Circuit RLC parallèle forcé - equation différentielle en fonction de i(t)

[haf0g]

Bonjour,
Il y a des jours, j' ai travaillé un exercices qui m a pris beaucoup de temps sans figurer comment s' en sortir, il s'agit en fait d un ciruit RLC parallèle alimenté par une source de tension alternatif : e(t)=30*sqrt(2)*cos(wt).

La question me demande de déterminer l equation différentiel vérifié par i(t).

J'ai alors, d'après la loi des nœuds :
i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t)
et d'après la loi des mailles on a :
e(t) = u_L = u_R' + u_C = u_R .. et la j'ai beaucoup essayé ms en vain. Un peu d'aide est le bienvenu svp.


Vous trouverez ci-joint une image du circuit.
-----

[gts2]

Bonjour,

Il faudrait écrire e(t) = uL = uR' + uC = uR en fonction de i1, i2, i3, et reportez dans i(t) = i1(t) + i2(t) + i3(t)

[gts2]

Ceci étant, j'ai fait le calcul : c'est très lourd, quel est le but du jeu ?

[stefjm]

La fonction de transfert I/E se calcule quasiment de tête et il est alors facile de trouver L'EDO.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Vu la tête de la fonction de transfert, vous ne devez pas avoir la même tête que moi ; j'ai pu me tromper...

[haf0g]

Bonjour gts2,

Ps : pour les notations, je vais considérer que : [u(t)] est une primitive de u par rapport au temps t.

J'ai essayé cela :
- u_L = L* d(i₁)/dt
- u_R' = R'*(i₂)
- u_C = q/C = (1/C ) * [i₂(t)]
- u_R= R*(i₃)

On veut les expressions de i₁, i₂ et i₃ :

- i₁(t) = [u_L(t)]/L = [e(t)]/L
- i₂(t) = u_R'/R' = 1/R' * (e(t) - u_C(t))
Aussi : i₂(t) = C* d(u_C)/dt
- i₃(t) = u_R/R = e(t)/R

En rapport dans la loi des noueds :
i(t) = e(t)/L + C* d(u_C)/dt + [e(t)]/R (1)
Et i(t) = e(t)/L + 1/R' * (e(t) - u_C(t)) + e(t)/R (2)

El là... je me bloque une deuxième fois

[haf0g]

Bonjour gts2,

C'est un exercice d'un DS en électronique, les deux premiers questions de l'exercice demande : l'équation différentielle en fonction de i(t) puis demande de donner directement sa solution ( sans calcul ) qui est pour un oscillateur électrique en régime forcé RLC alternatif ( d'après le cours, je sais pas bien sur pourquoi) : i(t) = I₀ * cos(w*t + phi)
avec phi : le déphasage entre i(t) et e(t) et I₀ est l'amplitude maximale de i(t).

Vu que ces deux premiers questions sont indépendantes du reste de l'exercice, je pense que le but c'est d'évaluer la compétence de l'étudiant à la détermination d'une equation differentiel en fonction d'une grandeur physique ( intensité du courant ou tension en régime alternatif) ... and god knows.

Voilà l'exercice complet attaché là bas:

[haf0g]

Bonjour stefjm,
Je pense pas qu'on aurai besoin de la fonction de transfert dans cette exercice puisque on n'a pas étudier cette notion dans le cours. Il reste à voir juste avec la loi des mailles et la loi des noueds.

Mmmm est- ce qu on peut faire une association des resistances en parallèle là ?

[gts2]

Est-ce qu'on peut faire une association des resistances en parallèle là ?

Oui (à condition de traduire résistances -> impédances) ; c'est d'ailleurs la question 4, et c'est le plus simple : la tension étant sinusoïdale, si vous connaissez les impédances complexes, il est inutile de déterminer l'équation différentielle ... mais c'est ce qui est demandé !
Dit autrement, pour résoudre 5 et 6 les questions 1 2 3 sont inutiles (c'était ma question "quel est le but du jeu ?")

[gts2]

Et là... je me bloque une deuxième fois

Dans i1(t) = [uL(t)]/L = [e(t)]/L, pour se débarrasser de [], on dérive : di1/dt = e/L
Avec i2(t) = uR'/R' = 1/R' * (e(t) - uC(t)) et i2(t) = C* d(uC)/dt, là aussi on dérive ce qui donne di2/dt
Donc autant continuer et dériver i3(t) = e(t)/R

Il reste à additionner, mais cela ne sera pas encore fini ...

[Black Jack 2]

Bonjour,

Si on connait, on peut utiliser les notations de Laplace (on remplace d/dt par p)

On a directement e = R'.i2 + Uc
avec i2 = C dUc/dt = C * p*Uc
---> Uc = i2/(p*C)
Et donc : e = R'.i2 + i2/(p*C)
i2 = pC/(1+pR'C) * e

On trouve de manière immédiate i1 et i3 en fonction de e.

Et par i = i1 + i2 + i3 (on a i en fonction de e)

On remet le tout au même dénominateur...

Et on repasse à l'équation différentielle en remplaçant p par d../dt et p² par d²../dt²

[gts2]

Oui, mais si connait Laplace, on écrit I=Y(p)U avec Y=Y1+Y2+Y3, donc de nouveau pas besoin des questions 1 et 2.
Je ne comprends pas trop 5) : on demande de comparer la phase obtenue par les nombres complexes avec la phase obtenue par les nombres complexes ?

[stefjm]

Et si on ne connait pas la transformée de Laplace, on peut quand même faire la même chose en remplaçant la dérivée par un produit par jw.
J'imagine que la question 5 demande la comparaison entre les résultats obtenus par intégration directe de l'équation différentielle (après s'être fait chier à l'établir de façon "classique") et les résultats obtenus avec les impédances.

Bref, tout à l'envers d'un point de vu technologique et industriel!!
Un exercice de taupe bien débile...

Si j'ai à le résoudre de tête, je fais comme gts2.


C'est homogène et avec un peu de chance, pas trop faux!

J'en déduit :





Et donc l'EDO car devient :



Homogène et j'espère juste...

Cela me gonflerait vraiment d'établir cette EDO directement en temps...

[stefjm]

C'est quelle formation, par curiosité de ma part?

[Black Jack 2]

Rebonjour,

Comme cela a été fait (question 1) ... je poursuis par la méthode que j'avais indiquée.

i2 = pC/(1+pR'C) * e (voir ma précédente intervention)
i1 = e/(pL)
i3 = e/R

--> i = e * [pC/(1+pR'C) + 1/(pL) + 1/R]

On remet au même dénominateur : i = e * [p²RCL + R.(1+pR'C) + pL(1+pR'C)]/(pLR*(1+pR'C)]

i = e * (p²LC(R + R') + p(RR'C+L) + R)/(pLR + p²LRR'C)]

R * e + (RR'C+L) * de/dt + LC(R + R') * d²e/dt² = LR * di/dt + LRR'C * d²i/dt²

Et bien entendu, c'est équivalent à la réponse du message 13

Je ne vois rien de bien lourd comme calculs là dedans.

C'est cependant vrai qu'on n'est pas obligé de passer par les questions 1 et 2 pour répondre aux autres questions.

Le but de l'exercice est peut être d'obliger de manipuler plusieurs techniques.

[gts2]

Je ne vois rien de bien lourd comme calculs là dedans.

Quand je parlais de calculs lourds, je parlais de la question 1) traitée uniquement à partir des dérivées (puisque Y n'arrive qu'en 4).

[stefjm]

Cela me gonflerait vraiment d'établir cette EDO directement en temps...

Peut-être en restant avec un système d'EDO du premier ordre en posant i=x1 et i'=x2.
X'=A.X+B.E, en matrice

Mais bof bof quand même...

[haf0g]

C'est quelle formation, par curiosité de ma part?

BAC+2 ( classes préparatoires )

[gts2]

Vous pourriez préciser : c'était peut-être un exo dans les années 50, au jour d'aujourd'hui, on en est très loin.