Cercle de Mohr

[srvo2021]

Bonjour,

J'ai des questions sur le cercle de Mohr.

Y a-t-il des personnes susceptibles d'y répondre ?

Merci par avance !
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[chaverondier]

J'ai des questions sur le cercle de Mohr.

Le cercle de Mohr permet une représentation graphique donnant

• les valeurs propres v.min et v.max,
• ainsi que les directions propres,

d'une matrice 2x2 symétrique A.

En effet, en résolvant l'équation du second degré :
........det(A-lambda I) = 0
on trouve les deux valeurs propres v.min et v.max ci-dessous :

• vmax = (axx+ayy)/2 + ([(axx-ayy)/2]²+axy²)]^0.5
• v.min = (axx+ayy)/2 - ([(axx-ayy)/2]²+axy²)]^0.5

Par définition du cerle de Mohr :

• d'une part le centre O du cercle de Mohr est situé sur l'axe des x en (axx+ayy)/2 = (v.max+v.min)/2
• d'autre part le rayon du cercle de Mohr vaut : R² = [(axx-ayy)/2]² + axy²

Le diamètre du cercle de Mohr vaut donc : D = 2R = v.max - v.min

Grâce à cette définition du cercle de Mohr on a :

• v.max = (v.max+v.min)/2 + (v.max-v.min)/2 = (axx+ayy)/2 + R
• v.min = (axx+ayy)/2 + R

Le cercle de Mohr coupe donc l'axe des x en P1 = (v.min, 0) et P2 = (v.max, 0)
il fournit ainsi graphiquement les deux valeurs propres de la matrice A.

Supposons maintenant, par exemple, axx > ayy
Considérons le point P = (axx, axy)

L'inclinaison phi de l'axe propre X relatif à la valeur propre v.max par rapport à la direction x
(c'est à dire la direction d'un vecteur propre vp défini par : A vp = v.max vp où vp = (vpx, vpy)) vérifie :

• tg(phi) = vpy/vpx = axy/(v.max - ayy) soit encore
• tg(phi) = axy/(axx - v.min)
• c'est à dire l'angle au sommet (P2 P1 P) de l'arc de cercle (P2 P)
• soit encore la moitié de l'angle au centre (P2 O P) de ce même arc de cercle (P2 P).

L'inclinaison phi de l'axe propre X associé à la valeur propre v.max de la matrice A est donc égale à l'inclinaison de la droite P1P passant par le point P1 = (v.min, 0) et par le point P = (axx, axy)