Solitons et box-ball

[math47]

Bonjour,

Pour un cours je dois écrire un mémoire d'une quinzaine de pages sur les solitons et le box-ball system.

Auriez-vous connaissance d'articles, vidéos, etc. qui introduiraient un peu tout ça (je suis en L2 maths) ?
Pour le moment je ne tombe que sur des articles assez pointus et indigestes pour quelqu'un qui vient de découvrir leur existence...

Merci d'avance,
Bonne journée
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[Deedee81]

Salut,

Je ne sais pas ce qu'est le box-ball systemet pas facile de trouver des explications simples.
EDIT et je suppose qu'il existe un terme français différent ???

Par contre pour le soliton, rien que wikipeda est déjà pas mal : https://fr.wikipedia.org/wiki/Soliton
et a pleins de références

[math47]

Merci beaucoup !
Le box ball system est un système dynamique discret qui permet de vérifier les propriétés des solitons à la main si j'ai bien compris. En revanche je n'ai pas encore trouvé d'équivalent en français...

Édit :je lis sur wiki : "Un soliton est une onde solitaire qui se propage sans se déformer dans un milieu non linéaire et dispersif"

Qu'est-ce qu'un milieu non linéaire et dispersif ?

[Deedee81]

Merci beaucoup ! Le box ball system est un système dynamique discret qui permet de vérifier les propriétés des solitons à la main si j'ai bien compris. En revanche je n'ai pas encore trouvé d'équivalent en français...

Même soucis, en cherchant je trouve des trucs fort compliqués tous en anglais. Bon, on va voir s'il y en qui connaissent ici

[A voir en vidéo sur Futura]

[XK150]

Salut ,

C'est repris et développé ici . Je ne vois même pas à quoi cela peut servir !...

https://www.cambridge.org/core/journ...42DB5ABBA7DBAC

[Deedee81]

Oh Wow, c'est pas un cadeau comme sujet.

Math47 bon courage (mais la ref de Xk150 m'a l'air d'être plutôt appropriée)

[invite18230371]

milieu non linéaire et dispersif ?

Non linéaire :
la réponse du milieu n'est pas uniquement à la même fréquence que celle d'exitation.
Une cause à la fréquence w aura des effets sur d'autre fréquence que w.

En optique, "linéaire" veut dire :
PolarisationMatière(w) = Succeptibilité(w)*Onde(w)
Ce n'est plus vrai en optique "non-linéaire"

Dispersif, c'est que la vitesse de phase dépends de w.
Typiquement, une gaussienne temporel dans une fibre optique va se "dilater" car les composantes rouges vont plus vite que le bleu.
La gaussienne n'est donc pas un soliton dans une fibre.

Tu as un solition quand les effets non linéaires compense la dispersion.

[math47]

Merci pour cette explication StrangQuark !

[math47]

Merci XK150 ! Je vais me pencher là dessus... Heureusement c'est à rendre après les vacances de Noël ^^

[ThM55]

J'avais fait mon mémoire de maîtrise sur ce sujet (sur les solitons de Toda).

Une onde non dispersive linéaire (d'équation par exemple admet des solutions de la forme $f(x \pm ct )$ qui sont des formes d'onde qui se déplacent sans déformation. Comme c'est linéaire, une onde périodique peut se décomposer en série de Fourier et c'est non-dispersif, ce qui signifie que toutes les sinusoïdes de cette série se déplacent à la même vitesse c (la vitesse ne dépend pas de la fréquence). Même chiose pour la transformée de Fourier d'une forme d'onde quelconque (par exemple une gaussienne). On peut aussi considérer une équation plus simple, du premier ordre () et cela donne une onde qui se déplace seulement vers la droite (dans cette notation l'indice indique par rapport à quelle variable on dérive).

Si on ajoute un terme dispersif, par exemple un terme avec une dérivée troisième, alors la vitesse dépend de la fréquence (par exemple , on prend et on trouve une relation de dispersion liant omega à k. En fait dans ce cas une onde solitaire ressemblant à une gaussienne va se disperser au cours du temps, elle va s'étaler et perdre sa forme. A l'infini, toute son énergie est répandue partout sur la droite.

Si au contraire on ajoute un terme non linéaire, dans certains cas cela a un effet contraire à une dispersion: l'onde va au contraire avoir tendance à se concentrer de plus en plus, parfois même les solutions on un "blow up" et deviennent singulières en un temps fini.

Dans certaines équations, qui ont à la fois une non-linéarité et un terme dispersif, l'effet de la non-linéarité compense exactement celui de la dispersion pour certaines solutions particulière. On obtient alors des solitons. Dans l'exemple que j'ai donné, c'est le cas si on ajoute un terme de la forme . On obtient ainsi le prototype d'équation à soliton, l'équation de Korteweg-De Vries (il faut d'abord apprendre le néerlandais pour prononcer correctement son nom ). Il y a aussi des solutions à multi-solitons, de la forme par exemple f_1(x-ct) + f_2(x-ct) asymptotiquement pour . Ce qui est amusant c'est que la vitesse dépend de l'amplitude de l'onde et quand un soliton plus rapide rattrape l'autre, il interagit de manière complexe avec lui, le dépasse, et les deux retrouvent leur forme initiale par la suite. Asymptotiquement pour plus l'infini, on ontient un simple déphasage des formes d'onde f_1(x-ct+d_1)+f(x-ct+d_2). Une condition initiale quelconque peut évoluer en un ensemble de solitons de ce type, plus un bruit d'ondes dispersives qui décroissent et disparaissent. Le soliton est donc bien une solution fondamentale et générale de ce genre d'équations.

C'est un sujet d'un considérable richesse mathématique. L'étude des solitons a donné lieu depuis les années 1960 à des développements mathématiques très variés dus au grand nombre de méthodes mises en oeuvre, qui relèvent de l'analyse fonctionnelle, des groupes et algèbres de Lie et de Kac-Moody, de la géométrie algébrique, et aussi des méthodes inclassables comme la méthode des opérateurs bilinéaires de Hirota ou les transformations de Bäcklund, dont l'origine se trouve dans la géométrie des surfaces dans R^3. On a aussi développé des méthodes pour formuler les solitons quantifiés en théorie quantique des champs. En fait ces trucs ont vraiment été ma passion pendant plusieurs années, j'espère que vous m'excuserez si je suis trop bavard sur le sujet.

A côté de cela il y aussi une approche plus physique, qui a donné lieu à des techniques de transmission par fibre optique, mais qui n'ont jamais trouvé un marché (elles ont été dépassée par les performances du multiplexage par répartition de fréquences).

[math47]

Bonjour,

J'étais persuadé de vous avoir répondu ThM55... Votre réponse est très intéressante je vous remercie d'avoir rédigé tout ceci !

Je reviens ici car j'ai quelques questions :
Pour mon box-ball system je dois étudier les solitons hydrodynamiques.
J'ai trouvé que les solutions de la KdV equation sont les ondes cnoïdales.
J'ai aussi trouvé que des solutions existent pour les vagues en déplacement (j'espère que ma traduction n'est pas trop à côté du vrai terme).

Les ondes cnoïdales solutions sont des vagues en déplacement ?

Y a t-il plusieurs "types" de solutions à cette équation ?

Je vous remercie d'avance,
Bonne journée