Bonjour,
Je cherche depuis quelques jours à démontrer mathématiquement qu'une force centrale varie en 1/r^2. Mais je n'arrive pas à trouver une seule démonstration sur internet ni la méthode employé par newton.
Je sais déjà comment trouver la loi des aires mais cela ne m'aide pas vraiment.
Merci à vous
Bonjour,
Il faudrait préciser votre question, parce que force centrale signifie simplement de direction OM (M étant l'objet et O le point de référence), et cela suffit pour la loi des aires.
Il va donc être difficile de montrer que c'est en 1/r2.
Bonjour,
ben c'est normal.
On parle de force centrale quand son expression ne dépend que de r, distance au centre, et est dirigée selon le seule vecteur r.
Elle peut donc avoir une forme en r à n'importe quelle puissance, ou sin(r), ou n'importe quoi en r.
Dernière modification par jacknicklaus ; 17/08/2022 à 07h53.
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Salut,
Une force centrale n'est pas nécessairement en 1/r². Il faut d'autres hypothèses.
EDIT oooooh le méchant croisement, on est trois à avoir dit la même chose
Si c'est en partant de Newton, hé bien, c'est en 1/r² dès le départ, c'est plié.
Si c'est en partant des lois de Kepler, ça peut se faire.
Je n'ai pas de bonne référence (curieusement on trouve facilement l'inverse). Mais ça doit exister. En attendant que d'autres en donnent. Tu peux confirmer que c'est ça que tu recherches ?
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Dans le cas d'une force centrale conservative de type newtonien.
Je n'arrive pas à démontrer la dépendance en 1/r^2 ou la démarche emprunter par newton pour en arriver à cette conclusion.
Et oui il est mentionné que newton s'est appuyé sur les recherches de Kepler, mais je ne vois pas trop comment.
Je pourrais en effet le démontrer si la planète décrit un cercle, mais cela ne marche pas pour une ellipse.
Merci
Bonjour,
Même avec une force centrale conservatrice, on ne peut rien conclure sur la nature de la force
Même en rajoutant que la trajectoire doit être toujours fermée , cela laisserait encore deux solutions : en r et 1/r (mais la démonstration qu'il n'y a que ces deux possibilités est bien plus tardive que newton, c'est le théorème de Bertrand)
Pour conclure que c'est 1/r² il faut rajouter que la trajectoire est toujours une ellipse dont le point d'attraction se situe au foyer
*
Il n'est pas très clair si c'est newton qui a vraiment démontré en premier que cela impliquait une force en 1/r², car il y a eu d'autres auteurs.
L'article wikipedia explique un peu les méthodes accessibles à l'époque pour aboutir à ce résultat (le fait que l'hodographe est circulaire).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvem...force_centrale
*Avec une force en r, c'est aussi une ellipse, mais dont l'attracteur se situe au centre
Dernière modification par Resartus ; 17/08/2022 à 17h06.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
C'est compliqué, même Feynman dit qu'il n'a pas tout compris (dans Richard Feynman : "Le mouvement des planètes autour du Soleil" qui reprend les démonstrations de Newton sous forme modernisée)Envoyé par angel0000
Pour conclure que c'est 1/r² il faut rajouter que la trajectoire est toujours une ellipse [U]dont le point d'attraction se situe au foyer
Oui et c'est la démonstration à cette conclusion que je n'arrive pas à cerner.
Bonjour,
Merci à tous pour vos réponse.
Désolé pour le précédent message. Je voulu "répondre à une citation" à Resartus mais j'ai du mal mis prendre.
Dernière modification par angel0000 ; 19/08/2022 à 06h43.
Bonjour,
Si vous parlez anglais, vous pouvez voir ceci, https://www.youtube.com/watch?v=xdIjYBtnvZU
C'est la démonstration que, avec une force centrale en 1/r², l'hodographe est circulaire.
(démonstration plus visuelle que celle de la conférence de Feynman citée par gts2)
On peut facilement inverser le raisonnement et montrer que si l'hodographe est toujours circulaire pour une ellipticité non nulle, la force centrale fonction de r doit nécessairement être en 1/r²
Dernière modification par Resartus ; 19/08/2022 à 06h50.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
En réalité je cherche à obtenir cette démonstration afin de démontrer la troisième loi de Kepler (ce qui nécessiterait sans doute que j'ouvre une nouvelle discussion).
Simplement démontrer que
Avec la loi des aires on arrive rapidement à démontrer queavec
Kepler affirme que
J'ai raté quelque chose ?
Un grand merci à vous pour votre réponse si rapide.
En effet, démontrer que la force varie en 1/r^2 n'est pas très dur pour une orbite circulaire.
Je voulais simplement savoir ce qu'il en était pour une orbite dont l'excentricité n'est pas nulle.
Merci. Donc vous confirmé que cette dépendance en 1/r^2 n'est valable que pour des orbites circulaire.
Non, c'est simplement que pour une ellipse c'est plus compliqué, il faut en particulier connaitre l'aire d'une ellipse
Voir par ex. amq.math.ca (je préfère les pdf aux vidéos ...), mais cela se trouve dans n'importe quel cours (dans le sens 1/r2 -> Kepler) sur les trajectoires newtoniennes.
Dernière modification par gts2 ; 19/08/2022 à 07h00.
Bonjour,
Pour des trajectoires circulaires, on ne peut connaitre la valeur de f(r) que pour les valeurs de r correspondant aux planètes connues, grâce à la troisième loi de Kepler. Cela peut en effet corroborer l'intuition d'une loi en 1/r² (bien qu'en toute rigueur, cela ne donne que quelques points de la courbe)
Mais pour montrer mathématiquement qu'une orbite elliptique dont l'attracteur central est au foyer DOIT avoir une loi en 1/r², on ne peut pas éviter d'utiliser le fait que l'hodographe est circulaire (cf soit Feynman, soit le lien que je vous ai donné), et c'est ce qui apparemment été fait par newton (ou par les autres auteurs présumés), en utilisant la trajectoire de Mars mesurée par kepler, suffisamment excentrique pour que la variation des vitesses soit nette.
(pour une trajectoire circulaire, on ne pourrait rien conclure)
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
