Gaz monatomique

[inviteccb09896]

Bonjour

Je cherche la démonstration de la fameuse relation :

Ec=3/2*N*k*T

Sans utiliser le théorème du Viriel ni la distribution de Maxwell.

Si quelqu'un à cela sous la main... (je rêve un peu mais c'est pas mauvais).

Bonne soirée
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[invite93279690]

Bonjour

Je cherche la démonstration de la fameuse relation :

Ec=3/2*N*k*T

Sans utiliser le théorème du Viriel ni la distribution de Maxwell.

Si quelqu'un à cela sous la main... (je rêve un peu mais c'est pas mauvais).

Bonne soirée

On a le droit à la physique statistique dans l'ensemble microcanonique ?

[inviteccb09896]

Oui mais avec les détails pas comme dans le livre "physique statistique" de B.Diu...

[invited9d78a37]

soit une paroi selon yOz avec e_x normale a cette paroi
soit une molecule cavalant vers cette paroi, on a conservation de l'impulsion
donc apres un choc on a

donc la force exercé par les n molecules dans le volume V est

la force pressante moyenne est

avec les molecules avec la concentration
avec u la vitesse moyenne quadratique

or

on a


le gaz est dans la region

pour que la molecule viennet heurter la paroi il faut que que position initiale soit inferieur a
la moitie des molecules du cylindre de base S et de hauteur va venir frapper la surface S, soit








donc la pression est


pour une mole de gaz on a
or
avec nombre d'Avogadro
on a
on a
soit pour n moles de gaz soit molecules on a


voila voila!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c9b9968]

Ou encore mieux, on prend le canonique ça va plus vite (+ le théorème d'équirépartition de l'énergie bien sûr)

EDIT : au fait chwebij, le rapport avec le microcanonique et la phy stat est lointain dans ta démo, tu utilise PV=RT + un raisonnement de forces

[invited9d78a37]

ba le but n'etait pas de retrouver la formule sans les armes lourdes de la phys stat?
parce que je connais peu de choses sur cette derniere et ca c'est la demo qu'on nous avait refile en thermo.
et pis mince je n'ai pas tapé tout ca pour rien, non?
enfin, je prend un certain plaisir a galerer en latex
allez

[inviteccb09896]

Je suis bluffé par la simplicité de la démo. J'ai pas trop le temps de vérifier en détail ce qu'elle vaut maintenant mais comme demain je pars à l'armée pour trois semaines je vais l'imprimer et la mettre dans la poche de ma combinaison militaire.

Tu la sors d'où si c'est pas indiscret ?

PS: Merci bcp pour ta prompte et excellente réponse

[invite93279690]

On se place donc dans l'ensemble microcanonique (on considère un système isolé à energie , volume et nombre de particules fixés).

Dans cet ensemble statistique, l'entropie statistique est donnée par (ça doit être démontré dans le DIU ça) :
où est le nombre de microétats accéssibles au système dont l'energie est comprise entre et .
Dans un point de vue semi-quantique on se place dans l'espace des phases {, } à 6N dimensions dont un point (donnant la position et l'impulsion des N particules) représente un microétat du sytème. Ce microétat sera pourvu d'une "extension" dans l'espace (c'est à dire d'un volume) des phases correpondant aux inégalités de heisenberg sur les incertitudes sur la position et l'impulsion, cette extension sera égale pour chaque microétat à .

On s'interesse à un gaz parfait monoatomique (particules libres, ponctuelles, sans interactions mutuelles, indiscernables...) , l'energie du système est donc donnée par

Ce qui équivaut à

Ceci correspond à l'équation d'une hypersphère de rayon et de centre et de dimension 3N.

Avec tout ça on peut calculer dejà le nombre de microétats du système dont l'energie est entre 0 et E et qui est donné par :

On remarque que est le "volume" de l'hypersphère de rayon et on peut montrer que le volume d'une hypersphère de rayon R et de dimension n est donné par:
"volume"
Ce qui donne donc :


En fait comme les particules sot indiscernables, il faut écrire

Pour connaitre l'entropie statistique, il faut maintenant déterminer qui peut etre donné par .
C'est là que la "bidouille" de statisticien apparait (c'est comme ça que ça m'a été présenté). En fait, si N est très grand de l'ordre du nombre d'Avogadro par exemple, des gens peuvent montrer (mais pas moi) que (lorsque le nombre de dimension est "très grand" le volume d'une hypersphère est de l'ordre de grandeur de la variation de volume de cette hypersphère) ce qui implique que l'on peut écrire ici: .

L'entropie s'écrit alors
Par défintion la température statistique (à relier avec la température thermodynamique à l'aide de la constante de Boltzman) est donnée par .
Ce qui implique

On en déduit alors,


Voilà ça doit être ça en ésperant ne pas avoir fait de faute dans les étapes intermédiares .

P.S: Bien entendu cette démo est un peu plus ardue que celle de chwebij (que j'ai pourtant vue il y a quelques années et à laquelle je n'ai pas pensé pas je l'avoue) mais on pourra remarquer qu'elle ne nécessite pas la connaissance de la loi des gaz parfaits (faut bien se rassurer comme on peut ).

[inviteccb09896]

J'avais pas vue le post #6

Effectivement dans le cas idéal je souhaitais éviter la phys. statistiques mais je ne pensais pas cela possible.

En tout cas je suis satisfait car pédagogiquement c'est beaucoup plus accessible.

Bonne semaine à tous