calculer l'energie moyenne avec la loi de boltzman

[linu]

bonjour,
J'ai cette loi de densité P(E)dE = 1/KT * exp(-E/KT)*dE, et je cherche a connaitre l'énergie moyenne avec E = 1/2 * mv².
J'ai donc :
<E> = integrale( E* 1/KT * exp(-E/KT)*dE)
Je fais un changement de variable avec X=rac(m/2KT)*v et donc X² = 1/2 *mv² / KT, ce qui donne X² = E/KT et dE/dX = 2XKT.

et j'ai donc au final:
<E> = intégrale( 2KT* X³ exp(-X²)* dX )

cette intégrale est elle correct ? car quand je cherche a calculer l'intégrale via un programme pour resoudre les intégrales il me dit que c'est indéfini entre 0 et +INF.

Merci d'avance pour votre aide
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[gts2]

Bonjour,

Il serait bien d'avoir le contexte : si on vous donne P(E)dE = 1/KT * exp(-E/KT)*dE, alors <E> = integrale( E* 1/KT * exp(-E/KT)*dE) peu importe l'expression de E, il n'y a pas besoin de faire de changement de variable ?
Sinon votre changement de variable est correctement effectuée et les deux expression de <E> conduisent à la même valeur kT.

[linu]

Merci de ta réponse, je souhaite a partir de la loi de Boltzmann démontrer que l'énergie d'un gaz monoatomique (sans interaction électrostatique ) est 3/2 KT. Dans le cas d un degré de liberté j'ai E = 1/2 * mv² (sur l axe des x). C est pourquoi je remplace E par 1/2 * mv² et je souhaite donc trouver un <E> = 1/2 KT

[gts2]

Avec votre distribution, cela donne kT et non 1/2 kT.
D'où sort P(E)dE = 1/KT * exp(-E/KT)*dE ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[linu]

cette formule ne vient pas d un cours, je l'ai recupéré via google qui me disait P(E)dE = 1/Z * exp(-E/KT)*dE et j ai déterminé Z = KT en disant que l intégrale( P(E)dE ) = 1 en 0 a +INF

[gts2]

Pourriez-vous donner le lien pour qu'on y voit plus clair ?

[linu]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Statis...well-Boltzmann

[linu]

j ai mal compris la formule ?

[gts2]

Le texte dit : "le nombre de particules possédant une énergie entre E et E + est : "
alors que vous écrivez
donc quand vous calculez la valeur moyenne de E ou Z, vous oubliez de compter le nombre d'état possédant cette énergie E : g(E).

[linu]

merci de tes réponses gts2, mais alors par quel moyen on a reussi a déterminer que l'énergie moyenne dans un gaz monoatomique est 3/2 KT (pour un atome) ou dans un gaz diatomique linéaire c'est 5/2 KT. Il me semblait que c'était a travers cette formule.

[gts2]

Tout le problème se trouve dans la détermination de g(E), densité d'état en énergie.
On se place dans l'espace des phases (position, quantité de mouvement), espace dans lequel on peut considérer que la densité d'état est 1/h³, autrement dit à la place de g(E)dE, on a dx dy dz dpx dpy dpz /h³
On va raisonner à une dimension, on a donc g(E) dE=dx dpx /h avec E=px²/(2m). Comme il n'y a pas de dépendance en x que h est constant, les termes provenant de dx et le h vont se simplifier entre g(E) dE et Z. On peut donc les "oublier" pour faire le calcul. On effectue le changement de variable px -> E, ce qui donne
On calcule , puis = 1/2 kT