Exercice simple sur 60Co

[Tengri]

Bonjour,

Me revoici avec l’exercice proposé l'autre jour par XK50, entièrement résolu par moi, et j'ai la satisfaction de voir que je trouve quasiment la même chose que la correction. Je pense que c'est important de poster ces calculs pour montrer aux intervenants qu'ils ne se sont pas épuisés pendant 200 messages pour rien:

Aujourd'hui , là , sur ma table , j'ai une source de 60Co qui contient 10^21 atomes radioactifs de 60Co ( période 5.2714 ans , car vous êtes amateur de précision et que , désolé , on ne sait pas dire plus précis ...)

1 - Quelle est son activité actuelle ?
2 - Quelle sera son activité dans 1 an ( une année métrologique , sans plus de précision , c'est 365.25 jours ) ?
3 - Combien restera t il d'atomes dans la source de 60Co dans 1 an ?
4 - Combien d'atomes de 60Co se sont désintégrés en 1 an ?

1) T=5.2714a

Il y a donc dans T:
5.2714a * (nbre de s dans a, soit 31 536 000)=166 238 870s

λ=ln2/T=0.693/166 238 870s=4.169*10^-9

A0=λ*N0=(4.169*10^-9)*10^21=4.169*10^12 Bq


2)At=A0*e^-λt=(4.169*10^12 )*e^-(4.169*10^-9)*31 536 000=3.655*10^12 Bq

3) Nt dans la source d'ici 1a= N0*e^-λt=(10^21)*e^-(4.169*10^-9)*31 536 000=8.77*10^20 atomes 60Co

4) N0-Nt=(10^21)-8.77*10^20=1.23*10^20 ont disparu pour devenir du nickel

Voilà donc j'ai compris l'essentiel que je peux résumer de la façon suivante:

λ=ln2/T=At/Nt=AT/NT=A0/N0=1/tau (donc 0 et T sont des cas particuliers de t ) plus les formules où figurent "e" bien sur

Je ne percevais pas dans la première discussion qu'il y avait dans les formules deux volets distincts exclusifs l'un de l'autre: soit la demi vie T soit une durée classique t (même si les deux peuvent se recouper dans le cas t=T)

A ce titre on peut répondre à 2) d'une autre manière, plus tortueuse dans doute mais ça me permet de me rendre compte que j'ai bien compris :

T=5.2714a
Nbre de T= 1a

D'où: Nbre de T=1/(5.2714)=0.190

A(0.190T)=(4.169*10^12) * e^-(4.169*10^-9) * 0.190T

( Rappelons que 0.190T=1a=31 536 000s)

A(0.190T)=(4.169*10^12) * e^-(4.169*10^-9) *31 536 000s

A(a)=3.6546*10^12 Bq On retombe à peu de choses près sur la première réponse à 2)

Par contre en faisant une vérification de ln2/T=1/tau par produit en croix j'ai trouvé T= 166 342 016s alors que la valeur de départ était plutôt 166 238 570s

L'écart me parait bien important, c'est normal?
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[Gilgamesh]

Une erreur de 0,05% non, ça n'est pas important.

[Tengri]

Dans la discussion de l'autre jour il m'a été dit je crois que l’exponentielle tend vers zéro sans jamais atteindre ce point, c'est bien ça?

Dans ces conditions, il n'y aura à aucun moment (sauf à envisager une durée infinie, par définition impossible expérimentalement) un reste de zéro nucléides radioactifs dans la source? A aucun moment la source ne serait totalement vidée d’éléments instables, même dans des millions d'années?

[coussin]

Dans la discussion de l'autre jour il m'a été dit je crois que l’exponentielle tend vers zéro sans jamais atteindre ce point, c'est bien ça?

Mathématiquement, c'est vrai.
Néanmoins, vous comptez ici des choses discrètes, des atomes. Quand arrivera le moment où votre échantillon ne contient plus qu'un seul atome radioactif, il finira par se désexciter.
(1 seul atome ne suit d'ailleurs pas une loi exponentielle. La loi exponentielle émerge dans le cas d'un grand nombre d'atomes. )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tengri]

Cela signifie qu'il faut faire la distinction entre les maths pures et l'application physique. En d'autres termes la courbe est un outil de représentation ayant ses limites de précision, mais qui est indispensable.

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Dans λ=1/tau(s), n'est il pas possible de faire analogie avec f=1/t? Dans ce cernier cas la fréquence est bien un nombre de phénomènes par unité de temps. Or dans λ=1/tau, c’est un coefficient où l'unité est 1/s ; et j'ai bien compris que c'est différent de A (t) en désint/s

Le 1 de 1/tau est réellement sans unité, c'est même pas 1 phénomène par unité de temps mais un chiffre pur? tandis que f=1/t ça reste quand même concret vu que le Hz c'est une occurrence/s

Auquel cas la véritable analogie ce serait entre la fréquence et l'activité: les contextes sont différents mais la fréquence d"un signal sur oscilloscope est à ce signal ce que l'activité radioactive d'une source est à cette source

Donc A(t) équivaudrait alors à une sorte de fréquence, et de fait il est bien question de fréquence pour les rayons x et les gammas...

Je tenais à dire ça car même si j'ai bien compris désormais , A(t)=/= λ au départ ne me paraissait pas limpide

[gts2]

Bonjour,

Vos remarques sont judicieuses.

Essayons de prendre votre point de vue activité analogue à une fréquence, cela se tient à un problème près qu'on appelle en jargon de physicien intensif/extensif.

L'activité est bien un nombre de désintégrations par seconde, une fréquence, MAIS qui dépend de la taille de votre échantillon (on appelle cela une grandeur extensive), donc n'est pas une caractéristique de l'élément 60Co, mais du caillou que vous avez dans la main.

λ=A/N par contre ne dépend pas de la taille (on appelle cela une grandeur intensive), c'est le nombre relatif de désintégration par seconde.

Pour prendre un exemple actuel, l'inflation de 5% par an est une sorte de lambda, la variation de 100 euros par an de vos courses est une sorte de A.

Votre première remarque, sur les courbes, est fondamentale, c'est le classique ne pas confondre carte et territoire, même si usuellement cette distinction carte et territoire se fait à un niveau plus profond.

[Tengri]

Je cherche depuis tout à l'heure à tracer la courbe de décroissance. Et je bute continuellement sur un problème relatif aux puissances en ordonnées:

Il va y avoir, Tout en haut N(0)=10^21 éléments, et ensuite je divise l'axe par 2 jusqu'à atteindre le degré de précision voulu. Logique jusque là...

Problème: je tape à la machine (10^21) /2, ça donne:5^20. L'ennui est que si je tape 5^20 à son tour j'obtiens 9.536...*10^13 Normal? Et si je multiple ce résultat par 2 je tombe sur 1.90...*10^14, dont je ne suis pas sur du tout qu'il est à voir avec 10^21.

J'ai oublié une règle de puissance, je tape mal? je vois pas du tout...

[Black Jack 2]

Je cherche depuis tout à l'heure à tracer la courbe de décroissance. Et je bute continuellement sur un problème relatif aux puissances en ordonnées:

Il va y avoir, Tout en haut N(0)=10^21 éléments, et ensuite je divise l'axe par 2 jusqu'à atteindre le degré de précision voulu. Logique jusque là...

Problème: je tape à la machine (10^21) /2, ça donne:5^20. L'ennui est que si je tape 5^20 à son tour j'obtiens 9.536...*10^13 Normal? Et si je multiple ce résultat par 2 je tombe sur 1.90...*10^14, dont je ne suis pas sur du tout qu'il est à voir avec 10^21.

J'ai oublié une règle de puissance, je tape mal? je vois pas du tout...

Bonjour,

Certainement pas, si on entre (10^21) /2 dans la calculette, elle sort : 5.10^20 (ou sur certaines calculettes : 5E20) qui n'est absolument pas 5^20

[coussin]

Et c'est reparti pour un tour ?
Je croyais qu'on avait fermé l'autre sujet en attendant que vous ayez acquis le minimum de maths requis pour les fonctions exponentielles et pour que vous appreniez à vous servir d'une calculette...

[stefjm]

Le soucis est bien avant les fonctions exponentielles, c'est un problème de comptage, donc de base de comptage et d'opérations élémentaires +, x, ^ et leurs relations entre elles.

Il doit aussi y avoir des confusions entre 100=10^2=10²=1E2=1e2 et le e du log népérien, et aussi avec les notations utilisées par les calculatrices.

C'est franchement pas possible de faire de tel contresens sur les nombres, mais pas franchement étonnant vu l'école en France.

[Tengri]

Le manque d'habitude durant des années sans maths m'a fait faire une grossière erreur de lecture, je m'en suis rendu compte dès le message de Black Jack.

J'ai tracé la courbe, ainsi que la droite tangente à celle-ci en N0=10^21, s'originant en ce même point, et venant couper les abscisses en tau=1/λ (de mémoire autour de 7.63a)

Et d'après mes calculs l'équation de cette droite serait de -(1.25*10^20)x+10^21

[Tengri]

Je ne sais si cette équation est juste. En tous cas pour x=tau je ne tombe pas sur y=0, ce qui me parait problématique...

[Black Jack 2]

Le manque d'habitude durant des années sans maths m'a fait faire une grossière erreur de lecture, je m'en suis rendu compte dès le message de Black Jack.

J'ai tracé la courbe, ainsi que la droite tangente à celle-ci en N0=10^21, s'originant en ce même point, et venant couper les abscisses en tau=1/λ (de mémoire autour de 7.63a)

Et d'après mes calculs l'équation de cette droite serait de -(1.25*10^20)x+10^21

Bonjour,

Je ne vois pas d'équation. Une équation a toujours 2 membres.

La tangente cherchée a pour équation :

Et pour avec ... on trouve

Non ?

[Tengri]

N'ayant jamais étudié de fonction exponentielle jusque là, je ne pouvais connaitre N=No(1-λt)

J'ai essayé d'exprimer la tangente par le classique y=ax+b, mais ici ça ne semble pas adapté puisque ça ne précise pas la relation avec la courbe.

[gts2]

C'est parfaitement adapté si vous utilisez ce que vous indiquez : "couper les abscisses en tau=1/λ "
Donc vous connaissez deux points (y=N0,x=t=0) et (y=0;x=tau=1/λ) et vous connaissez donc la droite.
en x=0, y=a x+b=b=N0 ; d'où b
en x=tau, y=0=a tau + b ; d'où a.

[stefjm]

J'ai essayé d'exprimer la tangente par le classique y=ax+b, mais ici ça ne semble pas adapté puisque ça ne précise pas la relation avec la courbe.

La tangente en a d'une courbe y=f(x) est donné par y=f'(a).(x-a)+f(a), avec f' dérivée de f.

Appliqué en a=0
y=f'(0).x+f(0)

[Tengri]

(Mes connaissances actuelles ne me permettent pas d'utiliser les dérivées)

Donc le coefficient directeur de la droite est de -a/λ?

Si oui c'est potentiellement égal à -(1.25*10^20), car je trouve deux valeurs proches. Le problème est que si j'utilise 0.131... pour lambda c'est trop approximatif, je ne suis pas sur d'avoir bon
.

[Tengri]

Je me suis trompé en résolvant ce que propose gts2: a=(10^21)lambda, j'ai vérifié on tombe bien sur 0 pour x=tau

Du coup je ne sais pas si ce que j'ai mis hier soir est juste , il y a une différence de quelques centièmes mais ça peut être du à ces valeurs approchées qui entrent en jeu...

[gts2]

Donc le coefficient directeur de la droite est de -a/λ ?

Si y=ax+b le coefficient directeur de la droite est a.

[Tengri]

Vu que A(t) est une forme de fréquence il n’existe pas de représentation graphique de T? L'inverse de A(T)? avec donc un motif de répétition

J'avais vu aussi qu'il existait d'autres tangentes possiblement traçables, décalées de plus en plus vers la droite , donc à la pente de moins en moins prononcée, et coupant les abscisses en (si je me rappelle bien) tau +T, tau+2T... Quel est l’intérêt d'une nouvelle droite à chaque fois?

[coussin]

Quel est l’intérêt d'une nouvelle droite à chaque fois?

Aucun vraiment... C'est une propriété des fonctions exponentielles. La pente en 0 coupe l'axe des abscisses en 1, La pente en 1 coupe l'axe des abscisses en 2, La pente en 2 coupe l'axe des abscisses en 3, etc