Calcul épaisseur de tôle acier

[invitea1178e47]

Bonjour à tous,

N'ayant aucune formation scientifique, je sollicite votre aide pour un petit calcul !

Afin de réaliser un meuble, je dois calculer l'épaisseur de tôle acier minimum pour une étagère. La tôle mesure 140cm*40cm et est portée par des appuis placés au niveau de la petite longueur. Elle doit supporter une charge de 60kg, globalement répartie, mais on peut considérer que la charge est principalement en position centrale.

La tôle acier utilisée serait de type S235 (donc limite élastique de 2350daN/cm2).

Ma question est donc : quelle est l'épaisseur minimum de tôle acier que je dois utiliser pour, tout en évitant une flèche visible (l'objectif étant que la tôle reste la plus plane possible).

Je vous ai joint un petit schéma pour être plus clair.



Merci beaucoup pour votre aide !
-----

[titijoy3]

Bonjour,

60 kg, c'est une charge conséquente, il faudra une tôle très épaisse pour ne pas avoir de flèche,

ce serait pour moi, j'ajouterai une cornière centrée dans la longueur

[Naalphi]

Bonjour
Dans votre problème typique de RDM statique, la réponse peut être trouvée en appliquant la 'théorie des poutres' de manière dite analytique.
Votre étagère est assimilable à une poutre, de 400mm de large, posée sur 2 appuis simples à ses extrémités distantes de 1400mm , chargée ponctuellement en son centre (cas le plus défavorable) par un poids de 600 N, et dont nous cherchons à déterminer l'épaisseur en fonction d'une flèche limite 'y' .

Mon formulaire de mécanique indique :
y = FL^3 / (48*E*Igz) pour la charge unitaire centrale , et
y = 5*p*L^4 / (384*E*Igz) pour une charge répartie telle qu'induite par le poids propre de la poutre étagère
Avec pour notre étude :
F = le poids de la charge unitaire centrale à supporter = 600 en Newton
L = longueur de la poutre étagère = 1400 en mm
E = constante dite parfois de rigidité propre au matériau étagère = acier =~ 210000 en N/mm^2 (cf formulaire matériaux)
Igz = caractéristique géométrique de la section de la poutre étagère selon l'axe de l'effort , en mm^4 , laquelle caractéristique fait intervenir le paramètre épaisseur que nous cherchons à déterminer, que j'appelle 'h', exprimée en mm
Igz = b*h^3 / 12 pour une section rectangulaire , avec 'b', sa largeur , toujours en mm
p = poids propre étagère répartis sur L = b*h*L*d*g *10^-6 , avec d=densité aciers 'de base'=~7,85 (sans dimension) et g=~10 m/s^2 ( car, nous le savons tous , p(N)=m(kg)*g(m/s^2) et m(kg)=d*volume(dm^3 ou litre) ) ; 'p' est exprimé en Newton

Les lois de la 'théorie des poutres' me disent que les 2 évènements concomitants 'charge unitaire centrale' et 'poids propre de la poutre' génèrent une flèche résultante égale à la somme de celles des deux évènements :
y = F*L^3 / (48*E*Igz) + 5*p*L^4 / (384*E*Igz)
y = F*L^3 / (48*E* (b*h^3/12)) + 5*(b*h*L*d*g *10^-6)*L^4 / (384*E*(b*h^3/12))
y = (F*L^3*12 ) / (48*E*b) * (1/ h^3) + ( 5*b*L^5*d*g *10^-6 *12) / (384*E*b) * (1/h^2)
application numérique :
y(b) = (600*1400^3*12) / (48*210000*400) * (1/ b^3) + (5*400*1400^5*7,85*10*10^-6*12)/(384*210000*400) * 1/b^2
y(b) = 4900 / b^3 + 314131 / b^2
, ce qui défini la flèche 'y' (en mm) en fonction de l'épaisseur 'b' (en mm aussi) de votre système

A question dimple, ...

.... Mettons que 'b'=100 , 'y' serait alors égal à ~3cm : serait-ce suffisamment invisible aux yeux de achk0 ? ....
(On pourra noter le 'poids' de l'étagère seule =~ 437kg...)

La solution sera peut-être d'encastrer la poutre sur toute sa longueur (voir formulaire de calcul des plaques) ou de multiplier les supports ( voir formulaire abaque de Macquart )


En attendant, quelqu'un saurait-t-il m'expliquer comment tracer une courbe avec un tableur tel qu'OpenOfficeCalc pour une fonction de ce type y(x)=ax^n1 + bx^n2.... et sans faire de listes de coordonnées ?



Cordialement

[Jaunin]

Bonjour,
Avez-vous tenu compte du poids propre de la poutre dans les calcules ?

Mais cela me semble un peu compliqué ?.

Pour information :
Rayonnage en métal 180 × 90 × 45 cm acheter - Pièces de rechange conservation - LANDI

Cordialement.
Jaunin__

[A voir en vidéo sur Futura]

[Naalphi]

Bonjour

Effectivement, c'est compliqué, mais répond à la question .... Non ?


Au passage et pour ceux qui suivent, j'ai fait l'erreur de ne pas avoir réparti le poids 'p' sur la longueur de la poutre :
5*p*L^4 / (384*E*Igz) DOIT S'ECRIRE 5*(p/L)*L^4 / (384*E*Igz)

Par exemple, avec une poutre épaisse de 30mm, elle ne ''pèsera plus'' que 135 kg , et aura une flèche de 0,45mm.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Pour les dimensions données, je trouve :

M = PL/4 + QL/8 = 600*1,4/4 + (1,4 * 0,4 * h * g * rho)*1,4/8
M = 210 + 7644.h

Sigma = M * h/(2I) = (210 + 7644.h).h/(2I)
avec I = 0,4 * h³/12 = 0,033.h³ (SI)

Sigma = (210 + 7644.h).h/(0,066h³)
Sigma = 3150/h² + 114661/h (SI)

Si sigma max = 2350 daN/cm² et qu'on prend un facteur de sécurité de 5, on se limitera à Sigma = 2350/5 = 470 daN/cm²,soit 4,7.10^7 N/m²
--> 3150/h² + 114661/h = 4,7.10^7
4,7.10^7.h² - 114661.h - 3150 = 0 (avec h > 0)
h = 0,0095 m (9,5 mm) (épaisseur de la tôle)

M = 210 + 5460*0,0095 = 262 N.m

m = 0,4 * 1,4 * 0,0095 * 7800 = 41,5 kg

I = 2,83.10^-8 m^4

f = L³/(48EI) * (P + 5Q/8)

f = 1,4³/(48*210.10^9*2,83.10^-8) * (600 + 5*41,5*10/8)

f = 0,0083 m (8,3 mm)

Sauf erreurs de calculs (bien possible) :
Une tôle d'épaisseur 9,5 mm aura une flèche de 8,3 mm et une contrainte de 470 daN/cm²

Peut être faut-il prendre un coefficient de sécurité plus grand que celui que j'ai pris (soit 5)
***********
Comme cela a été suggéré, plier la tôle à 90 ° sur les bords (dans le sens de la longueur) devrait permettre d'utiliser de la tôle beaucoup plus fine (et donc beaucoup plus légère)

[Naalphi]

Bonjour Black Jack 2

Nous avons exactement les mêmes résultats, ce qui est très rassurant

Mais je ne comprends pas votre démarche consistant à déterminer en premier lieu l'épaisseur minimale résistante pour ensuite seulement en déduire la flèche , qui se devait d'être le 1er critère selon "le cahier des charges" (propos à relativiser suivant l'éternel problème où il faudrait quasi systématiquement expliquer au demandeur qu'il n'a pas su exprimer son besoin) .
Il est vrai que j'aurais dû conclure par cette vérification de résistance .
Pour ce qui est du coefficient de sûreté, un facteur 2 me paraît laaargement suffisant ici. (rechercher "Odingue" par exemple).

Et bien sûr, la tôle pliée sera probablement la solution ...

J'ai fait une petite simulation :
U à ailes égales
Longueur = 400.00 mm
Hauteur = 40.00 mm
Épaisseur de l'âme = 2.00 mm
Épaisseur des ailes = 2.00 mm
Aire = 9.520 cm2
Moments quadratiques : IY = 1668.607 cm4
Modules plastiques : Wpl.Y = 110.248 cm3
Poids de la structure = 103.958 N (g = 10.00 m/s2)
Flèche = 2,6 mm
Sigma max = 173 N/mm2 (très localisés dans les coins de pliage de rayons 0)


Mon idée sur le projet de achk0 est la réalisation de quelque chose comme ça
(image jointe)


Cordialement

[Black Jack 2]

Bonjour,

La notion "une flèche visible" ne veut rien dire du tout... c'est en tous cas très subjectif.

Par contre, il faut garder un facteur de sécurité important (j'ai pris 5, c'est peut-être trop peu ???) vis à vis de la contrainte maximale de l'acier utilisé.

Cela me permet de déterminer l'épaisseur pour ne pas mettre la structure en danger ... et j'en déduis la flèche (8,3 mm)

Savoir si cette flèche de 8,3 mm (sur un tôle de 1,4 m de long) est ou non "une flèche visible" est très subjectif.

Si on impose une valeur numérique à la flèche max, on peut faire les calculs "dans l'autre sens" et trouver l'épaisseur ... sans oublier ensuite de vérifier si cela conduit ou non à une contrainte acceptable dans la tôle.

[Naalphi]

Coefficient 5 : non, non et re non !!

On le trouve par exemple dans la 'directive machines' ( 2006/42/CE Annexe I chap.4) pour des accessoires critiques de levage, sinon on parle de coeff 1,5 ...

On parle de 8 pour certains organes d'ascenseur .

On trouve rarement au-dessus de 1.4 dans les coefficients partiels des EuroCodes .

Voyez aussi par exemple ce document : http://www.ingveh.ulg.ac.be/uploads/...dmissibles.pdf


Personnellement, j'utilise en général ces critères (non exhaustif, schématique, bref, largement discutables) :
Indices légaux ou normatifs, ou = 1 x
0.8 à 5 : risques, dangerosité
1 à 1.3 : géométries réelles imparfaites, jeux d'assemblage +/- maîtrisés
0.8 à 3 : évaluation des charges
2 à 5 : conditions locales / Rm (Kt. fatigue..)
0.5 à 1.5 : tensions internes résiduelles matériau
1 à 1.4 : effets de levier des déformées
1 à 4 : dynamiques, chocs, vibrations, facteurs de service
0.5 à 1 : nécessité d'un fonctionnement optimal
0.7 à 1: capacité réelle/théorique matériau (écrouissages)
0.5 à 3: ductilité, fragilité matériau
1 à... : températures, oxydations, ...

[Biname]

Salut,

Voici un site en français qui fait ce genre de calculs http://jean.lamaison.free.fr/flexion.html
Je ne trouve pas la même valeur que lui pour le moment dû au poids propre ? q*l²/8 ... ??? est-ce moi ???

Il pleut, je me suis aussi amusé à écrire un code Javascript de notre cas
https://onlinegdb.com/9xBqLtTM6
pour modifier le code ou les variables créer un fork bouton vert en haut à gauche.

Biname

[Black Jack 2]

Salut,

Voici un site en français qui fait ce genre de calculs http://jean.lamaison.free.fr/flexion.html
Je ne trouve pas la même valeur que lui pour le moment dû au poids propre ? q*l²/8 ... ??? est-ce moi ???

Il pleut, je me suis aussi amusé à écrire un code Javascript de notre cas
https://onlinegdb.com/9xBqLtTM6
pour modifier le code ou les variables créer un fork bouton vert en haut à gauche.

Biname

Bonjour,

Les calculs du site sont cohérents avec les miens.


Avec un tôle en acier de 1,4 m X 0,4 m de 9,5 mm d'épaisseur avec une charge centrée ponctuelle de 60 daN

Le site calcule une flèche de 8,2 mm ... et mes calculs donnaient 8,3 mm

Le plus gros "écart" entre le site et mes calculs sont sur la contrainte dans la tôle, le site calcule 5,11 daN/mm² et j'avais trouvé 470 daN/cm² (soit 4,70 daN/mm²)
Donc différence de 8,7 % ... pour moi, à partir de calculs simplifiés que j'ai faits, c'est tout à fait cohérent.

Si leur conclusion est que la poutre ne convient pas, c'est de manière marginale (5,11 da/mm²calculés pour 5,04 daN/mm² permis) car ils ont choisit une sécurité de 1/0,21 = 4,76 ... alors que j'avais utilisé 5)

Je ne vois donc par d'écarts significatifs entre les résultats du site et mes calculs.

Remarque si on entre une épaisseur de 30 mm ... le site calcule une flèche de 0,43 mm (compatibles aussi avec les résultats de Naalphi qui trouve dans ces conditions 0,45 mm).

Donc, les résultats du site, de Naalphi et les miens sont cohérents ... c'est déjà pas mal.

Copie des résultats du site. (avec épaisseur de 9,5 mm)

[Biname]

Salut,
@Black Jack
Pour le moment fléchissant dû au poids propre de la poutre, on trouve trois résultats différents, pour le reste, on est d'accord.
Tu trouves :

M = 210 + 5460*0,0095 = 262 N.m

Soit : moment dû au poids propre = 5460 * 0.0095 = 51.87 N.m
Pour ce même moment, le site trouve 9720 dN.mm = 97.20 N.m
Et moi je calcule Mmax(Q, l) = Q * l / 8 = 410.72N * 1.4m / 8 = 74.75 N.m

C'est con car ce site est très bien fait ! Il permet de résoudre des tas de problèmes, il connait tous les profilés métalliques (IPE, HEA ...), les plats, les tubes, ... en bois, alu, acier, ... et cerise sur le gâteau, il est très simple d'emploi.

Mes résultats sont attachés dans l'image ci-dessous?

Biname

[Naalphi]

Bonjour la commu

Je viens de poser la question à l'auteur du site
@ jean.lamaison@cegetel.net : Comment faudrait -t-il interpréter le résultat ci-dessous/pièce jointe concernant le fait les forces de réactions sont supérieures (1,3299x) aux forces appliquées au système (quid du principe fondamental de la statistique ?)

[Biname]

Salut,

Bonjour la commu
Je viens de poser la question à l'auteur du site
@ jean.lamaison@cegetel.net : Comment faudrait -t-il interpréter le résultat ci-dessous/pièce jointe concernant le fait les forces de réactions sont supérieures (1,3299x) aux forces appliquées au système (quid du principe fondamental de la statistique ?)

Statique . Deux bugs ... on va droit au 911 avec ce truc, la version sans bug est peut-être moins gratuite.
Pour le coefficient de sécurité, il s'agit d'un exercice ?? La fatigue d'un rayonnage d'étagère ... ça fait sourire, voire plussse. Pour un pont roulant, jadis on prenait 1.33 ou 0.66, 1600dN/cm² pour S235 ??ex A36 ?? ex ??E24.

---- Autre chose de plus amusant ---

Me posant la question de la pertinence de l'addition des flèches (f(P) + f(p)), étant sur un forum de physique, remontons à la source, avec P la force de 600N(60kg), q le poids propre(0.298kg/cm pour ep = 0.95cm) par unité de longueur, ... allons-y
aidé par https://www.xr6805.fr/school/sti_web...me/deforme.htm
E*I*y"(x) = somme des moments des forces
E*J*y''(x)= P *x/2 + q*L*x/2 - q*x²/2 (J car wolfram décide que I = i = complexe)
Conditions : y(0)=0, y(L)=0 en x=0 et x=L, la déformée est nulle

Allons-y avec wolfram (wolfram : {f,g,h, ...} = système d'équation)
https://www.wolframalpha.com/input/?...C+y%28L%29%3D0

Après deux secondes et sans erreur, on obtient l'équation de la déformée y(x)= ..., on clic dessus, y(x) passe dans la fenêtre d'édition, on ajoute x=L/2 (un système) et on obtient pour x= L/2 (on aurait pu dériver pour trouver le minimum) :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%28
%28L+-+x%29+x+%282+L+P+%2B+L%5E2+q+% 2B+2+P+x+%2B+L+q+x+-+q+x%5E2%29%29%2F%2824+e+J%29% 2C+x%3D%28L%2F2%29

on obtient flèche = -L³(5Lq + 12P)/(384EI) ça commence à avoir de la gueule , on clic sur cette fonction

Donnons des valeurs aux paramètres (pour wolfram E=e et pas notre E, changeons son nom en ... Z)

https://www.wolframalpha.com/input/?...95%5E3%2F12%7D

Et là, on trouve une flèche de -227507/205770 = 1.10 cm pas nos 8.2 cm ???

Trouvez l'erreur ou l'explication ?
?? utiliser une autre condition que y(L)=0, y'(L/2)=0 par exemple ??

Biname (qui va tenter le minimum avec la dérivée première de y(x))

[Naalphi]

Trouvez l'erreur ou l'explication ?

Bonjour,

Les hypothèses me semblent correctes, mais n'ai pas tout regardé en détail.

Il faudrait sans doute faire quelques approximations simplificatrices (postulat de très petites déformations) pour retrouver les équations des formulaires.

Voir par exemple ci-joint, 2.2. ÉQUATION DE LA LIGNE ÉLASTIQUE p.30
RDM extraits Sciences.ch 3ème Édition 2014.pdf


(issu de lectures ou musardages passe-temps de looonnnnnngs chômage partiel...)


Cordialement

[Black Jack 2]

Salut,

Statique . Deux bugs ... on va droit au 911 avec ce truc, la version sans bug est peut-être moins gratuite.
Pour le coefficient de sécurité, il s'agit d'un exercice ?? La fatigue d'un rayonnage d'étagère ... ça fait sourire, voire plussse. Pour un pont roulant, jadis on prenait 1.33 ou 0.66, 1600dN/cm² pour S235 ??ex A36 ?? ex ??E24.

---- Autre chose de plus amusant ---

Me posant la question de la pertinence de l'addition des flèches (f(P) + f(p)), étant sur un forum de physique, remontons à la source, avec P la force de 600N(60kg), q le poids propre(0.298kg/cm pour ep = 0.95cm) par unité de longueur, ... allons-y
aidé par https://www.xr6805.fr/school/sti_web...me/deforme.htm
E*I*y"(x) = somme des moments des forces
E*J*y''(x)= P *x/2 + q*L*x/2 - q*x²/2 (J car wolfram décide que I = i = complexe)
Conditions : y(0)=0, y(L)=0 en x=0 et x=L, la déformée est nulle

Allons-y avec wolfram (wolfram : {f,g,h, ...} = système d'équation)
https://www.wolframalpha.com/input/?...C+y%28L%29%3D0

Après deux secondes et sans erreur, on obtient l'équation de la déformée y(x)= ..., on clic dessus, y(x) passe dans la fenêtre d'édition, on ajoute x=L/2 (un système) et on obtient pour x= L/2 (on aurait pu dériver pour trouver le minimum) :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-%28
%28L+-+x%29+x+%282+L+P+%2B+L%5E2+q+% 2B+2+P+x+%2B+L+q+x+-+q+x%5E2%29%29%2F%2824+e+J%29% 2C+x%3D%28L%2F2%29

on obtient flèche = -L³(5Lq + 12P)/(384EI) ça commence à avoir de la gueule , on clic sur cette fonction

Donnons des valeurs aux paramètres (pour wolfram E=e et pas notre E, changeons son nom en ... Z)

https://www.wolframalpha.com/input/?...95%5E3%2F12%7D

Et là, on trouve une flèche de -227507/205770 = 1.10 cm pas nos 8.2 cm ???

Trouvez l'erreur ou l'explication ?
?? utiliser une autre condition que y(L)=0, y'(L/2)=0 par exemple ??

Biname (qui va tenter le minimum avec la dérivée première de y(x))

Bonjour,

Certes une erreur d'un facteur 8,2/1,1 = 7,46 c'est beaucoup

C'est déjà beaucoup moins conséquent si on prend la flèche calculée de 8,2 mm (et pas 8,2 cm), là le facteur d'erreur (pour autant que ce soit le cas) n'est plus que de 0,82/1,1 = 0,74

C'est pas si mal pour une approximation.

[ilovir]

Bonjour

Je découvre votre sujet.
Je dois reconnaitre que je n'ai pas tout suivi.

En matière de mobilier, tout comme en construction, il existe des normes NF ou européennes. Il y en a une foultitude (qui forment un réseau maillé dans la mesure où elles se citent les unes les autres), en nombre bien plus élevé que quiconque ne puisse jamais se les procurer toutes, et à jour à chaque instant.

On doit y trouver, entre autres, quels sont les critères à respecter pour des étagères :
vis à vis de la résistance
vis à vis de la déformation

Bien évidemment, je n'ai pas ces normes.

Alors je vais "inventer" les critères, en attendant que quelqu'un les communique s'il les a.

Je dirais que la déformation sous la charge, ne devrait pas dépasser le 1/300 de la portée, pour ne pas fatiguer la vue.
Et je dirais encore que la sécurité à la rupture devrait être au moins de 3

Tout cela vis à vis des charges non pondérées

Je trouve pour une tôle de 1.2 cm d'épais, qui ferait déjà une étagère pesant 52 kg :

Contrainte de flexion 31.4 MPa, donc coefficient de sécurité de 7.5 !
Flèche 4.4 mm soit L/319 < L/300.

Bon, il peut y avoir d'autres approches :

La charge ponctuelle n'est pas vraiment ponctuelle mais se répartit sur une certaine longueur, ce qui change très peu le résultat.

Plus sioux : la charge peut être posée sur le bord de la plaque, c'est à dire pas centrée sur l'axe.
Quelqu'un assis au bord par exemple.
Dans ce cas, l'étagère se comporte en plaque à bords mouvants, et là c'est un peu plus complexe à étudier.
Mais je vois qu'il y a des bonnes volontés ....

En pratique, il serait productif de placer des raidisseurs le long des bords de 1.40 m, genre cornières, ou plis de la tôle, pour arriver à quelque chose de plus stable avec une tôle bien moins épaisse. Comme les racks et étagères que l'on trouve dans la nature.

[Black Jack 2]

Bonjour

Je découvre votre sujet.
Je dois reconnaitre que je n'ai pas tout suivi.

En matière de mobilier, tout comme en construction, il existe des normes NF ou européennes. Il y en a une foultitude (qui forment un réseau maillé dans la mesure où elles se citent les unes les autres), en nombre bien plus élevé que quiconque ne puisse jamais se les procurer toutes, et à jour à chaque instant.

On doit y trouver, entre autres, quels sont les critères à respecter pour des étagères :
vis à vis de la résistance
vis à vis de la déformation

Bien évidemment, je n'ai pas ces normes.

Alors je vais "inventer" les critères, en attendant que quelqu'un les communique s'il les a.

Je dirais que la déformation sous la charge, ne devrait pas dépasser le 1/300 de la portée, pour ne pas fatiguer la vue.
Et je dirais encore que la sécurité à la rupture devrait être au moins de 3

Tout cela vis à vis des charges non pondérées

Je trouve pour une tôle de 1.2 cm d'épais, qui ferait déjà une étagère pesant 52 kg :

Contrainte de flexion 31.4 MPa, donc coefficient de sécurité de 7.5 !
Flèche 4.4 mm soit L/319 < L/300.

Bon, il peut y avoir d'autres approches :

La charge ponctuelle n'est pas vraiment ponctuelle mais se répartit sur une certaine longueur, ce qui change très peu le résultat.

Plus sioux : la charge peut être posée sur le bord de la plaque, c'est à dire pas centrée sur l'axe.
Quelqu'un assis au bord par exemple.
Dans ce cas, l'étagère se comporte en plaque à bords mouvants, et là c'est un peu plus complexe à étudier.
Mais je vois qu'il y a des bonnes volontés ....

En pratique, il serait productif de placer des raidisseurs le long des bords de 1.40 m, genre cornières, ou plis de la tôle, pour arriver à quelque chose de plus stable avec une tôle bien moins épaisse. Comme les racks et étagères que l'on trouve dans la nature.

Bonjour,

Tes calculs collent avec les miens.
Si j'utilise une tôle de 12 mm, mes calculs (identiques aux valeurs près sur ceux déjà mentionnés dans mes réponses précédentes) donne une flèche de 4,4 mm

On a aussi les mêmes résultats en utilisant le site déjà mentionné : http://jean.lamaison.free.fr/flexion.php

Ces résultats on été mis en doute par Biname ...

[Biname]

Salut,

Bonjour,
Certes une erreur d'un facteur 8,2/1,1 = 7,46 c'est beaucoup
C'est déjà beaucoup moins conséquent si on prend la flèche calculée de 8,2 mm (et pas 8,2 cm), là le facteur d'erreur (pour autant que ce soit le cas) n'est plus que de 0,82/1,1 = 0,74
C'est pas si mal pour une approximation.

Oui, il y a une erreur de retranscription en '8.2cm' sur mon code Javascript de calcul (image attachée) on lit flèche = 0.82 cm.
Ce cas est un cas simple de résistance des matériaux, on doit __tous__ trouver le même résultat.
Mmax = (P * l / 4) + (Q * l / 8)
I/v = b * h²/6
I = b * h³ / 6
Sigma_max = Mmax/(I/v)
Il faut ajouter les flèches des deux cas

@Naalphi
y = FL^3 / (48*E*Igz)
y = 5*p*L^4 / (384*E*Igz)

Là on trouve tous 8.2mm ou 0.82cm
--------
Le message dans lequel j'essaye de résoudre ce cas à l'aide du calcul formel (Wolfram) montre qu'il serait possible par cette méthode de résoudre ces cas sans utiliser un formulaire RDM flexion : ?nouvelle? approche RDM avec le calcul formel.
Ma méthode 'calcul formel' contient des erreurs 'mathématiques', on ne peux pas prendre y(0) = 0 et y(L)=0 comme conditions pour résoudre l'ED ? Why ?
Il faudrait utiliser les conditions suivantes : y(0)=0 et y'(??)=0 ou une autre condition ? Je n'y arrive pas avec Wolfram.
La flèche de 1.1cm que je trouve avec cette méthode est erronée.

Avec le calcul formel, c'est la méthode qui est intéressante, pas le résultat.
Toutes les formules donnant la flèche dans les formulaires de flexions sont établies sur base de cette ED.
---------

Biname

[gts2]

Ma méthode 'calcul formel' contient des erreurs 'mathématiques', on ne peux pas prendre y(0) = 0 et y(L)=0 comme conditions pour résoudre l'ED ? Why ?
Il faudrait utiliser les conditions suivantes : y(0)=0 et y'(??)=0 ou une autre condition ? Je n'y arrive pas avec Wolfram.

Pourrais-tu préciser les "erreurs" ?
Pourrais-tu préciser pourquoi "on ne peux pas prendre y(0) = 0 et y(L)=0"
Pour "y(0)=0 et y'(??)=0", en prenant ??=0, je trouve : y(x)->(L q x^3+P x^3-3 q x^2 x\.b2)/(12 E J)

[Biname]

Salut,

Bonjour,
Les hypothèses me semblent correctes, mais n'ai pas tout regardé en détail.

Il faudrait sans doute faire quelques approximations simplificatrices (postulat de très petites déformations) pour retrouver les équations des formulaires.

Voir par exemple ci-joint, 2.2. ÉQUATION DE LA LIGNE ÉLASTIQUE p.30
Pièce jointe 445694

(issu de lectures ou musardages passe-temps de looonnnnnngs chômage partiel...)

Cordialement

Ton PDF page 30 et 31 pour les 'petites déformations', tu vois j'ai 'lu'
Toujours pas bien compris où ça coince ? On ne peux apparemment pas prendre comme conditions y(0)= 0 et y(L)=0 ... ???? elles seraient dépendantes ????

Merci

Biname

[Biname]

Salut,

Pourrais-tu préciser les "erreurs" ?

Le résultat est incorrect ... je perds un terme ou un de trop ???(1), voir le msg 14 sur ce fil, difficile de faire mieux.

Pourrais-tu préciser pourquoi "on ne peux pas prendre y(0) = 0 et y(L)=0"

Même raison ! Mes compétences en résolution d'ED sont limitées aussi.

Pour "y(0)=0 et y'(??)=0", en prenant ??=0, je trouve : y(x)->(L q x^3+P x^3-3 q x^2 x\.b2)/(12 E J)

Là y'(0)= 0 cépabon : une poutre appuyée subit une déformation sur son appui (en x=0 et x=L),
y(x) est la déformation
y'(x) est la pente de la déformation
y''(x) est le moment en x, voir
@Naalphi p.30 ... deux pages très vite lues.

Voir par exemple ci-joint, 2.2. ÉQUATION DE LA LIGNE ÉLASTIQUE p.30
RDM extraits Sciences.ch 3ème Édition 2014.pdf

Biname
(1) plus trop le temps maintenant ... but 'I'll be back'

[gts2]

Je crois avoir vu les "erreurs" :
- le moment fléchissant de P P*x/2 n'est vrai que pour x<L/2
- P ne vaut pas 60 (kg) mais 600 (N)

L'introduction d'une fonction "triangle" (le moment fléchissant de P entre x=0 et x=L) dans un calcul formel n'est pas très facile.
Mais avec y'(L/2)=0 cela a l'air de marcher (formellement ...)

[Biname]

Salut,

Je crois avoir vu les "erreurs" :
- le moment fléchissant de P P*x/2 n'est vrai que pour x<L/2
- P ne vaut pas 60 (kg) mais 600 (N)
L'introduction d'une fonction "triangle" (le moment fléchissant de P entre x=0 et x=L) dans un calcul formel n'est pas très facile.
Mais avec y'(L/2)=0 cela a l'air de marcher (formellement ...)

Voilà ! Merci ! Je n'avais pas vu le triangle : la ligne brisée du diagramme des moments fléchissants dans le cas d'une force centrée.
Pour y'(L/2)=0 oui, l'exemple du site https://www.xr6805.fr/school/sti_web...me/deforme.htm utilise cette condition.
Avec Wolfram, c'est plus difficile {y''(x)=(P/2)*x, y'(L/2)=0, y(0)=0}, il ne comprend pas (on oublie EI qui est une constante, mais on oublie pas qu'on l'a oublié) ... 'à la main', c'est immédiat, mais pour des cas plus difficiles, ce le serait moins.

Dans cas d'une charge uniformément répartie, Wolfram {E * I * y"=somme des M(x), y(0)=0, y(L)=0}, on a alors une belle courbe bien continue entre 0 et L.

kg ou N, si on gère bien, ça n'a aucune importance.

Biname