RG et contraction des longueurs

[Benzki]

Bonjour à tous.
L'expérience de pensée : si Terre était solide et parfaitement lisse, et que ses occupants la pensant plate, eurent l'idée de vouloir mesurer sa longueur...
Utilisant une barre de 10 mètres de long avec au milieu la petite bulle d'eau pour vérifier que le sol est bien horizontal, la barre reste bien plaquée au sol, les scientifiques du moment ne détectent aucune courbure, ils semblent ignorer que la graviation courbe légèrement leur matériel.
Faisant le tour de la Terre, la stupeur : ils pensent s'être éloignés constamment tout droit, et les voilà revenus au point de départ.
Certains scientifiques alors osent imaginer l'impensable : la Terre serait ronde, et le matériel serait déformé par la gravitation. L'un deux alors eut cette idée : refaire l'expérience, noter la longueur totale de la supposée circonférence, et effectuer à nouveau une mesure, mais cette fois, non plus directement sur la surface du sol, mais à une hauteur d'un mètre, en plaçant une suite ininterrompue de piquets sur toute la circonférence.
Le verdict tombe : mesure au sol : 40.000.000 mètres pour revenir au point de départ, mesure à 1 mètre, 40.000.006 mètres. Bref : pour être précis : 6,28 m exactement de plus.
Oups ! Effervescence entre les scientifiques, les idées abondent. Certains prétendent que la différence mesurée à la hauteur d'un mètre serait due à un effet de la gravitation, un poil plus faible, et entrainerait une dilatation des longueurs, faussant ainsi les mesures.

Tout ceci pour amener ma question : quelle serait la différence de longueur constatée par un métrage, dû à la différence infime de gravitation ? Dans l'expérience de pensée décrite, on obtient une différence avec 7 ordres de grandeur.
Je vous prie déjà par avance de bien vouloir m'excuser si la question est idiote.
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[mach3]

Salut,

Il y a une première difficulté qui concerne la mesure des 1m de haut pour les piquets. En effet, selon la méthode de mesure, des piquets verticaux ont différentes hauteurs :
-une hauteur radar, qui est tc/2, t étant la durée d'aller-retour d'un signal radio ou lumineux entre la base et le sommet du piquet (sachant que t sera différent si on mesure depuis la base ou si on mesure depuis le sommet, il y a en fait deux hauteurs radar...)
-une hauteur métrique, qui s'obtient en intégrant le long du piquet (r étant la coordonnée radiale de Schwarzschild, à manipuler avec précaution, ce n'est pas une distance au centre en toute rigueur). Si au lieu de mesurer la hauteur radar du piquet entier, on considère n segment du piquet et qu'on somme les n hauteurs radar de ces segments (sans les changer d'altitude!), le résultat tend vers la hauteur métrique quand n tend vers l'infini
-une hauteur mesurée par comparaison avec un étalon (une règle ou un mètre ruban), qui dépendra des propriétés mécaniques de l'étalon et éventuellement de l'utiliser (une règle posée verticalement au sol va se tasser un peu, un mètre ruban pendant du haut du piquet va s'allonger un peu).
Je précise bien que en temps normal (quand on ne cherche pas à mesurer des nanopouillèmes de cheveux coupés en 4), à la surface de la Terre, ces 3 hauteurs sont identiques à toutes fins pratiques.

Suivant si on considère des piquets de 1m de hauteur radar mesurée depuis la base, ou 1m de hauteur radar mesurée depuis le sommet, ou 1m de hauteur métrique, ou de 1m par rapport un mètre ruban, ou de 1m par rapport à une règle, le calcul ne donnera pas exactement le même résultat...
Pire, on pourrait prendre des piquets qui mesurent 1m horizontalement (la différence longueur métrique/longueur radar/longueur comparée à un étalon sera encore plus négligeable), mais qui une fois mis à la verticale auraient des hauteurs qui dépendraient de leurs propriétés mécaniques...

Une fois cette difficulté franchie, le choix de la signification de "piquet de 1m" nous donnera la coordonnée r des sommets des piquets que l'on pourra utiliser pour calculer la circonférence métrique qui sera simplement (tout est donc simplement dans la détermination de la coordonnée r au sommet des piquets...).

Une nouvelle difficulté concernera la façon mesurer cette circonférence. Pour mesurer la vraie circonférence métrique, il faut faire tendre le nombre de piquets vers l'infini et mesurer la distance radar ou la distance par comparaison à un étalon entre chaque sommets de piquet consécutifs puis faire la somme. Plus le nombre de piquets sera petit, plus la circonférence mesurée va s'écarter la circonférence métrique.

m@ch3

[mach3]

Au fait, juste pour préciser, je n'ai pas été exhaustif sur les méthodes de mesures, mais ça ne change pas la teneur du message.

m@ch3

[Benzki]

Merci Mach3. En vous lisant, je me demandais pourquoi vous insistiez tellement sur la mesure de la hauteur des piquets, et non sur la modification de la mesure de la circonférence (on suppose que l'on mesure la circinférence de 2 cercles parfaits), mais c'est tout simplement du fait que j'oublie que la contraction/dilatation des longueurs dus à la gravitation n'est opérante que dans le sens radial par rapport à l'astre. Et donc, ma question est tout simplement erronée. Encore merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[markusbloch]

Je rencontre une difficulté dans le calcul de la distance radiale et je ne parviens pas à trouver de réponse sur le net. Quand je fais le calcul avec l'expression en coordonnées de la tortue de la métrique de Schwarzschild, pas de problème; mais j'ai voulu faire le changement de coordonnées suivant sur l'intervalle écrit en coordonnées de la tortue: t=t'+eps*r' ; r=r'+eps*t' (eps = constante), et réaliser le calcul de la distance radiale réelle directement à partir de l'intervalle obtenu en coordonnées t',r'. Je ne parviens pas à retrouver le résultat précédent. Comment faut-il procéder ?

[markusbloch]

ajout d'un fichier expliquant en détail le problème