Réponse impulsionnelle - système dynamique

[Lilou0110]

Bonjour à tous,

Me revoilà confrontée à un problème de taille me paraissant insoluble, en espérant que vous puissiez m'aider !

J'ai un énoncé de modélisation épidémiologique (type SIR) dans lequel on me demande de calculer la sortie de mon système suite à une réponse impulsionnelle.
Je sais que avec u mon entrée, y ma sortie et et E ma réponse impulsionnelle. On me dit qu'à l'instant t=0, , avec e très petit.

Sauf que je suis complètement perdue et ne sais ni comment calculer mon u ni mon E (qui se déduit de la réponse indicielle, mais comment la calculer sachant que je ne connais pas u?)

Je ne sais pas si c'est très clair (auquel cas vous envoyer une partie de mon énoncé sera peut-être plus clair...?), si c'est réellement dans le thème physique ou non, mais voilà x)

Un grand merci par avance,

Lilou0110
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[gts2]

C'est en effet pas très clair : la deuxième expression n'a pas la même tête que la première (pas de (t-t"") ...), on somme sur quoi ?

A vu de nez, cela ressemble à l'intervention d'un pic de Dirac : en notation physicienne .

Si vous donniez l'expression exacte, on pourrait répondre plus précisément.

[Lilou0110]

Oups, il y a eu une erreur, pas de "y(t)=" dans la seconde expression...

Voici mes variables:

x1 = densité de susceptibles
x2 = densité d’infectés
u = flux de vaccination
y = x2 densité d’infectés (variable de sortie qui m'intéresse)

La question qui me pose problème est la suivante:
"On suppose que le système se trouve dans un régime stabilisé correspondant au point d'équilibre stable. À l'instant t = 0, on organise une campagne de vaccination ponctuelle, la densité totale d’individus vaccinés étant de 1. (Cela signifie donc ce que j'ai écrit, à savoir ?)
Calculer l'évolution dans le temps de y(t). Vous devrez passer par le calcul de la réponse impulsionnelle."

J'ai bien mon mais si on impose une impulsion de dirac, je n'ai pas sa valeur ? A moins que
Dans ce cas, je ne peux pas passer par une réponse indicielle ? (La question précédente était: "On suppose que le système se trouve dans un régime stabilisé correspondant au point d'équilibre stable. À partir de l'instant t = 0, on augmente le flux de vaccination de 1. Calculer l'évolution dans le temps de y(t). " donc je ne peux pas récupérer la réponse indicielle (= à la sortie, si j'ai bien compris) calculée à cette question ?)

[gts2]

Vous avez compris, il s'agit de mettre en forme :

1- à la question précédente, vous avez étudié une réponse indicielle
2- à cette question, vous étudiez une réponse impulsionnelle, donc l'entrée est en effet une impulsion unitaire (intégrale de 1), donc vous avez bien sa valeur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lilou0110]

Je crois que je ne comprends pas ... :/ Cela signifie que ma sortie sous réponse impulsionnelle est équivalente à celle sous réponse incidentelle ? (Car le dirac est l'élément neutre de la convolution ).

[gts2]

Prenons un simple intégrateur idéal, la réponse indicielle est une rampe, la réponse impulsionnelle un échelon, ce n'est quand même pas la même chose.

Comme vous connaissez la réponse impulsionnelle (je suppose), votre E(t"), et que cette réponse impulsionnelle est la réponse à une impulsion, il doit être facile de déterminer la réponse à une impulsion, non ?

Comment calculez-vous dans les deux cas pour trouver la même réponse ?

[Lilou0110]

Oui, on est d'accord que c'est aberrant mais dans mon cours, il est écrit que la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse indicielle. Soit I ma réponse indicielle, j'ai alors .
Si alors lors du calcul du produit de convolution, je retombe sur l'intégral de E soit I... (Ici, ce n'est pas aberrant de reprendre la réponse indicielle retrouvée dans la question précédente ?).

D'après ce que vous me dites, j'en comprends que E est ma sortie, mais je dois mal comprendre ? Pour moi, E était la manière dont était changé mon entrée pour aboutir à ma sortie. Est-ce le cas ?

Désolée pour mon incompréhension béate et merci beaucoup de votre patience et de vos réponses constructives, j'essaie vraiment de comprendre

[gts2]

Je repart de votre formule en prenant mon exemple d'intégrateur (1/p ou 1/s ou 1/i\omega..), la réponse impulsionnelle est un échelon, donc , donc E(t)=1 pour t>0.

Si on applique un échelon, la sortie sera , vaut 1 de t"=0 à t"=t puis 0 de t=t" à l'infini, l'intégrale vaut bien t, soit une rampe.

Si on applique une impulsion, la sortie sera

[gts2]

Je comprends que E est ma sortie, mais je dois mal comprendre ? Pour moi, E était la manière dont était changé mon entrée pour aboutir à ma sortie. Est-ce le cas ?

E est la sortie correspondant à une réponse impulsionnelle, et donc le théorème adéquat dit en effet qu'il faut "combiner" E avec l'entrée pour aboutir à la sortie.

[gts2]

Dans mon cours, il est écrit que la réponse impulsionnelle est la dérivée de la réponse indicielle. Soit I ma réponse indicielle, j'ai alors .

C'est bien cela : dans mon exemple, réponse indicielle rampe (t), réponse impulsionnelle (1 qui est bien la dérivée de t).

[Lilou0110]

Ok, je crois avoir mieux compris... et ça marche pour mon exercice donc c'est tout bon

Merci beaucoup !!