Relation entre la section d'un tube elastique et le débit d'un fluide newtonien (non parfait)

[fishnormal]

Bonjour à toutes et à tous et merci d'avance à ceux qui s’intéresseront à ce sujet.

J'ai une question pratique que je n'arrive pas à mettre en équation (il faut dire que mes cours d'hydrodynamique remontent un peu). Si quelqu'un pouvait me mettre sur la voie d'une mise en équation de ce problème, ça m'aiderait beaucoup.

Le problème est plutôt simple et est résumé dans le titre du sujet : comment calculer le changement de diamètre d'un tube élastique de module radial E lorsqu'on augmente le débit en entrée Q d'un fluide non parfait ? Pour un fluide parfait, la loi de la conservation de la quantité de mouvement aka Bernoulli nous donne que lorsque le débit augmente, la vitesse du fluide dans le tube augmente et donc la pression du fluide diminue a priori.

J'ai l'impression que ça se complique lorsque le fluide devient visqueux, avec les conditions au bord du fluide qui vont augmenter la résistance hydraulique du tube et on aura une perte de charge dP= Rh*Q. J'ai l'impression que pour diminuer cette résistance hydraulique qui est fonction du diamètre du tube, ce dernier va s'élargir dans la limite de son élasticité E.

1) Je me trompe sûrement
2) Je n'arrive pas à le mettre en équation. Faut-il que je reparte de l'équation plus générale de Navier-Stokes ?

J'ai joint un schéma qui résume le problème.

Merci beaucoup pour votre aide.


-----

[FC05]

Franchement, il faudrait poser mieux le problème.

Tu dis un module E, mais tu sous entend une élasticité totale, donc un rayon nul à pression relative nulle ou alors il y a un rayon de repos ?

De même tu dis qu'augmenter la vitesse réduit la pression, mais moi si je veux augmenter la vitesse, j'augmente la pression, en tout cas au début du tuyau.

Donc qualitativement, le diamètre du tuyau va augmenter au départ puis comme la pression diminue du fait des pertes de charge, l'augmentation sera moins importante quand on se rapproche de la sortie.
Si la sortie est à l'air libre (ce qui n'est pas précisé, en fait on ne sait pas grand chose) alors le diamètre de sortie devrait-être le même, sauf erreur de ma part.

[gts2]

Bonjour,

Votre problème ressemble à celui des artères avec la notion de distensibilité : donc peut-être faire des recherches avec ce terme sur des sites médicaux.

[fishnormal]

@FC05 : Merci de ta réponse, et désolé pour le manque de clarté de l'énoncé. Je rajoute donc quelques informations et un schéma peut-être plus explicite.

Tu dis un module E, mais tu sous entend une élasticité totale, donc un rayon nul à pression relative nulle ou alors il y a un rayon de repos ?

Quand je parle de module radial, c'est le module qui relie l'augmentation de rayon du tube à une contrainte radiale. Mon tube a bien un rayon R0 au repos.

De même tu dis qu'augmenter la vitesse réduit la pression, mais moi si je veux augmenter la vitesse, j'augmente la pression, en tout cas au début du tuyau.

Ok au temps pour moi, y a-t-il une relation qui relie Débit et Pression ?

Donc qualitativement, le diamètre du tuyau va augmenter au départ puis comme la pression diminue du fait des pertes de charge, l'augmentation sera moins importante quand on se rapproche de la sortie.
Si la sortie est à l'air libre (ce qui n'est pas précisé, en fait on ne sait pas grand chose) alors le diamètre de sortie devrait-être le même, sauf erreur de ma part.

La sortie est dans le fluide (voir nouveau schéma).
Tu dis que le diamètre va augmenter au départ. Ca me parait logique mais j'aimerais comprendre comment relier mon débit de départ à l'augmentation de diamètre de mon tube. Est-ce que je dois calculer la contrainte normale résultante de mon augmentation de pression et la relier à mon module de Young radial ? P= e*E avec E le module radial, P la pression et e l'élongation radiale de mon tube.

@gts2 : Merci de ta suggestion, c'est en effet exactement le sujet qui m’intéresse en ce moment. Je vais jeter un coup d’œil côté distensibilité du coup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FC05]

Bon, c'est plus clair.

Ben il va falloir mettre tout ça en équation et espérer qu'il n'y aura pas trop d'inconnues.

Je pense que tu peux partir sur Bernoulli avec pertes de charge.
Les pertes de charge pour ce genre de problèmes c'est en laminaire (plus simple ?).

Après faudra coller la relation entre pression, diamètre et vitesse dans tout ça et espérer sortir un truc.
Éventuellement faire quelque approximations pour simplifier.

Y du boulot ...