Electron en physique du solide

[invitedabeddaf]

Bonjour à tous,

En physique du solide nous étudions le comportement des électrons dans un cristal pour définir les propriétés de ce cristal.
Les électrons sont décrits par leur fonction d'onde et ne peuvent atteindre que des niveaux particuliers d'énergies regroupés en bande.

Cependant lorsque nous étudions les fonctions d'ondes et les énergies des électrons, cela concerne un électron ou plutôt la fonction d'onde de l'ensemble des électrons du cristal?

La fonction d'onde trouvée correspond t-elle à celle d'un électron(ou de l'ensemble) dans tout le cristal ou juste entre deux potentiels ?

Si certains d'entres vous pourrez m'éclaircir sur ce sujet, j'en serais ravi,
En vous remerciant,
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[Deedee81]

Salut,

Cependant lorsque nous étudions les fonctions d'ondes

Difficile de dire exactement ce que vous étudiez en cours sans voir le cours en question

Toutefois, de ce que j'ai moi-même étudié à l'université :

Ce qu'on prend c'est le potentiel global non pas des électrons mais des noyaux, avec évidemment un potentiel périodique pour un cristal.

Puis on résout l'équation de Schrödinger pour un électron. Ce qui permet de calculer le spectre des énergies possibles avec un spectre de bandes dont principalement la bande de valence (électrons liés à un atome) et la bande de conduction (juste au-dessus, électrons libres). Ce qu'on obtient est donc la fonction d'onde d'UN seul électron. Le calcul est identique pour un "trou". C'est un calcul sacrément costaud (on ne devait pas l'étudier pour l'examen, mais je suis ingénieur pas physicien).

Après il faut tenir compte du fait qu'on a plusieurs électrons. Le principal étant que ce sont des fermions et donc qu'ils ne seront que deux (états de spins) par niveau d'énergie (en fait une bande c'est de très nombreux niveaux extrêmement resserrés, et on peut calculer la densité maximale d'électrons dans le matériau dans cette bande).

Eventuellement on tient compte du fait que les électrons sont indiscernables et ont des interactions entre-eux. C'est déjà ce qu'on fait quand on calcule la structure électronique d'un atome seul. Cela donne des corrections. On a ça aussi dans certains applications comme la théorie BCS de la supraconductivité où on va aussi calculer les perturbations du réseaux (vibrations = phonons) mais de toute façon un calcul analytique complet est impossible et on fait diverses approximations qui sont ensuite validées par l'expérience (ou pas !!!! Mais la théorie des bandes et la théorie BCS ont fait leurs preuves, du moins pour les supra basse température pour la théorie BCS mais ce n'est pas un problème d'approximation, plutôt d'effets complexes et pour les semi-conducteurs on est dans le "mésoscopique" : trop petit pour une approche classique, trop complexe pour des approximations et trop difficile pour un calcul analytique ce qui fait que depuis pas mal de temps maintenant il y a beaucoup de travaux, d'outils théoriques,... qui sont développés et ça ne me surprendrait pas que d'ici quelque temps (si c'est pas déjà le cas ?) une fois mûr cela se retrouvera dans les cours).

La propagation d'un électron seul dans un cristal peut aussi se calculer, en présence d'un champ électrique par exemple, soit par une approximation assez grossière comme dans le cours de Feynman, soit directement à partir des calculs de fonctions d'onde plus haut. Ce qui permet de calculer la conductivité, la masse effective des porteurs de charge etc.... Mais les résultats sont assez grossiers (approximations trop fortes mais inévitables et corrections difficiles) et on se base plutôt sur les mesures expérimentales pour la théorie des semi-conducteurs par exemple et plus généralement en physique statistique pour les matériaux conducteurs au sens large.

[albanxiii]

Bonjour,

La fonction d'onde trouvée correspond t-elle à celle d'un électron(ou de l'ensemble) dans tout le cristal ou juste entre deux potentiels ?

Avant les solides, vous avez du étudier les atomes. On fait pareil, on regarde pour un électron, parce qu'on ne sait pas résoudre analytiquement l'équation de Schrödinger avec plusieurs électrons. Mais on sait ensuite utiliser des méthodes d'approximation en superposant plusieurs solutions (en tenant compte du fait que les électrons sont des fermions et donc en les répartissant sur les différents niveaux d'énergie).

Pour un solide, c'est la même démarche. Il y a de fortes chances pour que votre cours pose l'hypothèse que les électrons n’interagissent pas entre eux. C'est évidemment simplifié, mais cela permet de comprendre beaucoup de phénomènes, au moins qualitativement.

[Deedee81]

Un article qui a l'air pas mal du tout :

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00213249/document
"les principes de calcul de structure de bandes et la notion de pseudopotentiel"
En français

On y trouve "La méthode de Hartree Fock" (j'avais oublié le nom mais c'est en effet ce que j'avais vu) et : "On montre aisément que la méthode de Hartree Fock néglige toute corrélation entre les positions relatives de deux électrons en dehors de celle qui est introduite par la forme antisymétrique de Psi(N)"

Des approches plus pointues sont également données.

[A voir en vidéo sur Futura]