Action des champs en TQC

[Aloph]

Bonjour,


Je travaille actuellement sur les prémisses de la théorie quantique des champs. Mais j'ai un problème côté interprétations physique. Voilà, pour l'instant, j'en suis à la quantification du champ scalaire libre en Klein-Gordon et de la forme en point de vue de Schrödinger. Mais je n'arrive pas à précisément comprendre leur nature ainsi que leurs actions. De plus, j'aimerais être sûr d'avoir compris quelque chose. L'espace dans lequel on traite est composé d'une infinité d'OH découplés disposés de manière continue dans l'espace des , où les et sont des opérateurs qui créent et annihilent des bosons. Pour moi, ce que je manipule est assez flou d'un point de vue phénoménologique et pratique. J'espère que quelqu'un pourra m'éclairer sur ces points.


Merci!
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[ThM55]

Les opérateurs de création et d'annihilation ont en effet les mêmes relations de commutation que les opérateurs de Dirac pour l'oscillateur harmonique. Le spectre de l'oscillateur harmonique est additif, s'il y a des états stationnaires (états propres de l'énergie) d'énergie E1 et E2, il y a un état qui a leur somme comme énergie. Le spectre est un multiple entier de l'énergie la plus petite (plus une "énergie du vide", mais qu'on ignore sciemment en théorie des champs). Cela correspond assez bien à l'idée d'une particule: on peut exciter l'état du champ d'impulsion p un nombre entier de fois. Cela crée un nombre entier de particules de cette impulsion.

Si vous calculez les relations de commutation des champs, en particulier pour des temps égaux mais des points distincts, à partir de cette transformée de Fourier, en injectant les relations pour les créateurs et annihilateurs, vous retrouverez la correspondance de Dirac avec les crochets de Poisson. Ici ces crochets sont avec des dérivées fonctionnelles, et il faut en réalité considérer tous ces champs comme des distributions.

On voit donc qu'il y a via la transformée de Fourier un chemin qui fait correspondre la quantification de champs par le formalisme canonique d'un côté, et de l'autre une interprétation au moyen de particules interprétées comme des excitations quantifiées d'oscillateurs harmonique. C'est le formalisme qui encode profondément l'ancienne notion de "dualité onde-particule".

Pour mieux développer son intuition à ce sujet, je trouve instructif d'étudier aussi les états cohérents de l'oscillateur harmonique et de voir ce que cela donne quand on les applique aux champs quantiques libres.

[Aloph]

Merci de votre réponse ! Néanmoins, des zones me sont toujours sombres.

on peut exciter l'état du champ d'impulsion p un nombre entier de fois. Cela crée un nombre entier de particules de cette impulsion.

Vous parlez ici de ?

De plus, j'aimerais savoir s'il y a une application un minimum concret avec ce modèle. Car je comprends sans soucis les ce qui découle mathématiquement de tout ça, mais pas ce qu'il pourrait se passer physiquement. Ou alors est-ce seulement une brique (vide de sens physique) servant à construire des modèles plus parlant ?

[ThM55]

Mais quel est votre niveau en mécanique quantique? Je m'étonne que vous abordiez la théorie quantique des champs sans comprendre ce dont elle parle.

Savez-vous comment construire les états propres du hamiltonien de l'oscillateur harmonique au moyen des opérateurs ? Comment exprimer ce hamiltonien au moyen de ces opérateurs? L'opérateur nombre d'occupation? Leur lien avec les opérateur x et p?

C'est fondamental de bien connaître cela.

Et oui il y a une application concrète, par exemple construire les états relativistes à une, deux, ...., N particules en agissant avec les opérateurs sur l'état |0>.

Dans les accélérateurs de particules on accélère des particules puis on réalise des collisions et on mesure le nombre de fois que le les produits de collision émergent avec une énergie donnée dans un angle donné . Ou bien on mesure la durée de vie d'un état avant désintégration, ou des rapports de branchement, etc (voir le rapport périodique du Particle Data Group, il y a des milliers de résultats de ce genre). Les états initiaux et finaux sont modélisés précisément en supposant que loin de la zone d'interaction les états sont construits au moyen des opérateurs de champs libres agissant sur l'état de vide. Ensuite on applique les lois de la mécanique quantique pour évaluer les probabilités. C'est plus compliqué que l'exemple élémentaire que vous proposez car il y a aussi des champs vectoriels et des champs spinoriels, et en plus, le gros morceau est qu'il faut calculer l'évolution de l'état initial quand les champs sont en interaction.

Excusez-moi si ce que j'explique vous semble évident, mais je trouve ces questions bizarres car quelqu'un qui a atteint le niveau pour étudier la théorie des champs ne devrait pas avoir besoin qu'on lui explique tout ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Aloph]

Savez-vous comment construire les états propres du hamiltonien de l'oscillateur harmonique au moyen des opérateurs ? Comment exprimer ce hamiltonien au moyen de ces opérateurs? L'opérateur nombre d'occupation? Leur lien avec les opérateur x et p?

Oui, je comprends totalement tout ça. Mon problème n'est pas la compréhension de l'OH quantique. Le problème, c'est que l'analogie qui est faite entre l'OH quantique basique et celui de la TQC me laisse un peu confus. Je comprends l'utilité des opérateurs de création et d'annihilation et tout le reste, mais c'est sur la nature des champs que je bloque. Je n'arrive pas à me les représenter exactement. et ont dans le cas que je vous expose des relations de commutations analogues à et pour l'OH quantique, mais que sont-ils physiquement ? Seulement des objets que l'on manipulent entres eux afin de construire et ou quelque chose de plus profond ?

Excusez-moi si ce que j'explique vous semble évident, mais je trouve ces questions bizarres, car quelqu'un qui a atteint le niveau pour étudier la théorie des champs ne devrait pas avoir besoin qu'on lui explique tout ça.

Désolé si mes questions semblent confuses, mais je veux que mes bases dans ce domaine soient solides et je veux être sûr que je ne loupe rien !

[ThM55]

OK, la question est le sens physique des et . Ce sont des opérateurs, ils agissent sur un espace de Hilbert où les états physiques du champ considéré sont représentés par des rayons (=multiples complexes d'un état de norme unité). L'opérateur du champ en un point x de l'espace crée une particule en x. Par exemple si on le fait agir sur l'état de vide du champ (qui est tel que , = le vecteur nul de l'espace des états), on obtient l'état , qui est un état à une une particule au point x, qui est dans une superposition d'états à impulsion strictement définie. Evidemment, vu la transformée de Fourier, autrement dit les relations d'incertitude, cette particule n'a pas d'impulsion définie. De plus, c'est mal défini mathématiquement, car cet état n'est pas normalisable.

Je ne veux pas trop insister sur les maths , juste une petite digression mais qui a son importance: en réalité le champ n'est pas réellement une fonction définie sur l'espace (ou l'espace-temps) et à valeur dans l'espace des opérateurs sur l'espace de Hilbert, il s'agit en fait d'une distribution. Si on veut un état normalisable (ce qui est souhaitable), il faut "répartir" l'opérateur comme suit: et choisir la fonction test f telle que . De manière duale, on utilisera aussi une fonction test sur pour localiser la particule dans un volume fini. En général on a tendance à ignorer ces questions mathématiques quand on effectue des calculs en physique des particules, car on veut arriver rapidement aux résultats. Mais je trouve cela important si on veut bien comprendre le sens physique de ce formalisme.

Autre remarque: le formalisme des champs quantiques s'applique également à la mécanique quantique non relativiste pour 1 ou plusieurs particules dans un potentiel externe et une interaction mutuelle représentée par un potentiel. On en a un aperçu dans la section 1 du livre de Srednicki par exemple (ce qui suit l'équation (1.30)). Mais le nombre de particules est conservé dans ce contexte.

[Aloph]

D'accord, c'est plus clair maintenant. Merci !