Durée de vidage d'un réservoir

[Newtonien]

Bonjour,

Mon problème porte sur la durée d'écoulement de l'eau contenue dans une citerne de base Sc et de hauteur d'eau initiale Z₀ par un trou (à l'altitude 0) de diamètre St
J'ai St << Sc

A partir de la loi de Bernoulli j'obtiens que le débit pour une hauteur d'eau Z(t) donnée d'écrit Qv = dV(t)/dt = racine(2gZ(t))
De plus Z(t), la hauteur à un instant donné, s'exprime Z(t)=V(t)/Sc (volume sur base)

Je réécris donc ma relation sous la forme d'une équation différentielle d'ordre 1:

dV(t)/dt = A*racine(V(t))

Quelle est la solution d'une équation différentielle non linéaire comme celle-ci ?

La condition initiale du problème est V(0) = Sc*Z₀ le volume initial.

Une fois la solution trouvée je devrais pouvoir résoudre V(t) = 0 avec t la durée d'écoulement.
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[jacknicklaus]

Bonjour,

ben, tu sépares les variables V et T, et tu prends une primitive (triviale) de chaque membre.

[harmoniciste]

A partir de la loi de Bernoulli j'obtiens que le débit pour une hauteur d'eau Z(t) donnée d'écrit Qv = dV(t)/dt = racine(2gZ(t))

Bonjour
Le débit à chaque instant, c'est Qv = v* St non?

Par ailleurs, si la vitesse d'écoulement tend vers 0 quand la hauteur d'eau restante tend vers 0, il me parait clair qu'il faudra un temps infini pour vider le réservoir complètement.

[yvon l]

dV(t)/dt = A*racine(V(t))
.

Bonjour,
V est une vitesse ou un volume ??
Il me semble que le débit est simplement proportionnel à la hauteur du liquide...

[A voir en vidéo sur Futura]

[yvon l]

Bonjour
Le débit à chaque instant, c'est Qv = v* St non?

Par ailleurs, si la vitesse d'écoulement tend vers 0 quand la hauteur d'eau restante tend vers 0, il me parait clair qu'il faudra un temps infini pour vider le réservoir complètement.

Il est plus judicieux de parler de constante de temps (ou vidé à 70%)

[gts2]

Pourquoi diviser le problème en deux, vous avez le débit en fonction de z : Qv = St*racine(2gZ(t)) (*St corrigé par @harmoniciste message #4), d'autre part Qv = dV(t)/dt que vous pouvez exprimer en fonction de dz/dt. Vous obtenez donc directement une équation en z qu'il n'y a plus qu'à intégrer entre 0 et tf d'un côté et z0 et 0 de l'autre.

[jacknicklaus]

Par ailleurs, si la vitesse d'écoulement tend vers 0 quand la hauteur d'eau restante tend vers 0, il me parait clair qu'il faudra un temps infini pour vider le réservoir complètement.

non. le temps est fini.

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[Newtonien]

Bonsoir, en effet Qv = V*St = racine(2gZ(t)) * St

J'ai donné l'expression de la vitesse au lieu du débit volumique (erreur de ma part) mais la problème demeure identique puisque St finit dans la constante A de l'équation V(t)/dt = A*racine(V(t)).

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "séparer V et t", t est la variable de V(t) que je ne connais pas (même si j'imagine que V(t) est de la forme exponentielle)

V(t) est un volume, la vitesse n'apparait pas directement et est égale à racine(2gZ(t)) pour la raison suivante:

Le membre de gauche est la pression totale en surface et celui de droite la pression totale au niveau du trou (à z=0)

rho*g*z + patm + 1/2(rho*0²) = rho*g*0 + patm + 1/2(rho*v²)

=> v = racine(2gz)

En effet, il y a de fortes chances que le volume tende vers 0 mais ne l'atteigne jamais... Je n'aurai qu'à trouver t pour V(t)= 0.01 * V(0) pour trouver le temps de vidage presque total.

Le problème c'est de résoudre l'équation.

[jacknicklaus]

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "séparer V et t", t est la variable de V(t) que je ne connais pas

m'enfin !!?



attention, ici V est le volume expulsé, pas le volume restant.

[FC05]

Il faut poser V = Sc *z(t).

Et les variables à séparer sont z(t) et t.

[Newtonien]

Très bien, merci pour votre aide à tous.
Je ne suis pas encore au top sur les notations différentielles.
L'ordre de grandeur des résultats est parfait, je trouve 1h45 pour un grand bidon et 30sec pour une carafe par exemple.

[Black Jack 2]

Bonsoir, en effet Qv = V*St = racine(2gZ(t)) * St

J'ai donné l'expression de la vitesse au lieu du débit volumique (erreur de ma part) mais la problème demeure identique puisque St finit dans la constante A de l'équation V(t)/dt = A*racine(V(t)).

Je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "séparer V et t", t est la variable de V(t) que je ne connais pas (même si j'imagine que V(t) est de la forme exponentielle)

V(t) est un volume, la vitesse n'apparait pas directement et est égale à racine(2gZ(t)) pour la raison suivante:

Le membre de gauche est la pression totale en surface et celui de droite la pression totale au niveau du trou (à z=0)

rho*g*z + patm + 1/2(rho*0²) = rho*g*0 + patm + 1/2(rho*v²)

=> v = racine(2gz)

En effet, il y a de fortes chances que le volume tende vers 0 mais ne l'atteigne jamais... Je n'aurai qu'à trouver t pour V(t)= 0.01 * V(0) pour trouver le temps de vidage presque total.

Le problème c'est de résoudre l'équation.

Bonjour,

Se méfier des impressions

Quand il ne reste plus beaucoup de hauteur d'eau, la vitesse d'écoulement tend vers 0 ... mais le volume qui reste à vider tend aussi vers 0.
On a donc une espèce de limite indéterminée du style 0/0 ... et si on lève cette indétermination, on trouve bien un temps fini pour tout vider.

Si on ne se plante pas dans la résolution de l'équation différentielle (sans réelle difficulté), on trouve au final que la durée pour TOUT vider est :


Avec S la section de la citerne (supposée constante), s la section du trou (avec S > > s), H la hauteur d'eau initiale.

[jacknicklaus]

Si on ne se plante pas dans la résolution de l'équation différentielle (sans réelle difficulté), on trouve au final que la durée pour TOUT vider est :

hello Black Jack 2
nous sommes donc d'accord (cf mon message #7)

[yvon l]

Bonjour,

Se méfier des impressions...




Avec S la section de la citerne (supposée constante), s la section du trou (avec S > > s), H la hauteur d'eau initiale.

Bien, bien... cela donne à réfléchir aux automaticiens.
Et si s=S, la formule donne H=gT²/2 soit bien le temps nécessaire pour que la colonne H sorte (tombe) de la citerne dans un mouvement uniformément accéléré.

Le mouvement serait exponentiel si le débit était proportionnel à la hauteur. La vitesse serait alors simplement proportionnel à la pression. C'est le cas ou on aurait une perte de charge importante tel que l'effet d'inertie (accélération) serait négligeable (dissipation de l'énergie prépondérante).(perte de charge proportionnelle au débit)

[sitalgo]

B'jour,

on trouve au final que la durée pour TOUT vider est :

On peut ajouter le coef de contraction

0,6 pour un simple trou (pas négligeable), 1 pour un ajutage profilé.

Bizzare, je fais un copier-coller du latex et ça marche pas.

[sitalgo]

Ha ben si.

[Newtonien]

En effet la première impression est trompeuse.
En négligeant des phénomènes qui en compensent d'autres comme je l'ai fait on pourrait aussi croire que les objets lourds tombent plus vite que les objets légers...

C'est justement pour automatiser la commande d'une électrovanne Arduino que je me suis posé ce problème.

En sachant que la loi de Bernoulli n'est valable que pour les fluides non visqueux je pense que ce modèle sera relativement éloigné du réel si la section St est toute petite (formation de gouttes au niveau du trou)

[obi76]

En sachant que la loi de Bernoulli n'est valable que pour les fluides non visqueux je pense que ce modèle sera relativement éloigné du réel si la section St est toute petite (formation de gouttes au niveau du trou)

Clairement non, si le trou est vraiment petit il faut prendre en compte la viscosité (épaisseur de la couche limite, mais qui peut s'approximer par un trou plus petit), mais aussi dans des cas extrêmes à la tension de surface (engendrant une différence de pression donnée par la loi de Laplace).

[harmoniciste]

je pense que ce modèle sera relativement éloigné du réel si la section St est toute petite

L'éloignement du réel avec la loi mathématique décrite existe toujours, mais il est possible de prévoir une délai supplémentaire d'ouverture pour s'assurer d'une vidange complète, non?

[Black Jack 2]

Bonjour,

Si on fait une vidange d'un réservoir d'eau (comme dans la question initiale) ... ce n'est pas à travers un "trou d'épingle".
La seule chose significative a prendre en compte pour la durée de décharge est le coefficient de contraction du jet de sortie mentionné dans le message 15.

[FC05]

Bonjour,

Si on fait une vidange d'un réservoir d'eau (comme dans la question initiale) ... ce n'est pas à travers un "trou d'épingle".
La seule chose significative a prendre en compte pour la durée de décharge est le coefficient de contraction du jet de sortie mentionné dans le message 15.

Oui, et expérimentalement ça fonctionne.