Quel est le système logique utilisé par une théorie de la physique ?

[Deedee81]

Salut,

Merci. C'est bien ce qu'il m'avait semblé, même si je ne prétends pas avoir tout compris.

Ah là pour le coup moi non plus, faudrait creuser un peu

P.S. Etienne va sûrement revenir, c'est vrai qu'en plus c'était.... la fête du roi (et on ne sait pas d'où vient Etienne)
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[ThM55]

Dans la formalisation de la propriété "least upper bound" (que je comprends comme l'existence d'un suprémum pour les ensembles bornés non vides), je ne vois pas bien pourquoi ils disent qu'on a besoin de la logique du second ordre. Quand je lis la propriété formalisée sur la page Wikipedia, je ne vois que des quantificateurs sur des objets. Où est la logique du second ordre là dedans? OK, je n'ai sans doute pas le niveau de compétences requis pour comprendre cette question de logique du premier ou du second ordre.

Cela dit, est-ce important? Il me semble que ce genre de propriété du suprémum est plus ou moins reliée à la complétude de l'ensemble des réels (le fait que toute suite de Cauchy est convergente). On peut se demander en quoi le fait que R soit complet joue un rôle en physique. Cette propriété a des conséquences intéressantes, par exemple: toute série absolument convergente est convergente. Il y a un cas où cette propriété joue un rôle essentiel pour la physique, c'est celui des espaces de Hilbert utilisés pour représenter les états en physique quantique. La complétude dans ces cas permet de définir des éléments importants pour la physique comme l'existence de la décomposition d'un vecteur quelconque par rapport à une variété linéaire. Cela mène à divers théorèmes qui permettent, par exemple pour l'espace L2, à définir des bases orthonormées dénombrables et finalement à justifier le formalisme de Dirac. C'est d'ailleurs insuffisant pour décrire ce que les physiciens font en pratique, il faut pour cela développer les triples de Gelfand, et peut-être même les algèbre partielles d'opérateurs.

Maintenant, en pratique, si on va voir les traités écrits par des physiciens, ils ne se préoccupent pas tellement de toutes ces questions, sauf de manière très marginale. Par exemple dans le chapitre 2 du volume 1 de "The quantum theory of fields" par Steven Weinberg, il définit un espace de Hilbert comme un espace vectoriel complexe possédant un produit scalaire sesquilinéaire. Il ne précise pas la notion de complétude, mais il écrit entre parenthèses: "There are also certain technical assumptions that allow us to take limits of vectors within Hilbert space". Il fait forcément ici allusion à la complétude. Ce n'est qu'une parenthèse car nulle part dans les trois volumes de ce traité il ne se trouve dans la situation de prendre la limite d'une suite de vecteurs. Par contre, dans sa démonstration du théorème de Wigner sur la représentation des symétries dans l'espace des états, il suppose l'existence d'un ensemble orthonormé dénombrable complet d'états (équation 2.A.2). Donc il utilise une propriété élaborée qui découle de la complétude par une longue suite de théorèmes qu'il ignore complètement. On voit que dans ce système de déduction on est isolé de la logique mathématique par plusieurs "couches" de résultats (si je peux exprimer cela de cette manière) et qu'on n'exploite finalement que la couche la plus haute. Je ne sais même pas combien de couches on peut identifier. Il y a la logique, la définition des réels, puis les propriétés élémentaires de l'analyse, la théorie de la mesure, l'intégrale (on a besoin de l'intégrale de Lebesgue pour que L2 soit bien défini), la théorie des espaces de Hilbert, les opérateurs,..... une série de couches, j'en oublie surement, qui s'empilent et dont les physiciens prélèvent les résultats qui les intéressent.

Ne me faites pas dire ce que je n'ai pas dit: il serait certainement très intéressant de justifier mathématiquement tout l'appareillage mathématique utilisé en physique. C'est à mon avis la noble tâche de la discipline appelée "physique mathématique", qui a malheureusement autant de définitions que de praticiens. Mais ce que j'ai voulu expliquer c'est pourquoi le professeur de physique n'indique pas le système logique dans lequel il travaille: il suppose connus certains résultats enseignés par d'autres et la preuve ou la justification logique de ces résultats ne font pas partie de sa discipline. Tout comme on ne doit pas apprendre la thermodynamique ou l'électrotechnique pour passer le permis de conduire.

[Morrslieb]

Dans la formalisation de la propriété "least upper bound" (que je comprends comme l'existence d'un suprémum pour les ensembles bornés non vides), je ne vois pas bien pourquoi ils disent qu'on a besoin de la logique du second ordre.

Si vous regardez bien la formule, vous voyez qu’elle commence avec où A est un ensemble et non pas une variable, donc c’est du second ordre. Par contre, je ne suis pas très sûr de ce qu’on considère comme une variable. Dans l’exemple de Wikipedia, ils considèrent les nombres (réels) comme des variables, mais dans la théorie des ensembles, les nombres naturels par exemple sont définis via des ensembles et leur cardinalité, voir Set theoretic definition of natural numbers
Donc à priori, on pourrait considérer les nombres (naturels) comme des ensembles aussi. Bon, je suppose que cela dépend du cadre qu’on se fixe.

Mais ce que j'ai voulu expliquer c'est pourquoi le professeur de physique n'indique pas le système logique dans lequel il travaille: il suppose connus certains résultats enseignés par d'autres et la preuve ou la justification logique de ces résultats ne font pas partie de sa discipline.

Je pense que s’il n’indique pas le système logique utilisé, c’est parce que ce système est souvent inconnu. Déjà, je doute que toutes les théories mathématiques soient entièrement transcrites en logique classique ou autre, et en physique moderne, qui utilise souvent différentes théories mathématiques en même temps, il faudrait en plus encore transcrire les interactions entre les différentes théories mathématiques, et le cadre de la théorie physique per se. A mon avis, le résultat serait tellement compliqué qu’aucun humain n’arriverait plus à le comprendre. Peut-être, dans un future lointain, des AI pourraient s’y retrouver. Il y a déjà à l’heure actuelle des AI qui arrivent à prouver des résultats mathématiques.

Ensuite, c’est sûr que les physiciens ne s’intéressent pas de trop près aux mathématiques qu’ils utilisent. Mais alors ils ne devraient pas s’étonner s’ils se retrouvent dans un cul-de-sac, ou qu’ils ont des inconsistences dans leurs théories.

[ThM55]

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Ensuite, c’est sûr que les physiciens ne s’intéressent pas de trop près aux mathématiques qu’ils utilisent. Mais alors ils ne devraient pas s’étonner s’ils se retrouvent dans un cul-de-sac, ou qu’ils ont des inconsistences dans leurs théories.

Ah oui, je suis absolument d'accord. Je suis un fervent défenseur de l'utilité de mathématiques correctes pour construire des théories consistentes. Mais nécessité fait loi. Un cours standard de théorie quantique des champs (genre Peskin-Schroeder ou Schwartz) n'est jamais très satisfaisant mathématiquement. L'étudiant se trouve confronté à des astuces dans lesquelles on soustrait des infinis d'autres infinis, via des limites douteuses dont on ne démontre pas l'existence. Mais le sujet a été créé de cette manière pour se confronter rapidement aux expériences. Avec un certain succès, et c'est vraiment une litote de le dire de cette manière. On pourrait pourtant améliorer les choses par exemple en améliorant la formulation de la renormalisation (je pense à la méthode d'Epstein-Glaser). Mais cela demande certaines connaissances mathématiques, théorie des distributions etc, qui ne sont en général pas exigées par ces cours.