Dynamique des fluides

[sunyata]

Bonjour,

On peut calculer la résistance à l'avancement d'un objet dans l'air : en utilisant la formule F = 1/2 Cx.rho(air).S.V² .
Je voudrai savoir comment s'y prendre si l'objet est immergé dans l'eau, quelles formules appliquer et comment prendre en compte de fameux nombre de Reynolds.
Le coefficient aérodynamique d'une forme donnée est-il toujours valable quand le milieux considéré n'est plus de l'air, mais de l'eau ?

Je cherche à calculer la vitesse de dérive d'un flotteur soumis à la pression du vent sur sa partie émergée, et à la réaction de l'eau liée à sa partie immergée.

Cordialement,
-----

[gts2]

Bonjour,

Dans l'air ou dans l'eau, c'est pareil, la partie compliquée est l'interface.

[sunyata]

Bonjour,

Dans l'air ou dans l'eau, c'est pareil, la partie compliquée est l'interface.

Oui d'après ce que j'ai compris les choses se compliques lorsque l'écoulement n'est plus laminaire mais turbulent. Et le nombre de Reynolds permet de déterminer dans quel mode d'écoulement
on se trouve. Mais je ne sais pas trop comment le prendre en compte.

Cordialement,

[gts2]

En oubliant l'interface, il faut en effet calculer Re et en déduire le Cx, mais le Cx dépend de la forme, et si on trouve facilement le Cx d'une sphère, d'un cylindre, après cela se complique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sunyata]

Bonjour,

On peut calculer la résistance à l'avancement d'un objet dans l'air : en utilisant la formule F = 1/2 Cx.rho(air).S.V² .
Je voudrai savoir comment s'y prendre si l'objet est immergé dans l'eau, quelles formules appliquer et comment prendre en compte de fameux nombre de Reynolds.
Le coefficient aérodynamique d'une forme donnée est-il toujours valable quand le milieux considéré n'est plus de l'air, mais de l'eau ?

Je cherche à calculer la vitesse de dérive d'un flotteur soumis à la pression du vent sur sa partie émergée, et à la réaction de l'eau liée à sa partie immergée.

Cordialement,

Bonjour,

Après moultes recherches j'ai la réponse à ma question :

La formule que j'ai mentionnée ci-dessus, s'applique à des mouvements en régime "turbulent" (par opposition au régime laminaire)
c'est à dire pour des coefficients de Reynolds élevés, dans ce contexte on parle de Trainée quadratique du fait de l'élévation au carré de la vitesse.
La surface à considérer dans la formule est la surface projetées de l'objet dans un plan perpendiculaire à l'écoulement. On parle de Surface du maitre-couple.

Quand au Cx, en régime turbulent à des valeurs élevée du coefficient de Reynolds, il ne dépend que de la forme de l'objet.
Voir ce lien qui en parle.

En revanche, aux grands nombres de Reynolds, CX tend vers une constante qui ne dépend que de la forme de l’objet, ce qui confère un grand intérêt à cette quantité.

Cette similitude de Reynolds permet notamment d’exprimer la traînée turbulente selon l’expression F = (1/2)CX S ρf U2, où CX est appelé coefficient de traînée.
Cette force est proportionnelle à l’aire S de la section transverse maximale balayée par le corps, appelée aussi maître couple [4], ainsi qu’aux grandeurs déjà rencontrées ρf et U.
Le coefficient de trainée CX dépend de la forme de l’objet, mais aussi du nombre de Reynolds. [...] lorsque Re devient très grand, CX tend vers une constante, différente pour les deux formes. La sphère étant la mieux profilée des deux : son CX est inférieur.

A noter que les écoulements ne demeurent laminaires que pour des vitesses très faibles du fluide, d'où l'importance de la formule
F = 1/2 Cx.rho.S.V² qui est applicable dans la plupart des cas.

Cordialement,

[gts2]

La formule que j'ai mentionnée ci-dessus, s'applique à des mouvements en régime "turbulent" (par opposition au régime laminaire)

Non, c'est la définition de Cx, donc s'applique dans tous les cas, mais dans une certaine zone de régime turbulent, Cx est à peu près constant.

[sunyata]

Non, c'est la définition de Cx, donc s'applique dans tous les cas, mais dans une certaine zone de régime turbulent, Cx est à peu près constant.

En régime laminaire la formule n'est pas de forme quadratique. Veux-tu dire que le Cx est assimilable à K dans les formules ci-dessous ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Frottement_fluide

À faible vitesse[modifier | modifier le code]

Écoulement à faible vitesse (laminaire) autour d'une sphère

Lorsque le nombre de Reynolds est très petit devant 1, l'écoulement se trouve dans un régime laminaire. Le passage du fluide ne génère pas de turbulences. Dans cette situation, la résolution des équations de Navier-Stokes engendre une expression des forces de frottement fluide proportionnelle à la vitesse.
{\displaystyle \mathbf {F} =K\times \mathbf {V} }où:

• F : force de frottement fluide sur l'objet (en Newton).
• K : coefficient de frottement qui dépend de la géométrie de l'objet.
• V : vitesse du fluide par rapport à l'objet (en m/s).

Par exemple, dans le cas d'une sphère en déplacement lent dans un fluide l'on obtient la célèbre équation de Stokes2:
{\displaystyle {\displaystyle {\vec {F}}=-3\pi \,\mu \,D\,{\vec {v}}}}avec {\displaystyle \mu } : viscosité dynamique (en kg m⁻¹ s⁻¹)

• D : diamètre de la sphère en m

où l'on peut identifier K comme étant égal à :
{\displaystyle K=-3\pi \mu D}
Cette formule {\displaystyle {\displaystyle {\vec {F}}=-3\pi \,\mu \,D\,{\vec {v}}}} n'est en principe valide que pour les Reynolds diamétraux très inférieurs à 1 mais, dans la pratique, les mesures la confirment jusqu'au Reynolds unitaire3.

La traînée de la sphère étant proportionnelle à sa longueur caractéristique (ici le diamètre) ainsi qu'à la vitesse du fluide, on peut faire appel au coefficient adimensionnel de résistance de Lamb (ainsi que le nomme Zdravkovich2), ce coefficient adimensionnel pouvant aussi se nommer « {\displaystyle C_{x}} linéaire » (par opposition au {\displaystyle C_{x}} quadratique qui est significatif aux plus forts Reynolds comme décrit plus bas).
Ainsi, si l'on prend, à la manière des ingénieurs, le diamètre {\displaystyle D} de la sphère comme longueur caractéristique4, la traînée s'écrit {\displaystyle F=-3\pi \mu DV} et le {\displaystyle C_{x}} linéaire vaut {\displaystyle 3\pi } (en référence au diamètre {\displaystyle D} de la sphère)5.
Pour connaître le {\displaystyle C_{x}} linéaire d'un objet quelconque, il faut procéder à une mesure sur un banc d'essai adapté. Il est également possible de procéder à des calculs mathématiques ou des calculs numériques sur des logiciels dédiés (voir à ce sujet l'article spécialisé écoulement de Stokes qui donne la valeur du {\displaystyle C_{x}} linéaire d'un certain nombre de corps).
À vitesse modérée[modifier | modifier le code]

Lorsque le nombre de Reynolds est compris entre 30 et 800 6, l'écoulement se trouve dans un état intermédiaire, à mi-chemin entre un écoulement laminaire et turbulent. Dans cet intervalle, les équations de Navier-Stokes peuvent se simplifier (sous certaines hypothèses) pour arriver à une formule couramment utilisée :
{\displaystyle \mathbf {F} =K\times \mathbf {V} ^{1,4}}où :

• F : force de frottement fluide sur l'objet (en Newton).
• K : coefficient de frottement qui dépend de la géométrie de l'objet.
• V : vitesse du fluide par rapport à l'objet (en m/s).

Pour reprendre l'exemple de la sphère nous avons :
{\displaystyle F=\eta ^{0,5}\pi ^{-0,5}R^{2}V^{1,5}}En fait, le problème est plus complexe, et cette estimation de la dépendance en V de la force F ne fait que donner "un ordre d'idée" de la dépendance réelle. La force réelle, trop complexe pour se résumer à une simple puissance de V, peut cependant, d'après les résultats expérimentaux, être bien approchée par une constante de proportionnalité que multiplie 6.

[sunyata]

IL me semble que

Cx = F/(0,5.rho.S.V^2)
ou
K = F/V^1,4 pour les vitesses modérées, ce n'est pas la même chose. Non ?

[gts2]

Il me semble que Cx = F/(0,5.rho.S.V^2)

Oui, par définition, et il se trouve que dans une zone assez large turbulente, on peut considérer Cx comme constant, et en régime laminaire Cx n'est pas constant, c'est bien d'ailleurs ce qu'on voit dans votre lien.
Je ne remets pas en cause le fait qu'à faible vitesse la force soit linéaire et qu'à plus forte vitesse elle soit quadratique, mais le fait que la formule étant une définition est par principe exacte.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Le nombre de Reynolds :

Avec v la vitesse en m/s, L la longueur caractéristique de l'objet (diamètre dans les cas d'une sphère) et la viscosité cinématique du fluide (en m²/s)

Et pour info : la viscosité cinématique de l'eau (en m²/s) en fonction de la température :

20°C : 1,007 × 10^−6
25°C 0,884 × 10^−6
50°C 0,556 × 10^−6
*******
Cela peut paraître un peu compliqué ... puisque pour calculer Re, on doit connaître la vitesse (relative entre l'eau et l'objet) ... mais pour calculer la vitesse, on a souvent besoin de la valeur de la force de frottement (qui dépend du Cx, donc du nombre de Reynolds)

Avec un rien d'habitude, on tourne facilement autour de ce semblant de difficulté.

[sunyata]

Cela peut paraître un peu compliqué ... puisque pour calculer Re, on doit connaître la vitesse (relative entre l'eau et l'objet) ... mais pour calculer la vitesse, on a souvent besoin de la valeur de la force de frottement (qui dépend du Cx, donc du nombre de Reynolds)

Avec un rien d'habitude, on tourne facilement autour de ce semblant de difficulté.

Ce que tu dis m'intéresse, tu peux nous en dire plus ? Comment tu t'y prends pour pallier à cette difficulté ?

Cordialement

[Black Jack 2]

Ce que tu dis m'intéresse, tu peux nous en dire plus ? Comment tu t'y prends pour pallier à cette difficulté ?

Cordialement

Bonjour,

Par exemple, cas d'une bille descendant sous son propre poids dans un fluide:

On suppose que Re est suffisamment grand ... et que donc le Cx est constant (pour une sphère, environ 0,45)

On calcule la vitesse limite par : m*g - Poussée d'Archimède = 1/2*Rho(fluide) * Cx * S * vlim² (pas de polémique, pour ceux qui vont prétendre qu'on ne doit pas utiliser la P archi avec des objets qui bougent)

... qui permet de recalculer le Re. Et on vérifie si ce Re recalculé (à partir de Vlim trouvée) est bien, sur la courbe, dans la zone de Cx constant. Si oui, c'est fini.

Si non, on suppose que le Cx est dans la zone de la loi de stokes (Cx = 24/Re) et on a : m*g - Poussée d'Archimède = 1/2*Rho(fluide) * 24/Re * S * vlim²

Avec Re = v * 2R * rho(fluide)/µ (avec µ la viscosité dynamique du fluide)

--> m*g - Poussée d'Archimède = 1/2*Rho(fluide) * 24 * µ * S * vlim²/(vlim * 2R * rho(fluide))

m*g - Poussée d'Archimède = 1/2 * 24 * µ * Pi*R² * vlim/( 2R )

m*g - Poussée d'Archimède = 6 * µ * Pi * R * vlim (c'est la loi de Stokes)

D'où on tire Vlim, avec lequel on recalcule le Re et on vérifie si on est bien sur la courbe dans la zone où la loi de stokes est applicable.
*****
Remarque, si on fait fréquemment de genre de calcul, on sait souvent par expérience si on va se trouver dans le cas où on va se trouver (laminaire ou turbulent)

[sunyata]

Bonjour,

Par exemple, cas d'une bille descendant sous son propre poids dans un fluide:

On suppose que Re est suffisamment grand ... et que donc le Cx est constant (pour une sphère, environ 0,45)

On calcule la vitesse limite par : m*g - Poussée d'Archimède = 1/2*Rho(fluide) * Cx * S * vlim² (pas de polémique, pour ceux qui vont prétendre qu'on ne doit pas utiliser la P archi avec des objets qui bougent)

... qui permet de recalculer le Re. Et on vérifie si ce Re recalculé (à partir de Vlim trouvée) est bien, sur la courbe, dans la zone de Cx constant. Si oui, c'est fini.

Si non, on suppose que le Cx est dans la zone de la loi de stokes (Cx = 24/Re) et on a : m*g - Poussée d'Archimède = 1/2*Rho(fluide) * 24/Re * S * vlim²

Avec Re = v * 2R * rho(fluide)/µ (avec µ la viscosité dynamique du fluide)

--> m*g - Poussée d'Archimède = 1/2*Rho(fluide) * 24 * µ * S * vlim²/(vlim * 2R * rho(fluide))

m*g - Poussée d'Archimède = 1/2 * 24 * µ * Pi*R² * vlim/( 2R )

m*g - Poussée d'Archimède = 6 * µ * Pi * R * vlim (c'est la loi de Stokes)

D'où on tire Vlim, avec lequel on recalcule le Re et on vérifie si on est bien sur la courbe dans la zone où la loi de stokes est applicable.
*****
Remarque, si on fait fréquemment de genre de calcul, on sait souvent par expérience si on va se trouver dans le cas où on va se trouver (laminaire ou turbulent)

Salut,

Merci à toi pour ces explications.

Cordialement

[sunyata]

Pour le cas de mon navire,

Il faudra prendre le coefficient de trainée en régime post-critique :



Et pour les formes simples on obtient les ordres de grandeurs suivants :



pour des nombres de Reynolds supérieurs à 2x10^6

Cordialement

[sunyata]

S'agissant ici d'une vitesse de dérive : Il faut normalement tenir compte de la composante de Force de pression liée à l'action des filets d'eau perpendiculaires à la surface du maitre couple, mais aussi à la force de frottement du fluide considéré, qui est proportionnel à la Surface mouillée.

D'après la formule ci-dessous on voit que la composante liée à la surface mouillée est très inférieure à la force de pression.
Cela correspond à un nombre de Reynold élevé, mais à des vitesses relativement faibles.



Du coup la formule :

F = 1/2 Cx.rho.S.V² avec Cx = 1,2 Constitue une très bonne approximation.

Cordialement