OK.
Je considère un repère (x,ct) noir et (x',ct') en rouge. Un barreau immobile dans (x,ct), de longueur propre L0 dans ce référentiel. La longueur de ce barreau dans (x',ct') est la longueur L, représentée en vert. Les axes (x') et (ct') se ferment comme les lames d'un ciseau d'un angle alpha=atan(v/c).
La petite particularité est que l'unité de longueur le long de l'axe x (le "1" noir) est différent de l'unité de longueur le long de l'axe x' (le "1" rouge). Plusieurs méthodes existent pour savoir où mettre le "1" rouge; celle que je préfère est basée sur le fait que les transformations de Lorentz conservent les surface dans un tel diagramme de Minkowski. Cela signifie que l'aire du carré bleu doit être égale à l'aire du losange rouge. D'après la formule de l'aire d'un losange, on trouve la première relation.
On obtient la deuxième expression en utilisant la définition du cosinus dans le triangle rectangle d'angle alpha et de côtés L et L0, sans oublier la redéfinition de l'unité de longueur le long de (x').
Il existe des identités trigonométriques pour le cos d'un atan et on arrive au résultat escompté.
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