Trou noir et théorie de Newton

[Scientist_75]

Bonjour,

J'ai récemment vu dans un exercice (qu'il faudrait que je retrouve) dont l'une des questions était de calculer l'intensité de pesanteur créée par le trou noir au niveau d'un point M situé sur l'horizon des événements. Le point M étant donc à une distance Rs (rayon de Schwarlchild) du centre du trou noir. La correction utilisait la formule classique de Newton g = GM/R²

Mais je me demande si c'est vraiment pertinent d'utiliser Newton pour un trou noir ? Est-ce qu'on sortirai pas du domaine de validité de la théorie Newtonienne justement ? Qu'est-ce que la relativité générale prédit comme intensité de pesanteur qu'on pourrait comparer à celle donnée par Newton ?
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[jacknicklaus]

Bonjour,

pour répondre complètement il faudrait des précisions sur le référentiel de l'observateur qui fait la mesure. Prenons un cas intéressant : un observateur maintenu immobile à la coordonnée r, plus grande que l'horizon, et qui mesure l'accélération d'un objet en chute libre qui passe à son niveau :

L'accélération mesurée sera

et celà diverge à l'approche de l'horizon, loin de la valeur Newtonienne.... En revanche, on retrouve cette valeur Newtonienne si r est très grand

[mach3]

Oui, on est clairement hors du domaine de validité de Newton. Néanmoins certains calculs marchent, comme par exemple la vitesse de libération verticale qui garde la même expression et vaut c sur l'horizon chez Newton comme en relativité générale.

Concernant l'intensité de la pesanteur, c'est à dire l'accélération propre mesurée par un observateur "immobile" (restant à une distance constante et sans mouvement latéral), elle diverge sur l'horizon.

m@ch3

[Scientist_75]

Bonjour,

pour répondre complètement il faudrait des précisions sur le référentiel de l'observateur qui fait la mesure. Prenons un cas intéressant : un observateur maintenu immobile à la coordonnée r, plus grande que l'horizon, et qui mesure l'accélération d'un objet en chute libre qui passe à son niveau :

L'accélération mesurée sera

et celà diverge à l'approche de l'horizon, loin de la valeur Newtonienne.... En revanche, on retrouve cette valeur Newtonienne si r est très grand

Votre exemple est très bien, mais quelque chose me chiffonne... pourquoi l'accélération devrait diverger sur l'horizon ? Je comprends que le terme sous la racine s'annule, mais physiquement la singularité devrait pas se trouver au-delà de l'horizon ? Par ailleurs, quelle est la dérivation de cette expression svp (vous avez utiliser la métrique de Schwarchild ?) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[pm42]

Il est également possible que l'exercice n'ait été que cela, un exercice puisque le concept de trou noir a été inventé avant la Relativité (par Laplace de mémoire).

[mach3]

Votre exemple est très bien, mais quelque chose me chiffonne... pourquoi l'accélération devrait diverger sur l'horizon ? Je comprends que le terme sous la racine s'annule, mais physiquement la singularité devrait pas se trouver au-delà de l'horizon ? Par ailleurs, quelle est la dérivation de cette expression svp (vous avez utiliser la métrique de Schwarchild ?) ?

L'horizon n'est pas une singularité, mais c'est une surface se déplaçant à la vitesse de la lumière pour les observateurs qui la traverse. Comme la vitesse de la lumière est indépassable localement dans tous les cas, un objet se maintenant pile sur l'horizon doit aller à la vitesse de la lumière, ce qui est impossible si sa masse est non nulle, ou alors avoir une accélération propre arbitrairement grande, seule façon de mimer au mieux le mouvement de la lumière pour un corps de masse non nulle. En conséquence il est impossible pour un corps de masse non nulle de rester pile sur l'horizon, il le traverse obligatoirement.
L'accélération de la pesanteur est celle mesurée par un corps statique, or, sur l'horizon et au-delà, il est impossible d'être statique (concrètement, en l'absence d'un repère physique car il n'y a pas de surface, cela signifie qu'on ne dispose d'aucun moyen pour maintenir constantes les forces de marées, ce qui correspond à rester à distance constante de la surface s'il y en a une).

Tout ceci vient de la métrique de Schwarzschild, effectivement.

m@ch3

[jacknicklaus]

Par ailleurs, quelle est la dérivation de cette expression svp (vous avez utiliser la métrique de Schwarchild ?) ?

Oui en effet celà provient de la métrique, plus exactement des Christoffels, et delà on en dérive l'expression de la 4-accélération .

[Scientist_75]

L'horizon n'est pas une singularité, mais c'est une surface se déplaçant à la vitesse de la lumière pour les observateurs qui la traverse. Comme la vitesse de la lumière est indépassable localement dans tous les cas, un objet se maintenant pile sur l'horizon doit aller à la vitesse de la lumière, ce qui est impossible si sa masse est non nulle, ou alors avoir une accélération propre arbitrairement grande, seule façon de mimer au mieux le mouvement de la lumière pour un corps de masse non nulle. En conséquence il est impossible pour un corps de masse non nulle de rester pile sur l'horizon, il le traverse obligatoirement.
L'accélération de la pesanteur est celle mesurée par un corps statique, or, sur l'horizon et au-delà, il est impossible d'être statique (concrètement, en l'absence d'un repère physique car il n'y a pas de surface, cela signifie qu'on ne dispose d'aucun moyen pour maintenir constantes les forces de marées, ce qui correspond à rester à distance constante de la surface s'il y en a une).

Tout ceci vient de la métrique de Schwarzschild, effectivement.

m@ch3

Bonjour,

Merci pour votre réponse qui suscite quelques questions : si au niveau de l'horizon on doit avoir une vitesse égale à celle de la lumière, alors au-delà doit-elle être supérieure ?

Aussi, existe t-il un cours consultable sur internet où je pourrais retrouver la dérivation de l'accélération de pesanteur tel qu'elle a été donnée par jacknicklaus svp ?

[Deedee81]

Salut,

Merci pour votre réponse qui suscite quelques questions : si au niveau de l'horizon on doit avoir une vitesse égale à celle de la lumière, alors au-delà doit-elle être supérieure ?

Non. Tout d'abord cette vitesse égale à la vitesse de la lumière n'est pas la vitesse d'un corps tombant dans le trou noir. C'est la vitesse d'évasion ou de libération : https://fr.wikipedia.org/wiki/Vitess...ib%C3%A9ration
Et localement dans tout référentiel local, la vitesse d'un corps massif est toujours inférieure à c, même en relativité générale.
Cela signifie évidemment qu'un corps massif qui atteint l'horizon ne peut plus quitter le trou noir, c'est déjà trop tard et pour un corps sans masse (la lumière) difficile de faire demi-tour, faudrait qu'il ait une fusée à son c... et sans masse c'est un peu difficile

Aussi, existe t-il un cours consultable sur internet où je pourrais retrouver la dérivation de l'accélération de pesanteur tel qu'elle a été donnée par jacknicklaus svp ?

Tout bon cours de relativité générale.
Il y en a plein, celui-ci par exemple : https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092961/document
(et même si le calcul demandé n'y est pas explicite, après avoir lu ça le calcul n'est pas difficile)

[jacknicklaus]

En gros :

Le carré de la norme de la 4-accélaration est donnée par

Les sont la métrique. La 4-accélaration est donnée par

les étant les Christoffels

et la 4-vitesse est

puisque avec r maintenu constant. Il reste à rembobiner la pelote :

la 4-accélération est (un seul Christoffel non nul)

et sa norme au carré , d'où le résultat

[mach3]

si au niveau de l'horizon on doit avoir une vitesse égale à celle de la lumière, alors au-delà doit-elle être supérieure ?

Pour rester "statique" (normalement cela équivaut à rester à une distance constante du centre ou de la surface d'un astre, mais comme un trou noir n'a pas de centre ni de surface cela n'a pas de sens, donc on va parler de maintenir constantes les forces de marées car c'est équivalent à rester à une distance constante d'un astre "normal", c'est à dire avec une surface et un centre) sous l'horizon, il faudrait effectivement avoir "une vitesse plus grande que la lumière". Les guillemets sont de rigueur. Plus formellement, il y a trois genres de lignes dans l'espace-temps, celles de genre temps qui correspondent aux mouvements des particules de masse non nulle, celles de genre nul qui correspondent aux mouvements des particules de masse nulle (comme la lumière) et celles de genre espace qui ne correspondent pas à des mouvements (ou alors, si on les admettait, à des mouvements supraluminiques). Il n'y a que des lignes de genre espace qui sortent de l'horizon, aucune ligne de genre temps ou nul.
Aussi, une fois passé l'horizon, les forces de marées vont forcément augmenter, quelque soit le mouvement que l'on a, alors qu'avant l'horizon (et au-dessus de la surface de tout astre "normal"), on peut décider de monter pour diminuer ces forces ou descendre pour les augmenter. Ces forces finissent par diverger à la singularité "centrale" (des guillemets car ce n'est pas un "centre" au sens habituel du terme).

m@ch3