Tranformation de Lorentz et contraction des longueurs

[Maxh81]

Bonjour,
Je cherche à démontrer la contraction des longueurs à grande vitesse grâce à la transformation de Lorentz.


Considérons deux référentiels C et D. Le référentiel D est en mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel C, fixe par rapport au référentiel D, et se déplace à la vitesse de 12 km/h.
Dans le référentiel C, les coordonnées des extrémités F et G d’un objet H - se déplaçant à 240 000 km/s - sont x(F) = 5 et x(G) = 6, et la longueur L est égal à la différence de x(G) et de x(F) qui est égal à 6 - 5 = 1. Dans le référentiel D, les coordonnées des extrémités de l’objet E sont x'(F) = (x - Vt)/(√1-(V^2/c^2)) = (5 - 240 000 * 1)/(√1-(240 000^2/299 792 458^2)) = -400 485,28 et x'(F) = (x - Vt)/(√1-(V^2/c^2)) = (6 - 240 000 * 1)/(√1-(240 000^2/299 792 458^2)) = -400 483,61.
La longueur L est alors égale à -400 483,61 + 400 485,28 = 1,67.



Désolé pour la lisibilité, cela l'est moins que sur Word...

Je visualise donc une dilatation des longueurs ! Je n'arrive pas à trouver mon erreur...
Merci beaucoup pour votre aide,
Maxime
-----

[gts2]

Bonjour,

Vous manipulez déjà trois référentiels C D et le référentiel propre de l'objet H. Vous n'utilisez d'ailleurs pas le référentiel D (votre calcul se fait dans le référentiel H).
Et donc le calcul que vous faites détermine la longueur de l'objet H dans son référentiel propre et il est donc normalement plus grand :
"la contraction des longueurs désigne la loi suivant laquelle la mesure de la longueur d'un objet en mouvement (1) est diminuée par rapport à la mesure faite dans le référentiel où l'objet est immobile (1,67)"

[Maxh81]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.

Vous manipulez déjà trois référentiels C D et le référentiel propre de l'objet H. Vous n'utilisez d'ailleurs pas le référentiel D (votre calcul se fait dans le référentiel H).

C'est normal, vous ne voyez qu'un aperçu de la démonstration. J'utilise le référentiel D dans une autre démonstration faite précédemment, que je n'ai pas mise sur le forum. J'ai oublié de supprimer cette phrase...
Mon calcul ne se fait pas dans le référentiel H, mais dans le référentiel C puisque l'objet se déplace à 240 000 km/s dans le référentiel C.

Et donc le calcul que vous faites détermine la longueur de l'objet H dans son référentiel propre et il est donc normalement plus grand

Sauf que la mesure faite dans le référentiel où l'objet est immobile est de 1, et non pas 1,67. Normalement, la mesure de l'objet H dans le référentiel C devrait donc être inférieure à 1.

Merci d'avance pour votre aide.

[gts2]

Vous dites :
"Dans le référentiel C, les coordonnées des extrémités F et G d’un objet H sont x(F) = 5 et x(G) = 6"
Donc la longueur de 1 est bien dans le référentiel C pas dans le référentiel H.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Maxh81]

Alors comment faire pour avoir une distance égale à 1 dans le référentiel H et inférieure à 1 dans le référentiel C ?

D'autre part j'utilise le référentiel D :

Dans le référentiel D, les coordonnées des extrémités de l’objet E sont [...]

[Maxh81]

Mais voici une version simplifiée (avec seulement deux référentiels) :
Considérons un référentiel C et un objet H se déplaçant à 240 000 km/s.
Dans le référentiel de l'objet H, les coordonnées de ses extrémités F et G sont x(F) = 5 et x(G) = 6, et la longueur L est égal à la différence de x(G) et de x(F) qui est égal à 6 - 5 = 1. Dans le référentiel C, les coordonnées des extrémités de l’objet E sont x'(F) = (x - Vt)/(√1-(V^2/c^2)) = (5 - 240 000 * 1)/(√1-(240 000^2/299 792 458^2)) = -400 485,28 et x'(F) = (x - Vt)/(√1-(V^2/c^2)) = (6 - 240 000 * 1)/(√1-(240 000^2/299 792 458^2)) = -400 483,61.
La longueur L est alors égale à -400 483,61 + 400 485,28 = 1,67.

[gts2]

D'autre part j'utilise le référentiel D :

Vous dites que vous l'utilisez mais vous prenez comme vitesse celle de H, donc ce n'est pas une transformation de Lorentz C -> D.
Et si vous effectuiez cette transformation, x'(F)-x'(G) de vous donnerait pas la longueur mesurée dans D, puisque les mesures de position seraient faites à deux instants différents

Alors comment faire pour avoir une distance égale à 1 dans le référentiel H et inférieure à 1 dans le référentiel C ?

Vous prenez une longueur dans C de 1/1,67 et votre calcul vous donnera une longueur de 1 dans H.

[gts2]

Dans le référentiel C, les coordonnées des extrémités de l’objet E sont x'(F) = (x - Vt)/(√1-(V^2/c^2)) = (5 - 240 000 * 1)/(√1-(240 000^2/299 792 458^2)) = -400 485,28 et x'(F) = (x - Vt)/(√1-(V^2/c^2)) = (6 - 240 000 * 1)/(√1-(240 000^2/299 792 458^2)) = -400 483,61. La longueur L est alors égale à -400 483,61 + 400 485,28 = 1,67.[/I]

Ce sont deux coordonnées prises à deux instants différents donc la différence des coordonnées n'est pas la longueur de l'objet.
Dans l'autre sens, cela marche, parce que l'objet est au repos dans H, et on peut donc prendre les coordonnées à n'importe quel instant.

[Maxh81]

C'est-à-dire dans l'autre sens ?
Et en théorie la mesure est prise au même instant (t=1), même si ça n'est pas forcément possible dans la pratique, non ?

[gts2]

Quand je dis dans l'autre sens je parle de votre premier calcul : mesure de la position de F et G à t dans C, et calcul de F et G dans H. Ce calcul est correct et vous donne bien la contraction.

Pour éviter le problème du repérage au même instant de F et G, on raisonne dans l'autre sens, on se fixe une position et on mesure l'intervalle de temps entre le passage de F et G, puis L=vT.

[Maxh81]

Ok j'ai compris, tout fonctionne bien :

Dans le référentiel C, les coordonnées des extrémités F et G d’un objet H - se déplacant a 240 000 km/s - sont x(F) = 5 et x(G) = 5,6, et la longueur L est égale à la différence de x(G) et de x(F) qui est égal à 5,6 - 5 = 0,6.
Dans le référentiel de l’objet H, les coordonnées de ses extrémités sont x'(F)= (x-Vt)/√(1 - V^2/c^2 ) ≈ (5 - 240 000 ∙ 1)/√(1 - 240 000^2/299 792,458^2 ) ≈ -400 485,28 et x'(F) = (x-Vt)/√(1 - V^2/c^2 ) ≈ (5,6 - 240 000 ∙ 1)/√(1 - 240 000^2/299 792,458^2 )≈ -400 484,28 . La longueur L est alors égale à -400 484,28 + 400 485,28 =1.

On visualise alors bien la contraction des longueurs.

Merci beaucoup !