.fr/WR...2/IWR05002.pdf.
En tous cas, il sait de quoi il parle .(pas une Gedankenexperiment)

[syborgg]

Et si c'est l'auteur du livre proposer par ''syborgg'', ou de la même lignée ....(la probabilité n'est pas nulle avec son pseudo..), un expert dans la pédagogie ....: https://numerisation.univ-irem.fr/WR...2/IWR05002.pdf.
En tous cas, il sait de quoi il parle .(pas une Gedankenexperiment)

Oui je confirme, il s'agit bien du meme homme. Je ne connaissais pas cet article, merci de l'avoir signale il est fort interessant.