Superposition en théorie quantique des champs

[Husserliana]

Bonjour à tous !

Ces excitations de tel ou tel champ quantifiés, que les théoriciens de la QFT interprètent, si je comprends bien, comme autant de "particules" ; sont-elles elles aussi sujettes à des superpositions d'états (mettons, des interférences entre plusieurs positions) -- ainsi qu'il en allait en mécanique quantique, pour l'atome d'hydrogène, ou tout autre système isolé?
Par-là même, peut-on encore appliquer l'équation de Schrödinger (ou du moins l'une de ses versions relativistes) ?
En effet, j'ai cru comprendre que le formalisme de Feynman (à base d'intégrales de chemins) était souvent préféré, au moins en pratique, par les physiciens de la QFT... sauriez-vous m'expliquer les raisons de cette préférence ?

Pardonnez-moi, mes questions sont sans doute un peu larges, et manquent de rigueur. Je ne suis qu'un novice en physique quantique (le formalisme mathématique m'est encore largement étranger... quoique je compte rattraper mon retard) ; je m'en excuse d'avance
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[Deedee81]

Salut,

Ces excitations de tel ou tel champ quantifiés, que les théoriciens de la QFT interprètent, si je comprends bien, comme autant de "particules" ; sont-elles elles aussi sujettes à des superpositions d'états (mettons, des interférences entre plusieurs positions) -- ainsi qu'il en allait en mécanique quantique, pour l'atome d'hydrogène, ou tout autre système isolé?

La réponse est oui, c'est tout à fait la même chose. C'est juste un peu plus compliqué car l'espace d'états a une structure plus complexe, c'est un espace de Fock. Mais un espace de Fock est un espace de Hilbert particulier, donc c'est comme en MQ "habituelle".

Par-là même, peut-on encore appliquer l'équation de Schrödinger (ou du moins l'une de ses versions relativistes) ?

Hé non, ce n'est pas possible. Car l'équation de Schrödinger ou celle de klein-Gordon ou celle de Dirac sont des équations pour des systèmes avec un nombre fixé de particules. Or la théorie quantique des champs traite des systèmes avec nombre variable (créations, annihilations). Ceci dit ces équations étant valables pour disons UNE particule, elles sont à la base de la description en théorie quantique des champs. Ainsi, en électrodynamique quantique (une version de la théorie quantique des champs pour électrons, positrons, photons) on part de l'équation de Dirac et des équations de Maxwell et on quantifie, le champ de Dirac n'est alors pas vu comme une fonction d'onde mais comme un champ classique avant quatnficiation (on parle parfois mais abusivement de seconde quantification).

En effet, j'ai cru comprendre que le formalisme de Feynman (à base d'intégrales de chemins) était souvent préféré, au moins en pratique, par les physiciens de la QFT... sauriez-vous m'expliquer les raisons de cette préférence ?

Ca c'est autre chose, c'est la méthode de quantification. Elles sont physiquement équivalentes mais techniquement fort différentes. On a la quantification canonique v.s. la quantification par les intérales de chemin (les articles wikipedia sur l'un ou l'autre sont fort complets). A priori la quantification canonique est plus simple mais dans certains cas elle pose de grosses difficultés techniques. Par exemple dans la quantification des théories de champs de jauge non abélienne, les intégrales de chemin sont bien préférables. Et quand on suit le cours de Feynman, on sent clairement le principe des "chemins" qui a un intérêt pédagogique certain (si on ne va pas trop loin car justement comme je l'ai dit c'est moins simple, déjà la définition de la mesure pour les intégrales de chemin n'a rien de triviale)

Pas de soucis pour tes questions, elles sont claires et bien que larges elles ont une réponse asses courte et précise (c'est vrai que ce n'est pas toujours comme ça ). Sauf si bien sûr on commence à approfondir tel ou tel point. Mais c'est aussi le but de telles discussions.

[Husserliana]

Merci Deedee, pour cette prompte et très complète réponse
Alors, histoire d'être bien sûr (et dites-moi si je me trompe) : un photon, en théorie quantique des champs, donc formalisé comme une unité d'excitation du champ électromagnétique, n'en reste pas moins soumis au principe de superposition : son état quantique se laisse toujours formaliser comme la combinaison linéaire de tous les états envisageables, si bien que ce même photon, comme quantum du champ, demeure "comme" (je me doute que ce n'est, à tout prendre, qu'une manière de parler) suspendu entre plusieurs états (dans mon exemple, plusieurs positions)... du moins AVANT la mesure, et la projection que celle-ci opère ?

Au passage : pourquoi serait-il abusif de parler de seconde quantification ? Du peu que j'en ai lu, c'est vrai que le passage d'une "révolution" quantique à une autre était toujours présenté ainsi...

Ah, également : le passage à l'espace de Fock est-il (entre autre) motivé par le fait que le nombre de particules, en QFT, précisément n'est pas fixé ?

[Deedee81]

Alors, histoire d'être bien sûr (et dites-moi si je me trompe) : un photon, en théorie quantique des champs, donc formalisé comme une unité d'excitation du champ électromagnétique, n'en reste pas moins soumis au principe de superposition : son état quantique se laisse toujours formaliser comme la combinaison linéaire de tous les états envisageables, si bien que ce même photon, comme quantum du champ, demeure "comme" (je me doute que ce n'est, à tout prendre, qu'une manière de parler) suspendu entre plusieurs états (dans mon exemple, plusieurs positions)... du moins AVANT la mesure, et la projection que celle-ci opère ?

C'est tout à fait juste. On peut même avoir des superpositions quantiques de nombres de photons différents.

Au passage : pourquoi serait-il abusif de parler de seconde quantification ? Du peu que j'en ai lu, c'est vrai que le passage d'une "révolution" quantique à une autre était toujours présenté ainsi...

on parle de seconde quantification non pour le fait qu'il s'agit d'une "révolution" mais du fait qu'on quantifie le champ de Dirac. Alors que la théorie de Dirac est déjà une théorie quantique.
Mais en réalité, on quantifie le champ de Dira vu comme un champ classique, on ne quantifie donc pas deux fois (d'où le nomn un peu abusif, bon, ceci dit je n'ai jamais vu de confusion là-dessus, pour une fois )
et d'ailleurs dans la quantification du champ électromagnétique, là, y a pas photo : le champ au départ est bel et bien un champ classique.

Ah, également : le passage à l'espace de Fock est-il (entre autre) motivé par le fait que le nombre de particules, en QFT, précisément n'est pas fixé ?

oui, tout à fait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

on pourrait aussi compléter le tableau en disant qu'un espace de Fock possede un état de base un vide sur lequel on opere par créations.
mais qu'on ne construit pas de cette facon tout le monde physique.
d'autres vides existent avec les quels on peut créer des choses non équivalentes.
tout se complique.

[Husserliana]

Rebonjour !
Je reviens après un long interlude, pour demander quelques précisions (et remercier au passage, Deedee et Ornithology !).

--Ornithology justement, signalait qu'un espace de Fock possède un état de base, dit "vide". S'agirait-il question ici du vide quantique comme "ground state" de tel ou tel champ, où ce dernier serait comme désexcité ?

--et lui d'ajouter qu'il existe d'autres vides "avec lesquels on peut créer des choses non équivalentes". De quels vides est-il question ici, et que faut-il entendre par là ?

--Deedee pour sa part m'indiquait qu'en théorie des champs, le principe de superposition s'applique non seulement aux états de chaque particule, mais aussi au nombre de ces particules -- de sorte que ce nombre tient lui-même lieu d'observable. J'ai l'intuition (mais celle-ci n'est pas toujours de bon conseil) que cela va de pair avec le fait qu'un tel nombre, en QFT, n'est pas constant, est sujet à variation (et c'est bien l'un des principaux intérêts de la QFT, du moins si je comprends bien !). Mais si vous pouviez préciser cette intuition, je vous serai infiniment redevable
Par ailleurs : quel est le lien entre cette dernière superposition (celle du nombre de quanta) et le concept d'intrication ?

Merci d'avance !!

[Deedee81]

Salut,

--Ornithology justement, signalait qu'un espace de Fock possède un état de base, dit "vide". S'agirait-il question ici du vide quantique comme "ground state" de tel ou tel champ, où ce dernier serait comme désexcité ?

L'état de base (ground state).
Mais le deuxième bien que bizarrement formulé n'est pas faux vu que les autres états peuvent être vu comme des excitations des champs de base.

--et lui d'ajouter qu'il existe d'autres vides "avec lesquels on peut créer des choses non équivalentes". De quels vides est-il question ici, et que faut-il entendre par là ?

C'est quand on considère des référentiels accélérés ou des espace-temps courbes (relativité générale). C'est assez complexe.
EDIT un aperçu :
https://en.wikipedia.org/wiki/Bogoliubov_transformation
https://fr.wikichali.com/492118-quan...-curved-MLFSGV
https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Unruh
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ent_de_Hawking

--Deedee pour sa part m'indiquait qu'en théorie des champs, le principe de superposition s'applique non seulement aux états de chaque particule, mais aussi au nombre de ces particules -- de sorte que ce nombre tient lui-même lieu d'observable. J'ai l'intuition (mais celle-ci n'est pas toujours de bon conseil) que cela va de pair avec le fait qu'un tel nombre, en QFT, n'est pas constant, est sujet à variation (et c'est bien l'un des principaux intérêts de la QFT, du moins si je comprends bien !). Mais si vous pouviez préciser cette intuition, je vous serai infiniment redevable

Non, en effet, ce n'est pas lié.

Par ailleurs : quel est le lien entre cette dernière superposition (celle du nombre de quanta) et le concept d'intrication ?

On pourrait avoir un état d'un système 1 qui est une superposition quantique de disons deux états : un avec deux photons, un avec trois photons.
Et de même un système 2 comme ça aussi.
Et une intrication (les deux ayant de facto par exemple le même nombre de photons).

Je ne crois pas que cela ait été expérimenté, ce ne doit pas être des états faciles à produire et étudier.

[ThM55]

Par-là même, peut-on encore appliquer l'équation de Schrödinger (ou du moins l'une de ses versions relativistes) ?
En effet, j'ai cru comprendre que le formalisme de Feynman (à base d'intégrales de chemins) était souvent préféré, au moins en pratique, par les physiciens de la QFT... sauriez-vous m'expliquer les raisons de cette préférence ?

Bonjour. Je ne suis pas tout à fait d'accord avec la réponse de Deedee. Certes, on ne peut plus parler de la fonction d'onde à une particule. Dans un processus simple tel que l'émission d'un photon, ou l'annihilation électron-positron, on serait complètement démuni.

Toutefois, il existe une formulation de la théorie quantique des champs en "image de Schrödinger". Les "coordonnées" ne sont plus celles de l'espace mais les valeurs de tous les champs dans l'espace. La "fonction d'onde" est alors une fonction définie sur l'espace de dimension infinie des configurations de champ, les physiciens appellent souvent cela une fonctionnelle. L'équation de Schrödinger est formellement identique à l'équation usuelle, écrite avec des dérivées fonctionnelles par rapport aux "coordonnées-champs" et on peut appliquer le principe de superposition. Pour faire les calculs dans ce formalisme, on doit définir une intégration sur cet espace fonctionnel et ainsi définir un produit hermitien pour faire de l'espace des états un espace de Hilbert. Par exemple pour une expérience de collision de particules on part d'une configuration de champs à la limite des temps à moins l'infini qui contient des ondes planes, en supposant que ces ondes planes sont un bon modèle pour nos particules. Ensuite on calcule l'évolution de l'état initial en tenant compte des termes d'interaction, en les traitant comme dans le calcul de perturbation de l'équation de Schrödinger. On projette les états obtenus sur les états asymptotiques en onde plane et applique la règle de Born pour obtenir les sections efficaces.

Mais après 1945 on a complètement laissé tomber cette méthode pour les raisons suivantes, qui sont liées entre elles (je ne parlerai pas des questions de validité mathématique des définitions, qui sont considérables, car elles existent aussi dans la représentation d'Heisenberg). D'abord la représentation de Schrödinger rend opaque l'invariance relativiste de la théorie. Elle traite en effet le temps et l'espace de manières différentes. Si le champ est un opérateur, en représentation d'Heisenberg il dépend du temps de la même manière que de l'espace. Cela rend immédiate la covariance relativiste des équations. En représentation de Schrödinger l'opérateur de champ ne dépend que de l'espace. La dépendance temporelle est reportée sur la "fonctionnelle d'onde". De plus, les calculs de perturbations deviennent particulièrement compliqués et même humainement irréalisables pour des calculs au delà du premier ou du deuxième ordre. Cela vient du fait que des processus qui dans le formalisme de Feynman sont représentés par un seul diagramme sont éclatés en plusieurs diagrammes et ils apparaissent de manière trompeuse comme des processus physiquement distincts dans la représentation de Schrödinger. C'est un effet déplorable de la séparation temps-espace. Les antiparticules doivent aussi subir un traitement séparé, qui n'est pas naturel, et tout cela est lié au défaut initial. Je pense même que la renormalisation de l'électrodynamique quantique n'aurait jamais pu être obtenue si on s'était limité à cette méthode.

Toutefois, beaucoup de calculs de processus en électrodynamique avant 1945 (tous au premier ordre et les premiers calculs de renormalisation) on été effectués avec ce formalisme. De plus, je trouve que cette représentation de Schrödinger conserve un certain intérêt conceptuel. Il est instructif de voir comment on peut retrouver pour les champs libres les notions d'espace de Fock et de particules à partir de ce formalisme.

Le formalisme est exposé dans cette optique, à côté de l'approche covariante de Feynman, dans le livre de Brian Hatfield, "Quantum field theory of particles and strings", dans lequel il calcule la renormalisation de la masse de l'électron en EQ à une boucle. Mais pas plus, pour la renormalisation à 1 boucle de l'électrodynamique, il utilise bien sûr les diagrammes de Feynman.

[Deedee81]

Salut,

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec la réponse de Deedee.

Et tu as raison. A ma décharge je n'ai pas trop l'habitude des approches fonctionnelles (j'ai potassé mais pas utilisé). Merci ThM

[ornithology]

je reviens également tardivement car mon ordi était en panne et mon smartphone agonisait.

L'état de base (ground state).
Mais le deuxième bien que bizarrement formulé n'est pas faux vu que les autres états peuvent être vu comme des excitations des champs de base.

si on note 0> l'état du vide de l'espace de Fock, sa propriété qui le définit que c'est le vecteur propre pour la valeut o de l'opérateur d'annihilation a:
a |0> = 0 |0> qui n'est pas le vecteur 0> mais le vecteur nul
agissant sur 0> les opérateurs de création a* vont donner des vecteuts avec des nombres d'occupation non nuls, des vecteurs de l'espace de Fock.
considérons maintenant un nombre comples non nul z et l'opérateut a + zI que je vais écrire a + z = a(z)
on a :
(a + z) |0> = z |0> qui n'est pas le vecteur nul
cet opérateur possede un vecteur propre V pour la valeur propre nul
a(z) V = 0 V
cet etat est le vide pour l'opérateur a + z et on le note |0(z)>
opérat sur lui par a* + z* on construit de nouveaux vecteur avec des nombres d'occupation bien définis
pour a*(z) a(z)
on a (0)> = a et les deux vides sont égaux
quand z croit leur produit scalaire décroit
Blasone a écrit un bon papier papier sur le sujet. je peux le retrouver si ca vous intéresse.

[Deedee81]

SAlut,

Arg, zut, réunion qui commence, je regarderai demain

[ornithology]

regardez l'article de Blasone
et la formule 1.23
0(theta)> appartient il a l'espace de Fock initial? cad est il de norme finie?
si non alors on est sorti du premier espace de Fock et on est dans un autre qui possede lui aussi son propre vide.
ces deux reptésentation sont elles équivalentes? c'est l'objet de l'article.

une petite remarque sur les notations des opérateurs d'annihilation. quand on a un état d'impulsion p donné a une particule on dit qu'il a été créé par un opérateur opérant sur le vide.
dans l'article on n'a pas d'indice pour les opérateurs a et a*
mais il parle d'un oscillateur harmonique . un oscillateur harmonique est défini pour chaque oméga donné et il est implicite ici dans a et a*
et le vide 0> est annihilé par tous les opérateurs d'annihilation queque soit leur oméga.
le vide 0> ne fait donc pas référence a une valeur minimale d'une énergie mais a un espace de Fock particulier qu'il permet de créer par une famille infinie d'opétateurs de créations (les indices omega implicites)
et quand les degres de libertés deviennent en nombre infini on voit que les a* + z* n'en font pas partie.

[Deedee81]

Salut,

Ok cette fois j'ai pu voir tout ça. Aucun problème avec tout ça.

Intéressant Blasone. En plus il parle des "squeezed states", j'avais vu ça en optique quantique et j'avais difficile de trouver des références. Chouette. Un article abordant tout ça de manière très rigoureuse, c'est toujours plaisant.

[ornithology]

C'est d'autant plus intéressant ces vides comprimés que ce sont des vides alternatifs a celui de l'espace de Fock habituel. et ils ne sont pas spéculatifs comme ceux des effets Unruh ou a trouver pres des trous noirs.
Ils sont manipulés depuis longtemps dans des laboratoires d'optique quantique.
Pourrais tu me illustrer par des exemples le cas a un mode ou l'opérateur a suffit et un autre a deux modes
ou il faur les deux opérateurs a et b?
merci

[Deedee81]

C'est d'autant plus intéressant ces vides comprimés que ce sont des vides alternatifs a celui de l'espace de Fock habituel. et ils ne sont pas spéculatifs comme ceux des effets Unruh ou a trouver pres des trous noirs.
Ils sont manipulés depuis longtemps dans des laboratoires d'optique quantique.

Bien vu.

Pourrais tu me illustrer par des exemples le cas a un mode ou l'opérateur a suffit et un autre a deux modes
ou il faur les deux opérateurs a et b?

Heu.... pardon ???? Quels modes ?

[ornithology]

du coté de l'équation 1.58
two modes squeezed states
j'ai déja trouvé cette distinction des les transformations de Bogolubov entre 1 et 2 modes.

[Deedee81]

Ah d'accord. Désolé, là ça dépasse mes connaissances. Je ne sais pas.

[ornithology]

je ne crois pas
regarde le lien sur les transformations de Bogoliubov sur wikipédia que tu as donné plus haut
il y a l'exemple "singlel mode" et plus bas un multimode example
mais ca reste abstrait ce multimode je cherche un truc plus concret disons a deux modes.

[Deedee81]

je ne crois pas

je parlais de mes connaissances en optique quantique. j'ai regardé la partie concernée dans l'article. Y a Unruh, Casimir dynamique tout ça.... Mais dans des cas concrets, pour l'optique quantique, je suis une bille.

[ornithology]

je viens de penser a un oscillateur harmonique quantique qui vibrerait dans un plan x,y avec deux fréquences omega et nu différantes. on aurait deux opérateurs d'annihilation a et b vérifiant chacun séparément les relations de commutation
et commutant entre eux. ils annihileraient tous deux le meme vide.

[Deedee81]

Salut,

je viens de penser a un oscillateur harmonique quantique qui vibrerait dans un plan x,y avec deux fréquences omega et nu différantes. on aurait deux opérateurs d'annihilation a et b vérifiant chacun séparément les relations de commutation
et commutant entre eux. ils annihileraient tous deux le meme vide.

Bien vu. En effet. Ceci dit je ne m'avancerai pas en disant que c'est analogue aux cas à deux modes de l'article, pour ça faudrait le lire plus en détail.

[ornithology]

Un article a sauvegarder et a lire quand on a du temps:
BCS states as squeezed pair states
on y a la totale. transformations de Bogoliubov, squeezed states , superconductivité....