Y a-t-il des personnes susceptibles d'y répondre ?
Merci par avance !
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07/02/2021, 13h08
#2
chaverondier
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Re : Cercle de Mohr
Envoyé par srvo2021
J'ai des questions sur le cercle de Mohr.
Le cercle de Mohr permet une représentation graphique donnant
les valeurs propres v.min et v.max,
ainsi que les directions propres,
d'une matrice 2x2 symétrique A.
En effet, en résolvant l'équation du second degré : ........det(A-lambda I) = 0
on trouve les deux valeurs propres v.min et v.max ci-dessous :
vmax = (axx+ayy)/2 + ([(axx-ayy)/2]²+axy²)]^0.5
v.min = (axx+ayy)/2 - ([(axx-ayy)/2]²+axy²)]^0.5
Par définition du cerle de Mohr :
d'une part le centre O du cercle de Mohr est situé sur l'axe des x en (axx+ayy)/2 = (v.max+v.min)/2
d'autre part le rayon du cercle de Mohr vaut : R² = [(axx-ayy)/2]² + axy²
Le diamètre du cercle de Mohr vaut donc : D = 2R = v.max - v.min
Grâce à cette définition du cercle de Mohr on a :
v.max = (v.max+v.min)/2 + (v.max-v.min)/2 = (axx+ayy)/2 + R
v.min = (axx+ayy)/2 + R
Le cercle de Mohr coupe donc l'axe des x en P1 = (v.min, 0) et P2 = (v.max, 0)
il fournit ainsi graphiquement les deux valeurs propres de la matrice A.
Supposons maintenant, par exemple, axx > ayy
Considérons le point P = (axx, axy)
L'inclinaison phi de l'axe propre X relatif à la valeur propre v.max par rapport à la direction x
(c'est à dire la direction d'un vecteur propre vp défini par : A vp = v.max vp où vp = (vpx, vpy)) vérifie :
tg(phi) = vpy/vpx = axy/(v.max - ayy) soit encore
tg(phi) = axy/(axx - v.min)
c'est à dire l'angle au sommet (P2 P1 P) de l'arc de cercle (P2 P)
soit encore la moitié de l'angle au centre (P2 O P) de ce même arc de cercle (P2 P).
L'inclinaison phi de l'axe propre X associé à la valeur propre v.max de la matrice A est donc égale à l'inclinaison de la droite P1P passant par le point P1 = (v.min, 0) et par le point P = (axx, axy)