Travail d'une force et notion de circulation

[nash06]

Bonjour à tous,

J'espère que je poste ça au bon endroit (en même temps, je pense que si je le postais en maths ça serait déplacé presque immédiatement en physique). Il y a un point qui est pour moi une source d'insatisfaction à propos du travail des forces et de la circulation.

Dans tous les bouquins que j'ai à ma disposition (essentiellement des bouquins de physique de prépa ou de premier cycle universitaire), la circulation est définie pour un champ de vecteur (c'est une fonction de deux variables : une variable étant le champ vectoriel considéré et l'autre variable étant le chemin suivi) :

Par exemple, avec la notation classique : désigne la circulation du champ vectoriel le long du chemin . (Parfois on précise également le point de départ et le point d'arrivée, mais on pourrait s'en passer, puisque le fait de préciser le chemin indique en particulier d'où on part et où on arrive.)

Par ailleurs, dans tous les bouquins que j'ai à ma disposition (et c'est encore le cas sur Wikipedia), le travail d'une force est défini comme "la circulation" d'une force le long de la trajectoire.

Cela ne me satisfait pas, puisque, dans le cas général, une force n'est pas un champ vectoriel, mais simplement un vecteur... (Je dis dans le cas général, parce que dans certains cas particuliers, à savoir pour les forces conservatives (et peut-être d'autres ?) on peut interpréter la force lorsque la particule est au point M comme la valeur d'un champ vectoriel au point M.) Je précise : si je calcule le travail d'une force de frottement pendant que la particule considérée parcourt un chemin , je à calcule l'intégrale . Mais précisément, ce n'est pas la valeur d'un champ vectoriel qui serait défini en tout M et pour tout t (ce n'est pas comme le champ des vitesses en mécanique des fluides). En fait n'est fonction que de t, et c'est plus par commodité qu'autre chose qu'on le représente généralement, à un instant donné, à l'endroit où se trouve la particule. Mais lorsque la particule est en M, ça n'a pas de sens de parler de où M' est un autre point.

Bref, ce n'est pas une "circulation" qu'on est en train de calculer, du point pas au sens où mes bouquins (et Wikipedia également) la définissent.

Voilà, je disais que c'était une source d'insatisfaction/de frustration, parce que ça ne me semble pas rigoureux, et que j'aimerais bien comprendre ça de manière plus rigoureuse. (Ne serait-ce que pour m'assurer qu'on ne met pas des choses "sous le tapis" qui pourraient être importantes dans des cas pathologiques particuliers en faisant de la sorte.)

Quelqu'un a-t-il des liens vers des pages web qui traitent de ce problème ? (ou un bouquin qui en parle...)

Merci d'avance.


Remarque : il y a un problème d'affichage j'ai l'impression, j'ai dû ajouter la balise pour écrire en latex manuellement.
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[nash06]

J'ai voulu éditer le message pour apporter une précision mais je ne peux plus, les 5 min sont écoulées. Du coup :

Ce qu'on fait quand on calcule , en fait, c'est sommer des termes , où et dépendent en fait d'une unique variable, à savoir le temps. On pourrait tout à fait écrire , où est le vecteur vitesse de la particule à l'instant t, et est le déplacement élémentaire de la particule à l'instant t.
Ce n'est donc pas à proprement parler un calcul de circulation.