Courbure intrinsèque et extrinsèque

[Trictrac]

Bonjour,

Fil dérivé de https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post7095275

Envoyé par Archi3
...si on veut faire une comparaison, c'est analogue à l'emploi de coordonnées non cartésiennes dans un espace plat (coordonnées polaires dans le plan ou sphériques dans l'espace euclidien 3D par exemple). Dans la mesure où elles sont non cartésiennes, le tenseur métrique n'est pas l'identité, il dépend des coordonnées, du coup il y a des connexions , des dérivées covariantes (les fameuses "vitesses et accélérations en coordonnées polaires" qui ne sont pas "simplement"' les dérivées de r et theta par rapport au temps), etc... Mais l'espace de départ est bel et bien plat et on peut toujours tout exprimer en coordonnées cartésiennes si on veut.
Alors que sur une sphère, il est impossible de trouver un système cartésien et on ne peut QUE avoir des coordonnées curvilignes (longitude, latitude) avec un tenseur métrique non trivial et des connexions. Parce qu'il y a une courbure intrinsèque.

Mais en fait qu'est-ce qu'une courbure intrinsèque ?
Je lis souvent en anglais que c'est une courbure sans plongement physique :

https://physics.stackexchange.com/qu...nsic-curvature

alors qu'ici il semblerait que ce soit plutôt une courbure où on ne peut pas trouver un système cartésien.

Vous dites que la courbure d'une sphère est nécessairement intrinsèque, alors qu'il y a une autre philosophie qui dit que la courbure de la sphère est extrinsèque à partir du moment où elle est plongée dans une dimension supérieure.
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[mach3]

Ce n'est pas une histoire de plongement, car le théoreme de whitney indique que toute variété différentielle de dimension m peut être plongé dans un espace euclidien de dimension 2m. Ainsi un espace à 4 dimensions permet de plonger toute surface courbe. Bien-sûr, certaines variétés de dimension m nécessitent moins de 2m dimensions pour réaliser un plongement (par exemple la sphère ne nécessite que l'espace 3D). Pour l'espace-temps 4D, il faut au maximum 8 dimensions pour faire le plongement. Certains espace-temps, comme celui de De Sitter si je ne me trompe, ne nécessitent que 5 dimensions pour leur plongement.

Ce fil rappelle certaines généralités sur la courbure : https://forums.futura-sciences.com/d...sentation.html

m@ch3

[Trictrac]

http://www.entretemps.asso.fr/Nicola...umentaire.html

Je comprends que la courbure de Gauss est une courbure extrinsèque et intrinsèque à la fois et son caractère intrinsèque lui permet de se passer d'une dimension supplémentaire dans laquelle se courber.
La courbure cylindrique quant à elle est extrinsèque.

Je comprends mieux ces histoires de courbure.
L'espace dans un champ de gravitation normal est intrinsèquement courbe, mais dans un champ de gravitation homogène il est seulement extrinsèquement courbe, à vitesse constante il devient plat avec une pente.
Ca me va. Vous pouvez fermer le fil si vous voulez afin qu'il ne morde pas...

[mach3]

Juste pour rappel, même si c'est déjà dit ailleurs, mais à force de le répéter, peut-être que ça rentrera : la gravitation est liée à la courbure de l'espace-temps. La courbure de l'espace est sans intérêt vu qu'on peut la choisir arbitrairement sans changer les prédictions.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Trictrac]

Juste pour rappel, même si c'est déjà dit ailleurs, mais à force de le répéter, peut-être que ça rentrera : la gravitation est liée à la courbure de l'espace-temps. La courbure de l'espace est sans intérêt vu qu'on peut la choisir arbitrairement sans changer les prédictions.
m@ch3

J'ai l'impression qu'il y a courbure de l'espace-temps en géométrie de Minkowski (et donc gravitation normale) quand il y a courbure intrinsèque de l'espace.
Donc dire qu'il y a gravitation normale revient aussi à dire qu'il y a courbure intrinsèque de l'espace.
La courbure de l'espace-temps est donc un moyen mathématique pour quantifier la courbure intrinsèque de l'espace.

Ensuite, le fait que cette courbure de l'espace dépende du référentiel ne semble pas avoir plus d'importance que de dire que l'orientation de la ligne d'horizon dépend de la façon dont on tourne la tête. Ce n'est qu'un effet de point de vue. On peut choisir n'importe quel repère pour définir cette ligne d'horizon et ça changera la pente voire même l'horizon tournera si on tourne la tête en permanence mais ça ne changera pas les prédictions. L'orientation de la ligne d'horizon ne remet pas en cause l'existence de la ligne d'horizon en tant que réalité fondamentale et indépendante de ma tête.
De la même manière, il me semble que la relativité de la courbure de l'espace ne remet pas en cause l'existence de l'espace en tant que réalité fondamentale de la géométrie réelle.

[Deedee81]

Salut,

Voir aussi :

https://boowiki.info/art/geometrie-d.../courbure.html

......

J'ai renoncé à compter le nombre d'erreurs. Trois déjà rien que dans la première phrase.

[Deedee81]

Bon, je ferme.

La question initiale était assez précise et les explications et liens ont été donnés. Il ne tient qu'à Trictrac de parfaire ses connaissances en potassant un peu.

De plus, ce dernier message (le 5) n'est pas une "théorie personnelle". C'est carrément le point 6 de la charte qui vient d'éclater dans une explosion nucléaire.
La méthode essai - erreur, je dis bêtises sur bêtises sur bêtises et les autres me corrigent et ça va, à grand coups de "il me semble que", "je pense que", de "j'ai l'impression que", ... hum, ça va, oui, mais un temps. Un temps seulement.
Là c'est vraiment exagéré.

Bon, je sais que la géométrie différentielle n'est pas la plus simple du monde, c'est pas la simple algèbre linéaire, et donc ça nécessite un effort certain. Mais ça ne justifie pas de confondre "Futura" avec "mon blog à réflexion nawak".

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