Vitesse initiale et trajectoire d'une pendule.

[inviteb1d82ffa]

Bonjour,

Je suis actuellement en classe de Première. Je dois réaliser un exercice, mais depuis deux jours j'essaie pleins de théories pour répondre à une question, mais n'y arrive pas.

On considère une pendule (de masse m) suspendue à un fil de longueur l. On nomme x, l'angle entre la position initiale A de la bille et une position parfaitement verticale 0. On nomme y, l'angle entre la position parfaitement verticale 0 de la bille et sa position finale B. J'ai déjà réalisé le schéma représentatif, établi le bilan des forces (Poids et Tension du fil), calculé leur travail pour A0 et 0B (Travail nul pour la tension, travail moteur du poids entre A et 0 et travail résistant entre 0 et B).

Seulement, je suis supposée trouver la valeur de la vitesse initiale Va pour laquelle l'angle y=2x, (et ce lors du premier passage de la pendule). J'ai donc essayé à partir du théorème de l'énergie cinétique, la conservation de l'énergie mécanique, mais n'arrive pas à trouver de valeurs pour Va. Sachant que je n'ai que comme données: g, l, x et m.
J'ai essayé d'exprimer Vb en fonction de Va, mais tombe sur des égalités ne me donnant aucune valeur.

Pourriez-vous me diriger vers une piste de réflexion ? je suis vraiment perdu.
Bonne journée à vous, et merci.
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[gts2]

Bonjour,

La bonne méthode est en effet la conservation de l'énergie mécanique.
Que vaut-elle en A ? et en B ?

[inviteb1d82ffa]

Em(a)= Ec(a) + Ep(a)= 1/2.m.Va^2 + m.g.l.(1-cos(x))
Em(b)= Ec(b) + Ec (b) = 1/2.m.Vb^2 - m.g.l (1-cos(2x))

Comme il y a conservation de l'énergie mécanique, Em(a) = Em(b)
Seulement je n'ai pas de valeur pour Vb, donc je vois pas comment il serait possible de déterminer numériquement Va?

[gts2]

Je suppose (je n'ai pas le texte exact) que la position finale est le maxi, donc Vb=0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb1d82ffa]

D'accord. Mais si je fais l'équation, je me retrouve avec une valeur de Va^2 négative, et le radicande d'une racine carrée ne peut être négative. Parce que du coup, on a :

1/2.m.Va^2 + m.g.l (1-cos (x)) = -m.g.l (1 -cos (2x))
donc Va^2= -2.g.l (1-cos (2x)) - 2. g.l (1- cos (x)).

Pour le texte, je vous le recopie ci-dessous:

On considère une pendule de masse m suspendue par un fil de longueur l. On néglige les forces de frottement. On écarte la pendule de sa position initiale (verticale), d'un angle x. Le mouvement du pendule s'inscrit dans un plan vertical. On note z l'altitude du pendule à l'instant t. On note v0, la vitesse de la bille lorsque z=0, et y l'angle entre la position verticale de la bille et la position finale de son premier passage. On x=25°, l=35cm=0,35m, g=9,8 c.m^-2

J'ai donc préalablement établi le bilan des forces s'appliquant au système, calculer leur travail, et établi que v0= racine carrée (2.g.l.(1-cos(x))).
Désormais, on me demande de trouver Va, la vitesse initiale du pendule pour lequel y=2x lors de son premier passage. On me demande simultanément de donner une expression littérale de v0, et de faire par la suite l'application numérique. (Je ne sais pas réellement si il faut donner l'expression de v0 pour pouvoir trouver vA, ou si c'est à réaliser par la suite).

Il s'agit de l'énoncé au complet, mais je ne vois pas d'indication qui pourrait m'aider.
En effet, Vb devrait être nul car l'énergie cinétique diminue avec l'altitude, et ce jusqu'à devenir nulle, ce qui permettrait la descente du pendule, c'est bien cela ?
Merci beaucoup.

[inviteb1d82ffa]

Par contre, si j'utilise le théorème de l'énergie cinétique, je trouve une valeur positive:

Ec(B)-Ec(A)= m.g.l (1- cos(x)) -m.g.l (1- cos(2x))

Va^2= -2.g.l (1- cos(x)) + 2.g.l (1 cos(2x))

Ce qui avec les valeurs numériques, me donne une vitesse initiale d'environ 1,3 m.s^-1
Est-ce la bonne réfléxion?

[gts2]

Pour ce qui est de votre réponse : 1/2.m.Va^2 + m.g.l (1-cos (x)) = -m.g.l (1 -cos (2x))
Pourquoi y-a-t-il un -mg d'un côté et +mg de l'autre, l'expression de l'énergie potentielle est unique (à vous de vérifier + ou -).

Pour ce qui est du texte : il n'est pas d'une clarté folle (en particulier je ne comprends pas le rôle de "lors de son premier passage").

v0= racine carrée (2.g.l.(1-cos(x))) suppose que le pendule est lâché sans vitesse initiale en x, ce qui est contradictoire avec le fait qu'il remonte jusqu'à 2x.

[gts2]

Par contre, si j'utilise le théorème de l'énergie cinétique, je trouve une valeur positive. Est-ce la bonne réfléxion?

C'est le même théorème présenté différemment. Disons que, cette fois, vous n'avez pas fait d'erreur de signe.

[inviteb1d82ffa]

Pour les signes: à vrai dire j'ai:

le Travail du poids, en za et zo: -m.g.-l(1-cos(x)) , car: -m.g.(zo -za), mais comme zo =0, et za= l.(1-cos (x)), j'ai bien: -m.g.-za, que je simplifie par : m.g.za)
le Travail du poids en zo et zb: -m.g.l (1-cos (2x)),

Le texte n'est pas très clair pour moi non plus, mais je pense que le premier passage signifie la première trajectoire (entre A la position initiale et B la position finale) que réalise le pendule lorsqu'il vient d'être lâché.
Mais dans tous les cas, merci beaucoup de m'avoir aidé.

[gts2]

Les travaux sont corrects, donc les énergies potentielles devraient l'être aussi.

Si vous lâchez un pendule à x, il ne remontera jamais à 2x.
Dit autrement la notion de lâché (donc vitesse nulle) est incompatible avec la recherche de vitesse initiale.