Navier stokes

[invite83c25072]

Bonjour

Je sollicite votre aide afin de comprendre la pertinence physique (avant d'être mathématique) du système Navier-Stokes :
L'équation s'applique à chaque particule de fluide ? CHAQUE particule doit bien être considéré par rapport à sa masse volumique, son accélération, son champ de vitesse, la gravité, les pressions et frottements (donc viscosité) n'est-ce pas ?

J'ai du mal à conceptualiser comment une équation est censé représenter l'ensemble des particules d'un fluide. Si on considère un fluide d'un milliard de particules alors la résolution mathématique d'un système à un milliard d'équations n'est pas un non-sens ?

Merci
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[gts2]

Bonjour,

C'est même encore pire, Navier et Stokes est défini en chaque point de l'espace et il y en a une infinité.

Plus sérieusement, vous avez peut-être déjà étudié l'électromagnétisme ou la conduction thermique, c'est la même chose : qu'est-ce que la température si ce n'est une image de la moyenne des énergies microscopiques d'une particule de matière. Donc rien de nouveau. On insiste davantage en mécanique des fluides sur cette notion parce que en dehors de la définition des grandeurs moyennées (Pression, température, densité de courant, vitesse ...) sur laquelle on peut passer très vite, le champ de vitesse déforme la particule, et pour étudier l'effet de cette déformation, on s'intéresse d'un peu plus près à cette particule. Mais dans Navier et Stokes, celle-ci a "disparu" : on écrit F=ma, F force sur la particule, m masse de la particule, on fait l'étude et on divise par le volume, on obtient alors une fonction du point où l'on se situe (certes la masse volumique est la masse divisée par le volume d'une particule de fluide centrée sur ce point...)

[obi76]

Bonjour,

Si on considère un fluide d'un milliard de particules alors la résolution mathématique d'un système à un milliard d'équations n'est pas un non-sens ?

au même titre que quand vous cherchez à trouver une fonction qui satisfait une équation, vous cherchez à définir cette fonction en une infinité de points. Ce n'est pas un non sens, pas plus que pour NS.

[Deedee81]

Salut,

Deux choses. En complément.

Tout d'abord l'approximation du fluide continu n'est pas une nouveauté. Ce type d'approximation est fréquent (c'est juste que le résultat doit bien entendu avoir un sens, c'est une des questions qui se pose avec NS, sujet très difficile).
Et en calcul numérique on fait parfois l'inverse (avec la même question, je me souviens des critères de convergence en calcul numérique, sujet difficile aussi mais moins que celui de NS )

un système à un milliard d'équations n'est pas un non-sens ?

Il n'y a pas un milliard d'équations. Il n'y en a qu'une avec des fonctions (prenant valeurs dans l'ensemble R, enfin, R^4 plutôt). C'est une équation aux dérivées partielles. Ca aussi on le rencontre souvent. Regarde les équations d'onde par exemple. Ou les équations de Maxwell en électromagnétisme. Etc....

[A voir en vidéo sur Futura]

[obi76]

(avec la même question, je me souviens des critères de convergence en calcul numérique, sujet difficile aussi mais moins que celui de NS )

Houla, tu t'avances là...

[Deedee81]

Houla, tu t'avances là...

Sur le "moins que NS" ? Oui, peut-être

En tout cas je me souviens (lors de mon travail de fin d'étude à la fac) d'une divergence qui m'a cassé les noix parce que le compilateur fortran que j'utilisais faisait les calculs de complexe en simple précision. Il a fallu que j'implémente mes propres routines de calculs des complexes (bon, c'est quand même pas si difficile, évidemment Mais quelle perte de temps à m'énerver devant les courbes qui divergeaient)

[obi76]

Déjà c'est pas simple en n'utilisant que des réels (surtout quand on arrive à des ordres 2). En plus ça dépend grandement de ce que l'on résout (sur un maillage non structuré, avec certains schémas numériques, ça peut vite devenir une horreur). En plus, en général, lorsqu'on gagne en stabilité d'un côté, on perd en diffusion ou conservation de l'autre (le must étant de rester conservatif et non diffusif, mais à ma connaissance personne n'a encore réussi, et je me demande même si c'est théoriquement possible). Le plus marrant reste le semi-lagrangien, qui est très stable, mais est soit est parfaitement conservatif, soit parfaitement non diffusif... mais jamais les deux en même temps

Bref, c'est encore un sujet de recherche de pointe actuellement.

[Deedee81]

Merci pour ces explications. C'est vrai que je n'avais pas réfléchi à ce problème de "ce qu'on gagne d'un coté on le perd de l'autre". Voilà ce qui arrive quand on fait surtout de l'informatique de gestion (les arrondis au centime, ça simplifie bien des choses)

Bref, c'est encore un sujet de recherche de pointe actuellement.

Il est vrai que mon critère non dit : problème Clay = le plus difficile, est clairement foireux. Il y a des sujets extrêmement difficiles et très actifs sans nécessairement avoir un prix offert

[obi76]

Il est vrai que mon critère non dit : problème Clay = le plus difficile, est clairement foireux. Il y a des sujets extrêmement difficiles et très actifs sans nécessairement avoir un prix offert

Ha ben le jour où quelqu'un trouve un schéma numérique non structuré, non diffusif, conservatif et stable... là c'est champagne

(les arrondis au centime, ça simplifie bien des choses)

Du coup ton système n'est pas conservatif... vive l'inflation

[Deedee81]

Du coup ton système n'est pas conservatif... vive l'inflation

Bon, un peu hors sujet mais intéressant à savoir. Lors du passage à l'euro on a dû créer un compte de "cents" perdus. Véridique

Les arrondis sont une plaie dans tous les domaines De Navier Stokes aux budgets de l'état.

[obi76]

Bon, un peu hors sujet mais intéressant à savoir. Lors du passage à l'euro on a dû créer un compte de "cents" perdus. Véridique

Ca ne m'étonne pas, c'est le genre de problème que j'ai déjà eu dans un autre domaine...

Les arrondis sont une plaie dans tous les domaines De Navier Stokes aux budgets de l'état.

oui enfin en double précision... je ne pense pas qu'une feuille d’impôt à 10^-34 € près soit passionnante...

[Deedee81]

oui enfin en double précision... je ne pense pas qu'une feuille d’impôt à 10^-34 € près soit passionnante...

NS non plus si on ne regarde que les chiffres L'aspect analytique lui est assez passionnant (ou les aspects algorithmiques). Je me rappelle avoir écrit des programmes de calcul numérique pour le fun.... sans jamais les utiliser

Mais par contre, le problème Clay sur Navier-Stokes, ça, c'est trèèèèès largement au-dessus de mes compétences (les autres aussi d'ailleurs). Bon, on fait ce qu'on peut hein, y a pas de honte

EDIT désolé je tchatte là, j'arrête

[Sethy]

Allez les verts !

Houlà, j'ai quelques décennies de retard.