Conditions aux limites pour l'équation de la chaleur.

[Pepper08]

Bonjour,

Dans le cadre d'un cours sur la méthode des éléments finis, je travaille sur un TP portant sur l'équation de la chaleur 2D :



Plus précisément, l'objectif du TP est de simuler la diffusion de la chaleur dans une pièce à partir d'une source de chaleur modélisée par une condition aux limites.
La pièce est simplement représentée par un rectangle (le petit carré correspond à la source de chaleur) :

mesh.png


Dans un premier temps, j'ai écris mon propre modèle qui est le suivant :



où correspond au produit scalaire, à un mur parfaitement isolé et à la source de chaleur.
J'obtiens des résultats plutôt "logique" avec ce modèle :

model1_20mean.png

Cependant, notre professeur nous demande de modéliser la source de chaleur par une condition aux limites de rayonnement qui est la suivante :


avec le coefficient de diffusivité thermique et à la constante de Stefan-Boltzmann.

Je me pose les questions suivantes vis-à-vis de cette condition :

• Pourquoi choisir de modéliser la source de chaleur (disons un radiateur pour se fixer les idées) par une condition aux limites de rayonnement ? Je n'ai vu cette modélisation dans aucun autre TP sur le web.
• Il me semble, d'après mes souvenirs d'analyse dimensionnelle, que cette équation n'est pas très homogène.
• En simulant avec cette condition, j'obtiens des températures de l'ordre de 1000k après seulement 10min, ce qui me semble un peu beaucoup

Si quelqu'un pouvez m'apporter son aide/connaissances sur le domaine, ça serait avec plaisir.

Merci,
Pepper08

PS : Peut-être que ces questions sont triviales pour des physiciens mais je n'ai plus de physique depuis un certain temps.
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[gts2]

Cependant, notre professeur nous demande de modéliser la source de chaleur par une condition aux limites de rayonnement qui est la suivante :

avec le coefficient de diffusivité thermique et à la constante de Stefan-Boltzmann.
Il me semble, d'après mes souvenirs d'analyse dimensionnelle, que cette équation n'est pas très homogène.

Je pense qu'il s'agit d'une faute de frappe, de lapsus ... et qu'il faut remplacer par conductivité thermique

[*] Pourquoi choisir de modéliser la source de chaleur (disons un radiateur pour se fixer les idées) par une condition aux limites de rayonnement ? Je n'ai vu cette modélisation dans aucun autre TP sur le web.

Vous devez modéliser un radiant infra rouge mais cela devrait être dans ce cas plutôt un bout du mur (c'est en général de faible épaisseur) qu'un rectangle

[*] En simulant avec cette condition, j'obtiens des températures de l'ordre de 1000k après seulement 10min, ce qui me semble un peu beaucoup

En effectuant le changement / , cela devrait changer.

Remarque : en tant qu'exercice pourquoi pas, mais la modélisation est totalement non physique si la pièce est bien une pièce d'habitation : l'utilisation de la loi de Fourier pour un gaz est un peu limite, et surtout le n'est pas du tout une condition aux limites, ce terme se propage par iR à travers l'air (si vous avez un tel dispositif, vous ressentez la chaleur en provenance du radiant, pas de l'air ambiant chauffé par le radiant).

[Pepper08]

Bonjour et merci d'avoir pris le temps de m'aider.

Si je comprends bien vos remarques, il faut :

• Prendre en compte le phénomène de convection pour avoir une modélisation plus fidèle de la réalité physique sous-jacente :
• Ne pas mettre de conditions en aux limites de rayonnement. En fait, notre professeur voulait nous imposer une condition de rayonnement en également sur une partie des murs pour que l'on ait à traiter une non-linéarité par la méthode de Newton-Raphson.
• Modéliser l'épaisseur des murs et donc éventuellement les pertes qui s'y produisent.

Merci,
Pepper08

[gts2]

Ce n'est pas exactement ce que je voulais dire :

1- "en tant qu'exercice pourquoi pas", cela a l'air plus d'un problème d'analyse numérique que de physique, dans ce cas traiter le ainsi,
2- la convection en thermique, ce n'est pas uniquement ajouter un terme, il faut ensuite calculer v due à la gravité et pour un système plan à l'horizontale cela va être difficile !
3- pour ce qui est des murs, c'est un choix lié à l'exercice et on revient à 1,
4- ce que j'ai voulu dire est que la modélisation est clairement non physique,
5- faire une modélisation physique de votre problème changerait totalement le problème : chauffage des murs par les IR (donc étude de rayonnement thermique) puis chauffage de l'air par convection avec une condition aux limites de type Newton (qui encapsule votre équation de convection-diffusion)

Conclusion : rester sur votre exercice en corrigeant simplement \alpha par \kappa.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

En fait, notre professeur voulait nous imposer une condition de rayonnement en également sur une partie des murs pour que l'on ait à traiter une non-linéarité par la méthode de Newton-Raphson.

Dans l'état actuel, votre équation est parfaitement linéaire : est une constante vis-à-vis de u.
Même avec un u⁴ sur les murs, c'est une condition aux limites, cela ne change rien au fait que votre équation est linéaire.

[Pepper08]

Bonjour, merci pour votre réponse.

En effet l'équation dans le domaine ne change pas avec l'ajout d'une condition en mais la formulation faible si car on obtient un terme de la forme :



qui est bien non-linéaire en .


D'accord, j'ai compris ce que vous vouliez dire. Je peux traiter l'exercice tel quel même s'il ne reflète pas la réalité physique.
Mais cela m'embête un peu dans la mesure où l'on doit répondre à des questions d'interprétation physique après simulation...

Pour le point 2, le plan 2D est en fait une coupe verticale de la maisonnette, y a-t-il un moyen de calculer le vecteur vitesse dans ce cas ?

Merci,
Pepper08

[gts2]

Je ne connais pas suffisamment la fomulation faible pour répondre.

Le calcul explicite de la convection (et non cachée dans la loi de Newton) est complexe : il faut coupler l'équation thermique et les équations de mécanique des fluides.

Des questions d'interprétation physique sur votre modèle : lesquelles (parce qu'on quand même loin de la réalité : le est une onde électromagnétique, pas un flux thermique dans l'air) ?

[Pepper08]

Ah oui en effet ça risque d'être compliqué, trop compliqué pour moi ... Peut-être existe t-il une formule explicite "grossière" approximant les composantes du vecteurs vitesse (du moins la composante verticale) ?

Par exemple la première question : clarifier et expliquer le modèle.

[gts2]

Peut-être existe t-il une formule explicite "grossière" approximant les composantes du vecteurs vitesse (du moins la composante verticale) ?

Comme indiqué le plus simple est d'utiliser la loi de Newton, on trouve le coefficient h, par ex. https://fr.wikipedia.org/wiki/Coeffi...tion_thermique vers la fin.

Par exemple la première question : clarifier et expliquer le modèle.

C'est là que j'ai un problème : expliquer un modèle qui pour moi est non physique (mais je peux me montrer) est difficile.
Il y a sur ce forum des spécialistes de thermique, il y en a bien un qui va passer.