Vibration des poutres, méthode de Rayleigh

[cmole]

Bonjour à tous,

Je me tourne (une nouvelle fois) vers vous pour une demande d'aide sur un problème de vibration auquel je suis confronté.
L'objectif de ce problème est de calculer, analytiquement, la première fréquence propre d'une poutre à section variable (étagée) possédant une masse ponctuelle à son extrémité. Pour ce faire le modèle utilisé, ainsi que les formules, sont présentés dans l'image suivante :



L'idée est, puisque la poutre est étagée, d'utiliser la méthode de Rayleigh avec plusieurs intégrales comme le montre la formule du dessus (méthode tirée du livre Mechanical vibrations third edition). Pour les calculs la déformée choisie, appelée V(x), correspond à la déformée de la poutre sous une charge uniformément répartie, puisque cette fonction satisfait les conditions aux limites du modèle.

Je passe les détails de calcul, mais ce qui me pose problème dans cet exercice est que le résultat obtenu est très éloigné de celui exact : avec la masse ponctuelle je calcule une première fréquence à 6,59 Hz alors que je suis censé trouver 5,58 Hz (donc 18% d'écart ...) et sans cette masse je trouve une première fréquence de 18,33 Hz contre une valeur exacte de 17,1 Hz (soit 7,2% d'écart). Si les 7,2% d'écart semblent "acceptables" (il s'agit d'une méthode approchée après tout), ce n'est absolument pas le cas pour les 18% qui sont bien trop élevés à mon sens.

Après de multiples tests avec différentes fonctions V(x) j'arrive à réduire l'écart relatif pour la poutre sans masse ponctuelle, mais lorsque je rajoute la masse je n'arrive jamais à avoir de résultat "satisfaisant" (moins de 10% d'écart dans l'idéal). Pour creuser un peu plus la question j'ai décidé de refaire l'exercice mais cette fois avec une poutre non étagée et là les valeurs convergent (environ 3% d'écart entre les résultats) !

Ma question est donc : est-ce que quelqu'un saurit m'expliquer pourquoi un tel écart dans les résultats lorsqu'on étage la poutre ou lorsqu'on rajoute la masse ? Est-ce un problème de choix sur la fonction V(x) et, si oui, quelle fonction choisir ? Si quelqu'un peut m'aider à faire converger mes résultats je lui en serai très reconnaissant !

Merci à ceux qui prendront le temps de m'éclairer !
-----

Publicité

[gts2]

Bonjour,

Je n'y connais pas grand chose, mails il parait bizarre qu'il y ait une expression unique de la déformée sachant que la poutre possède deux sections.
Je dirais que vous avez pris la déformée d'une poutre homogène.

[cmole]

il parait bizarre qu'il y ait une expression unique de la déformée

En fait, avant de trouver le livre que j'ai cité, j'avais intuité la formule de Rayleigh avec une poutre à sections variables (celle proposée en #1) mais j'avais utilisé des déformées différentes pour l'intégrale 0-L1 et l'intégrale L1 - L (j'avais choisi la déformée d'une poutre étagée soumise à un effort uniformément réparti, que j'avais donc calculé). Seulement les résultats obtenus étaient tellement aberrants/éloignés de la réalité et les calculs tellement fastidieux que j'ai préféré revenir à des déformées identiques pour toutes les intégrales, ce qui m'a permis d'obtenir des résultats "cohérents".

[gts2]

La méthode me parait plus cohérente, peut-être une erreur de calcul ou l'oubli de la masse M pour le calcul de la déformée (vous parlez uniquement d'effort uniformément réparti)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Seulement ... les calculs tellement fastidieux.

Il est évident qu'à la main, c'est problématique, vous n'avez pas qqch du genre Mathematica, Maple, SageMath ou Python ?
Il vous est demandé une solution analytique ou numérique ?

[cmole]

peut-être une erreur de calcul

C'est l'hypothèse que j'avais préféré mettre de côté jusque là, en espérant qu'il s'agissait plus d'un problème de méthode/modèle que de calcul...

Il vous est demandé une solution analytique ou numérique ?

A vrai dire il ne m'est rien demandé de spécifique, l'objectif est simplement d'avoir des résultats sans logiciel de simulation type Ansys ou RDM6. Je pensais utiliser Python mais une fois le modèle analytique validé pour pouvoir l'étendre à différentes configurations, mais il est vrai que cela aurait peut être été plus rapide de commencer directement avec.

[Naalphi]

Bonjour

Sans être allé dans dans le calcul par la somme des flèches par principe de superpositions (serait-ce une bonne approche ?), , je trouve à priori surprenant que votre formule V(x) fasse intervenir des longueurs à la puissance 4 (L.x^3, x^4 ou L².x²), alors que les flèches de poutre sont basiquement d'ordre 3 (même en charges réparties).

...mais peut-être est-ce simplement dû à la méthode Rayleigh, que je ne connais pas du tout.

[cmole]

Bonjour !

alors que les flèches de poutre sont basiquement d'ordre 3 (même en charges réparties)

Sauf si j'ai mal interprété, lors de charges réparties la flèche d'une poutre s'exprime bien à la puissance 4. Par exemple une poutre console qui subit une charge répartie P (N/m) a une flèche à son extrémité qui vaut PL^4/(8EI), on retrouve donc bien la puissance 4 !
La formule est même trouvable ici dans le document https://biblio.univ-annaba.dz/ingeni...AMED-NACER.pdf où page 17 on retrouve l'expression que j'ai pu utiliser

[Naalphi]

Euh, ben non, nous avons bien des longueurs ^4 en charge réparties..
^_^

(croisement de posts : merci, oui bien sûr !
ce n'est pas la première fois que je fais cette erreur... j'ai la tête dure!

[Naalphi]

... j'ai quand même une bonne tête dure de linotte : je me mélange (et me contre dit) tout le temps sur ce point.. c'est pouratnt simple... mais ça a du mal à rentrer (manque de pratique ?) :

N/m * m^4 = N.m^3

..maintenant, à ma décharge, je fais souvent confusion entre P en N (ou Q sur certains formulaires) où les longueur apparaissent en ^3
et p en N/m (ou q) , ou la longueur apparaît comme N/m *m^4 = N.m^3
P p Q q qui ne sont pas toujours clairement définis en préambules.


Ma remarque initiale tiendrait donc toujours

[Naalphi]

(j'aime bien ce formulaire :
https://metaletech.com/wp-content/up...es-simples.pdf )

[Naalphi]

Si on peut résumer ainsi (peut-être que cela me restera mieux) :
P *L^3 /E /I ou p *L^4 /E /I donne des mètre, au même titre que :
N *m^3 /(N/m²) /m^4 ou N /m *m^4 /(N/m²) /m^4
=> m^3 *m^2 /m^4 ou 1/m *m^4 *m^2 /m^4
=> m

Comment est appelée cette méthode de vérification des unités ?

[le_STI]

Salut Naalphi, c'est le principe des équations aux dimensions.

[cmole]

Comment est appelée cette méthode de vérification des unités ?

c'est le principe des équations aux dimensions

Exactement, j'aurais dit analyse dimensionnelle !


J'ai pris le temps de refaire tous les calculs, cette fois en utilisant deux équations de déformées, comme présentées en dessous (les indices 1 et 2 restent attachés au schéma du message #1):



Ces déformées sont obtenues en réalisant l'étude RDM de la poutre du message #1, et en simplifiant V1 par P/(EI1) et V2 par P/(EI2), ici il n'y a normalement pas de problème.

J'ai ensuite repris la formule de Rayleigh, effectué les dérivées/primitives (c'était long...) et cette fois-ci je trouve une première fréquence propre avec la masse à 7.15 Hz, soit 28% d'écart ce qui est encore pire que mon premier cas !
Pour m'assurer de ne pas avoir fait d'erreur dans les intégrales j'ai utilisé dcode (super pratique) et malheureusement tous mes calculs étaient bons.. (je me réjouis quand même de savoir faire ces calculs à la main )

Honnêtement, je n'arrive pas à comprendre d'où peut venir une telle différence. Est-ce une limite de l'utilisation de la méthode Rayleigh ? est-ce que mes déformées ne sont pas bien choisies ? Ca m'embête de ne pas réussir à comprendre d'où vient ce décalage...

Merci pour votre aide !

[gts2]

Je ne comprends pas trop l'expression de V1 : c'est l'expression de la déformée d'une poutre libre en x=L : on trouve V''(x=L)=0 et V'''(x=L)=0, ce qui n'est pas le cas puisqu'en x=L se trouve la deuxième poutre (je suppose que L=L1).
Idem pour l'expression de V2 : on trouve aussi V''(x=L)=0 et V'''(x=L)=0 (en supposant l'origine des x à l'interface entre les deux poutres), ce qui n'est pas le cas puisqu'en x=L se trouve la masse M.

[Jaunin]

Bonjour,
Pour information :

Frequence naturelle d'un tube (futura-sciences.com)

Cordialement.
Jaunin__

[cmole]

Je ne comprends pas trop l'expression de V1 :

Pourtant j'ai vérifié et comparé les résultats de flèches de poutres obtenus avec cette formule et ils sont strictement identiques aux résultats obtenus par RDM6, ça me donc correct. Je n'ai pas la possibilité de refaire les calculs actuellement mais d'ici une semaine j'essayerai de repartir de 0 pour déterminer la déformée, peut être que le soucis vient bien de là !

Pour information :

Bonjour Jaunin, merci pour le lien je ne l'avais pas lu !

[gts2]

poutre-etagee.pdf

Pourtant j'ai vérifié et comparé les résultats de flèches de poutres obtenus avec cette formule et ils sont strictement identiques aux résultats obtenus par RDM6, ça me donc correct.

A priori, vous avez utilisé des formulaires et fait des calculs avec :
- une extrémité libre, ce qui n'est pas le cas (présence de la masse M ou de la deuxième poutre)
- une répartition de force uniformément répartie, ce qui n'est pas le cas, elle est uniforme par morceaux (le poids linéique des deux poutres est différent)

J'ai fait le calcul en utilisant la méthode :
- Equation générale avec donc deux fois 4 coefficients à déterminer : ceux du polynôme en x d'ordre 4
- Donc nécessité de 8 conditions aux limites :
- (2) Encastrement
- (4) Continuité au niveau de la jonction de la poutre, des moments et efforts (il me semble que vos formules ne sont pas continues : V1(x=L1) est différent de V2(x=0))
- (2) Extrémité libre en terme de moment, force ponctuelle à l'extrémité (poids de M)

Je l'ai sous forme de pdf, mais cela ne passe pas comme pièce jointe, je peux vous l'envoyez en message privé si vous le désirez.
Rappel : mes compétences en poutre sont très faibles ...

[yaadno]

bjr:quelques remarques:
-en construction,on a pour habitude pour ce genre de calcul d'utiliser un référentiel Oxy et de définir les tronçons par des lettres A,B,...ce qui permet d'éviter les doutes que l'on peut avoir en voyant un dessin pas à l'echelle et une cotation incomplète de L(où est la flèche côté gauche)
Tant qu'à faire,si L1 est associé àI1,S1 soyons fous ,appelons L2 la section S2,I2;
donc on a OA=L1=1m et AB=L2=2m
_les Hypothèses:une poutre en acier avec 2 parties de 80 et 60mm de diamètre+une charge concentrée en B;
soit, c'est du tube (rien ne l'indique) et on pourrait considérer que leur masse est négligeable devant les 80kg;
soit c'est du plein et là il faut en tenir compte car cette masse est du même ordre que la charge concentrée;
-une fois ces hypothèses définies,j'aimerai voir les équations des Mf et de la déformée;
cdlt

[cmole]

Bonjour, merci pour vos réponses et veuillez m'excuser pour mon temps de réaction !

A priori, vous avez utilisé des formulaires et fait des calculs avec :
- une extrémité libre, ce qui n'est pas le cas (présence de la masse M ou de la deuxième poutre)
- une répartition de force uniformément répartie, ce qui n'est pas le cas, elle est uniforme par morceaux (le poids linéique des deux poutres est différent)

Effectivement, c'est bien comme ça que j'ai procédé pour calculer la déformée qui est présentée en #14 (à l'exception près que je n'ai pas utilisé de formulaire, j'ai tout fait à la main "proprement" ).
Vous avez raison, ce n'est pas le cas strictement identique au modèle présenté en #1 mais ce n'est pas un problème puisque le choix de la déformée utilisée dans la méthode de Rayleigh est "quelconque" tant que celle-ci satisfait les conditions aux limite du problème, à savoir (dans notre cas) : continuité (flèche et déviation angulaire) entre les poutres 1 et 2, V'(x=0) = 0 et V"(x=0) = 0, ce qui est bien le cas ici. C'est pourquoi j'ai choisi de considérer une force uniformément répartie sur l'ensemble des poutres, comme pourrait l'être l'action du vent par exemple (ce qui serait une hypothèse fausse en considérant le poids propre des tronçons, vous avez raison, mais cela simplifie le calcul).

Je l'ai sous forme de pdf

Merci pour votre document, je vais m'y pencher dès que possible !

en construction,on a pour habitude pour ce genre de calcul d'utiliser un référentiel Oxy et de définir les tronçons par des lettres A,B,...ce qui permet d'éviter les doutes que l'on peut avoir en voyant un dessin pas à l'echelle et une cotation incomplète de L(où est la flèche côté gauche)

Vous avez raison j'aurais pu être plus rigoureux sur les notations, j'y ferai attention la prochaine fois . En revanche, la flèche de la côte L n'est pas manquante, elle est simplement confondue avec celle de L1 !

une fois ces hypothèses définies,j'aimerai voir les équations des Mf et de la déformée

La déformée, vous l'avez déjà ! Pour la calculer j'ai considéré les poutres pleines (je n'ai pas précisé qu'elles pouvaient être creuses, donc pour moi ça tombait sous le sens que les poutres sont pleines), ainsi qu'une charge uniformément répartie sur les deux sections notée P (je ne m'occupe pas de la masse ponctuelle, comme expliqué au dessus, puisque cela n'est pas nécessaire pour la méthode de Rayleigh), et ensuite je résous de manière classique : réaction aux appuis, puis déterminations des efforts internes avec deux sections d'étude distinctes : pour x E [0;L1[ et x E [L1;L[. Ensuite, pour la déformée j'utilise la relation EIv" = Mf, avec deux intégrations distinctes pour les deux sections. Une fois les intégrations réalisées il restait les constantes d'intégration à déterminer : pour la section 1 j'ai choisi V1'(x=0) = V1"(x=0) = 0 et pour la section 2 j'ai choisi V'1(x=L1) = V'2(x=L1) et V"1(x=L1) = V"2(x=L1). C'est assez rare, mais je suis sûr de moi à 99% pour la détermination de la flèche puisque j'ai vérifié la validité de ma formule en confrontant les résultats obtenus avec celle-ci sur Ansys et RDM6 et les résultats sont strictement identiques.
Si besoin je pourrai évidemment fournir le détail des calculs, mais ce sera surement la semaine prochaine puisqu'actuellement je n'ai pas accès à mes calculs.

Merci beaucoup pour votre aide !

[gts2]

Ce n'est pas un problème puisque le choix de la déformée utilisée dans la méthode de Rayleigh est "quelconque" tant que celle-ci satisfait les conditions aux limite du problème.

Extrait d'une présentation de la méthode de Rayleigh :
"Il est bien évident que le choix de la forme V(M) joue un rôle très important dans la qualité de l’approximation. Le sens physique du modélisateur intervient alors beaucoup. Des choix
possibles de forme approchée sont : ... déformée statique de la structure sous son poids propre."