Équations de N-S appliquées à des turbulences

[iPhysics]

Bonjour à tous,

dans mon cours de mécanique des fluides, on aborde les fluides turbulents. Il y est dit que ces fluides sont non-newtoniens et qu'ainsi ils ne peuvent être modélisés par les équations de N-S qui correspondent aux équations de la dynamique des fluides newtoniens.

Or plus tard dans le cours, il est noté que le mouvement de turbulence peut être résolu théoriquement (évidemment je sais que l'existence, stabilité et unicité des solutions de N-S n'est pas prouvée pour chaque configuration fluide) en prenant les équations de N-S et en réalisant des simulations avec un pas de temps très discret et des grandes échelles de fluctuations turbulentes.

Je suis donc un peu confus. D'une part il nous a été présenté que 90% des fluides utilisés dans l'industrie obéissaient à un comportement newtonien (dont l'eau et l'air ambiant) mais sur d'autres sources je trouve que l'air et l'eau ne sont pas des fluides newtoniens (et il est vrai que l'air crée des turbulences...). Quelle information est correcte ? De plus, je sais qu'une des méthodes pour modéliser les turbulences est l'approche statistique des équations moyennées de N-S (de Reynolds), quid donc de la résolution du mouvement de turbulences par les équations simples 3D instationnaires de N-S ?

Merci d'avance pour vos réponses, et bonne fin d'année !
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[SULREN]

Bonjour,
En attendant que des biens plus calés que moi répondent à ton message, je me permets juste cette anecdote.

La turbulence est un problème très difficile, presque au-delà de la connaissance.
Beaucoup de grands physiciens s’y sont intéressés, mais ont trouvé le sujet trop dangereux pour qu’on s’y attarde.

On raconte que le grand théoricien quantique Werner Heisenberg a déclaré sur son lit de mort qu’il poserait à Dieu ces deux questions:
- Pourquoi la relativité existe-t-elle ?
- Pourquoi la turbulence existe-t-elle ?
Et il a ajouté : « je suis persuadé qu’il pourra répondre à la première question ».

[gts2]

Bonjour,

Idem pour moi : "En attendant que des biens plus calés que moi ..."

Mais je ne vois pas pourquoi turbulent = non-newtonien, vous avez vu cela où ?

[soliris]

Bonjour,

Il y a quelque chose d'évident qui me chiffonne dans cette équation présentée ici sous cette forme: : c'est : pourquoi la pression est-elle en négatif, puisqu'il est évident qu'elle l'emporte à tous les coups dans l'écoulement d'un débit quel qu'il soit et pourquoi on ne s'intéresse pas au rapport entre l'accélération due à la pression / l'accélération due au freinage visqueux. Bien entendu, on obtient un rapport d'efficacité du mouvement, sans dimension.

Mon problème est l'identification des termes à gauche de l'équation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Le signe - devant la pression signifie simplement que les fluides s'écoulent des fortes pressions vers les faibles.

[obi76]

Bon, je vais essayer de faire simple :

Il y est dit que ces fluides sont non-newtoniens et qu'ainsi ils ne peuvent être modélisés par les équations de N-S qui correspondent aux équations de la dynamique des fluides newtoniens.

Ca, c'est faux. Newtonien ou pas, les fluides peuvent avoir un comportement turbulent (ou pas).

Or plus tard dans le cours, il est noté que le mouvement de turbulence peut être résolu théoriquement (évidemment je sais que l'existence, stabilité et unicité des solutions de N-S n'est pas prouvée pour chaque configuration fluide) en prenant les équations de N-S et en réalisant des simulations avec un pas de temps très discret et des grandes échelles de fluctuations turbulentes.

Non, soit on résout "théoriquement", soit on simule.En l'occurence on arrive à simuler des écoulements turbulents, oui. En fait, lorsqu'on a un écoulement turbulent, on peut regarder l'énergie en fonction de la taille des structures tourbillonaires : plus celles-ci sont petites, plus l'énergie est faible (à cause de la dissipation turbulente : des tout petits tourbillons montrent un grand cisaillement -> ça part en chaleur, ainsi que par la cascade de Kolmogorov : les tourbillons ont tendance à se "casser" e tourbillons plus petits). Toute la question est : lorsqu'on simule un écoulement turbulent, peut-il y avoir des tourbillons plus petits que les mailles (et donc que l'on ne peut pas simuler) ?
- soit non, on appelle ça une DNS (Direct Numerical Simulation) : on résout absolument toutes les échelles turbulentes, à un coût calcul souvent astronomique (en tous cas bien trop élevé pour être fait en un temps raisonnable).
- soit oui, et dans ce cas toutes les structures plus grandes que les mailles sont simulées (LES : Large Eddy Simulation), celles plus petites sont modélisées par des termes qu'on appelle des termes de sous-maille. Des modèles qui estiment la turbulence dans ces mailles en fonction de pas mal de paramètres (Reylonds, epsilon, etc.), éventuellement le transfert thermique, etc.

Je suis donc un peu confus. D'une part il nous a été présenté que 90% des fluides utilisés dans l'industrie obéissaient à un comportement newtonien (dont l'eau et l'air ambiant) mais sur d'autres sources je trouve que l'air et l'eau ne sont pas des fluides newtoniens (et il est vrai que l'air crée des turbulences...).

Enlevez-vous de la tête ce soit-disant lien entre Newtonien et turbulent : ça n'a rien à voir.

De plus, je sais qu'une des méthodes pour modéliser les turbulences est l'approche statistique des équations moyennées de N-S (de Reynolds), quid donc de la résolution du mouvement de turbulences par les équations simples 3D instationnaires de N-S ?

C'est UNE des méthodes (qu'on appelle RANS : Reynolds-Average Navier-Stokes). Le but est de trouver une solution statistiquement stationnaire d'un écoulement turbulent. Parfois ça marche, parfois non, mais dans tous les cas ça ne permet d'obtenir qu'un écoulement moyenné en temps (d'où le nom). C'est une autre approche que celles que j'ai présenté au dessus.

Pour résumer :
- moyenne en temps long : RANS
- résolution de la totalité de l'écoulement (instationnaire) : DNS
- résolution de l'écoulement instationnaire en modélisant l'intérieur des mailles : LES, ou avec des modèles k-epsilon pour les sous-mailles, etc.

[obi76]

Bonjour,

Il y a quelque chose d'évident qui me chiffonne dans cette équation présentée ici sous cette forme: Pièce jointe 428839: c'est : pourquoi la pression est-elle en négatif, puisqu'il est évident qu'elle l'emporte à tous les coups dans l'écoulement d'un débit quel qu'il soit et pourquoi on ne s'intéresse pas au rapport entre l'accélération due à la pression / l'accélération due au freinage visqueux. Bien entendu, on obtient un rapport d'efficacité du mouvement, sans dimension.

Mon problème est l'identification des termes à gauche de l'équation.

Qui n'a rien à voir avec la question initiale. Merci de ne pas polluer le fil (en plus c'est le gradient qui est en négatif, pas la pression. Rien à voir. "écoulement d'un débit" qui ne veut rien dire. Bref, no comment.).

[Calvert]

Salut,
petite correction de ma part (crois-je) au sujet de l'anecdote de Sulren : il ne s'agit pas d'Heisenberg, mais d'Horace Lamb (connu pour ses travaux sur la dynamique des fluides, et qui a laissé son nom à la fréquence de) :

I am an old man now, and when I die and go to heaven, there are two matters on which I hope for enlightenment. One is quantum electrodynamics and the other is the turbulent motion of fluids. About the former, I am really rather optimistic.

dans une annonce à la British Association for the Advancement of Science.

Ces propos sont rapportés, et donc à prendre avec les pincettes d'usage.

[SULREN]

Bonsoir,
Merci Calvert pour ce rectificatif.
J'avoue que je n'étais pas au chevet d'Heisenberg et que je me suis basé sur des propos rapportés dans un livre, eux-mêmes basés sur ...., etc.

Ce que je retiens de cette anecdote, à mon petit niveau, est que les ingénieurs savent vivre avec les aspects concrets de la turbulence (son instabilité, son caractère dissipatif), mais que les théoriciens s’arrachent encore les cheveux pour comprendre les fondements de ce sacré désordre à toutes les échelles, avec pleins de petits tourbillons à l’intérieur de plus grands tourbillons...

[iPhysics]

Tout d'abord merci pour vos réponses !

Il est vrai que je ne vois pas de rapport direct entre le fait qu'un fluide soit non newtonien et le fait qu'il ait un comportement turbulent. Voici un extrait de mon cours "L'expérience montre que les structures des écoulements visqueux satisfaisant les équations de N-S ne sont pas les seules que l'on rencontre -> Découverte des phénomènes turbulents".
Mais, oui, que je sache, la turbulence est due au mouvement, à la viscosité et à un débit critique ou Reynolds critique, ce qui n'est pas incompatible avec la définition de fluide newtonien.

En effet ces 3 méthodes de résolutions sont présentées (plus ou moins dans le détail) dans mon cours. Si j'ai bien compris, l'équation de N-S permet bien (en théorie) de déterminer le mouvement de tout fluide newtonien, avec ou sans turbulences MAIS les turbulences créent des "bouffées" (eddies) et des fluctuations de haute fréquence (bien plus haute que la fréquence propre des corps étudiés) et que par conséquent, la résolution de N-S étant particulièrement atroce, les fluctuations autour d'une valeur moyenne pour une grandeur physique donnée étant faibles par rapport à cette valeur moyenne et ayant une haute fréquence de fluctuations, on peut se contenter de résoudre le problème en ne considérant que le comportement associé à la valeur moyenne des grandeurs mises en jeu.



Pour ce qui est de l'anecdote sur Heinsenberg ou Lamb, cela ne m'étonne guère et il est vrai que l'anecdote est bonne !
Mais en effet, les ingénieurs vivent avec ce phénomène et c'est pour cela qu'ils ont recours à certaines méthodes telles que le moyennage en temps. En revanche, de ce que je comprends, la modélisation de ce phénomène qui semble erratique pose encore des problèmes aujourd'hui.

[obi76]

Tout d'abord merci pour vos réponses !

De rien

Il est vrai que je ne vois pas de rapport direct entre le fait qu'un fluide soit non newtonien et le fait qu'il ait un comportement turbulent. Voici un extrait de mon cours "L'expérience montre que les structures des écoulements visqueux satisfaisant les équations de N-S ne sont pas les seules que l'on rencontre -> Découverte des phénomènes turbulents".
Mais, oui, que je sache, la turbulence est due au mouvement, à la viscosité et à un débit critique ou Reynolds critique, ce qui n'est pas incompatible avec la définition de fluide newtonien.

C'est ça. Après, ne pas oublier que le Reynolds n'est qu'un indicateur. Dans la très grande majorité des cas ça donne une bonne idée s'il est très faible (< ~ 1000) ou très grand (> ~ 5000). Entre les deux "ça dépend" comme dirait l'autre. Et même à Reynolds très élevé, il est possible (mais exceptionnel) que ça reste laminaire. De toutes façons, puisque la longueur caractéristique à prendre en compte pour le Reynolds pour des géométrie complexes est parfois un peu arbitraire, c'est et ça restera un indicateur.
Le Reynolds c'est une approximation des effets dynamiques (UL) et sur la stabilisation par la viscosité (au dénominateur). Un écoulement visqueux peut être turbulent, tout dépend de ce ratio.

En effet ces 3 méthodes de résolutions sont présentées (plus ou moins dans le détail) dans mon cours. Si j'ai bien compris, l'équation de N-S permet bien (en théorie) de déterminer le mouvement de tout fluide newtonien, avec ou sans turbulences MAIS les turbulences créent des "bouffées" (eddies) et des fluctuations de haute fréquence (bien plus haute que la fréquence propre des corps étudiés) et que par conséquent, la résolution de N-S étant particulièrement atroce, les fluctuations autour d'une valeur moyenne pour une grandeur physique donnée étant faibles par rapport à cette valeur moyenne et ayant une haute fréquence de fluctuations, on peut se contenter de résoudre le problème en ne considérant que le comportement associé à la valeur moyenne des grandeurs mises en jeu.

C'est ça ! (fluide Newtonien ou non, d'ailleurs). Là vous parlez pour l'interaction fluide-structure, en regardant s'il n'y a pas une fréquence turbulente qui peut être proche des modes propres de la structure (par exemple pour la flèche de Notre-Dame, les ponts, etc.). Vous verrez que comme problème, il y a aussi l'acoustique dans certains cas (particulièrement problématique pour les réacteurs d'avion, les chaudières, par exemple).

Mais en effet, les ingénieurs vivent avec ce phénomène et c'est pour cela qu'ils ont recours à certaines méthodes telles que le moyennage en temps. En revanche, de ce que je comprends, la modélisation de ce phénomène qui semble erratique pose encore des problèmes aujourd'hui.

Ca dépend. On arrive quand même bien à simuler ce genre de choses de manière assez fidèle (faire gaffe aux codes commerciaux qui pour certains font un peu n'importe quoi. J'y vais également de ma petite anecdote : au labo on appelait certains codes de CFD "Color For Directors" , surtout en modélisation particulaire ).
Actuellement certaines grosses problématiques (dans les grandes lignes) sont les écoulements réactifs à grande échelle, les écoulements diphasiques, les structures dynamiques (pour résumer), et les structures poreuses. Et si vous cumulez les problèmes, alors là...

A noter qu'une méthode commence à devenir vraiment pas mal pour faire de la "DNS" à grande échelle : ce que l'on appelle les AMR (Adaptative Mesh Refinement). Il s'agit de mailler plus finement et dynamiquement les endroits où les structures deviennent très petites. Comme ça on fait d'une pierre deux coups : là où les structures sont très grosses, pas besoin de petites mailles : on les laisse grandes, là où les structures deviennent vraiment petites, on raffine. Ca permet de faire de la DNS avec un coup calcul "raisonnable". https://www.youtube.com/watch?v=bP9TmfreG1s