Courbure 4D et courbure(s) 3D : signification et représentation

[Mailou75]

Salut à tous

### ce fil est issu du fil : https://forums.futura-sciences.com/q...b-vs-flrw.html
mach3, pour la modération ###
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@mach3

C'est la loose... courbure de l'espace, courbure de l'espace-temps, positive, négative, nulle en présence d'une masse, intrinsèque, extrinsèque, avec centre ou sans... vous venez de soulever un sujet que je n'ai pas d'autre choix que d'étudier. Seulement voilà, j'ai le regret de vous apprendre que je vais dépendre de vous, armez vous de courage et de patience ! lol
Pour le peu que j'en comprends, suite à cette remise en cause générale, on a le droit de découper l'espace temps en tranches de simultanéité. Si ce découpage correspond à ce que localement un plan soit perpendiculaire à la ligne d'univers d'un observateur, alors on pourra qualifier ce découpage d'espace. Je t'avoue que je ne m'intéresserai qu'à ceux là car je ne vois pas quelle utilité pourraient présenter d'autres découpages. Ça s’arrête à peu près là pour l'instant, et je vais devoir amorcer une série de questions pour commencer à "classer" les représentations que je connais déjà pour savoir à quoi elles correspondent :
- Quand tu parles de courbure absolue de l'espace temps, quelle est elle ? positive, négative, les deux? En a-t-on une représentation ?
- La parabole de Flamm c'est quoi, l'espace des immobiles ? Je dis ça parce que les longueurs sont celles mesurées localement par les immobiles. Et aussi car dans nos récents échanges sur les "orthogonalités pas forcément apparentes" tu semblais dire que les lignes d'univers des immobiles étaient perpendiculaires à Flamm.
- De la même manière l'axe des r chez Painlevé (puisque c'est le second exemple que tu prends) est-il l'espace des "gouttes de pluie" ? L’orthogonalité devenant apparente quand on passe en représentation Slide.
- Pourtant en coordonnées de Schwarzschild, les immobiles sont perpendiculaires à l'axe r. Ce découpage n'est-il pas classable en "espace" car ne il correspond à aucun observateur. Peut être celui à l’infini ?
- En fait il faudrait passer en revue tous les systèmes connus pour faire ressortir ceux qui ont un intérêt du point de vue de cette notion de "courbure d'espace".
- Quelles sont les courbures intrinsèques ? Quelles sont les courbures extrinsèques (avec petite définition rapide stp) ? Pourrais tu tenter un petit balayage du sujet qui permette aux ignorants de s'initier ?
- Et reste la question E=0. Celui qui chute depuis l'infini a constamment un espace plat ? Comment est-ce possible ?
- Et E>0... on pourrait modéliser un espace hyperbolique et y dessiner des trajectoires ? Comment faire ?
- Enfin (pour l'instant...) si en géométrie hyperbolique le postulat des parallèles est devenu "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinités de parallèles" , le pendant d'une courbure positive est-il "il n'existe aucune droite parallèle à une autre" au sens qu'elle ne se croisent jamais ?

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Encore merci à vous,

Mailou
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[mach3]

@mach3

C'est la loose... courbure de l'espace, courbure de l'espace-temps, positive, négative, nulle en présence d'une masse, intrinsèque, extrinsèque, avec centre ou sans... vous venez de soulever un sujet que je n'ai pas d'autre choix que d'étudier. Seulement voilà, j'ai le regret de vous apprendre que je vais dépendre de vous, armez vous de courage et de patience ! lol
Pour le peu que j'en comprends, suite à cette remise en cause générale, on a le droit de découper l'espace temps en tranches de simultanéité. Si ce découpage correspond à ce que localement un plan soit perpendiculaire à la ligne d'univers d'un observateur, alors on pourra qualifier ce découpage d'espace. Je t'avoue que je ne m'intéresserai qu'à ceux là car je ne vois pas quelle utilité pourraient présenter d'autres découpages. Ça s’arrête à peu près là pour l'instant, et je vais devoir amorcer une série de questions pour commencer à "classer" les représentations que je connais déjà pour savoir à quoi elles correspondent :
- Quand tu parles de courbure absolue de l'espace temps, quelle est elle ? positive, négative, les deux? En a-t-on une représentation ?
- La parabole de Flamm c'est quoi, l'espace des immobiles ? Je dis ça parce que les longueurs sont celles mesurées localement par les immobiles. Et aussi car dans nos récents échanges sur les "orthogonalités pas forcément apparentes" tu semblais dire que les lignes d'univers des immobiles étaient perpendiculaires à Flamm.
- De la même manière l'axe des r chez Painlevé (puisque c'est le second exemple que tu prends) est-il l'espace des "gouttes de pluie" ? L’orthogonalité devenant apparente quand on passe en représentation Slide.
- Pourtant en coordonnées de Schwarzschild, les immobiles sont perpendiculaires à l'axe r. Ce découpage n'est-il pas classable en "espace" car ne il correspond à aucun observateur. Peut être celui à l’infini ?
- En fait il faudrait passer en revue tous les systèmes connus pour faire ressortir ceux qui ont un intérêt du point de vue de cette notion de "courbure d'espace".
- Quelles sont les courbures intrinsèques ? Quelles sont les courbures extrinsèques (avec petite définition rapide stp) ? Pourrais tu tenter un petit balayage du sujet qui permette aux ignorants de s'initier ?
- Et reste la question E=0. Celui qui chute depuis l'infini a constamment un espace plat ? Comment est-ce possible ?
- Et E>0... on pourrait modéliser un espace hyperbolique et y dessiner des trajectoires ? Comment faire ?
- Enfin (pour l'instant...) si en géométrie hyperbolique le postulat des parallèles est devenu "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinités de parallèles" , le pendant d'une courbure positive est-il "il n'existe aucune droite parallèle à une autre" au sens qu'elle ne se croisent jamais ?

Quelques billes pour commencer :

courbure extrinsèque/intrinsèque

-Une ligne n'a pas de courbure intrinsèque, mais seulement une courbure extrinsèque, qu'on mesure avec le rayon d'un cercle qui lui est localement tangent, on parle de rayon de courbure qui est l'inverse de la courbure (rayon de courbure infini <=> plat). De l'intérieur de la ligne, rien ne permet de savoir quelle est cette courbure, l'enchainement des points dans la ligne et les relations locales entres-eux ne sont pas affectés, ils sont les mêmes pour une ligne droite ou une ligne courbe.

-Une surface possède deux rayons de courbure principaux (qui peuvent être égaux), donc deux courbures principales. La courbure extrinsèque est le somme de ces deux courbures, alors que la courbure intrinsèque est le produit de deux. Si l'une des deux courbures principales est nulle, il s'en suit qu'il y a courbure extrinsèque mais pas de courbure intrinsèque. C'est le cas du cylindre dont la base est de rayon r : sa première courbure principale est 1/r (le long du cercle directeur), la seconde est 0 (le long des droites génératrices), donc courbure extrinsèque 1/r+0=1/r, et courbure intrinsèque 0x1/r=0. Concrètement l'absence de courbure intrinsèque du cylindre se retrouve dans le fait qu'on peut dérouler le cylindre sur une surface plane. C'est d'ailleurs pareil pour le cône. Il n'est pas possible de dérouler sur une surface plane une surface ayant une courbure intrinsèque, en tout cas pas sans faire des déformations ou sans faire une infinité de découpes, l'exemple type étant bien sur la sphère.

-Pour une variété de dimension plus élevée, même principe, on a plusieurs courbures principales et l'absence de courbure intrinsèque se retrouve dans le fait qu'on pourra dérouler la variété sur un espace plat de même dimension (par contre c'est plus compliqué qu'une simple somme ou un simple produit pour calculer courbure intrinsèque et extrinsèque...).

Courbure positive/négative

-la courbure (extrinsèque) d'une ligne est positive

-la courbure intrinsèque d'une surface peut être positive ou négative. D'une manière concrète et assez peu formelle, si on considère la surface plongée dans un espace 3D (voire 4D, cela peut être nécessaire) et qu'on regarde en un point tous les cercles tangents à la surface plongée, les segments joignant ce point aux centres de ces cercles sont soit tous sur la même demi-droite, soit certains seront sur une demi-droite et les autres sur la demi-droite opposée. Par exemple pour un ellipsoïde, les cercles tangents ont tous leurs centres sur une demi-droite qui par de l'ellipsoïde et progresse vers son intérieur (avant bien-sûr de ressortir, vu que l'ellipsoïde est fermé, mais ce n'est pas important). A l'inverse, pour un hyperboloide, ou pour le paraboloide de Flamm, il y a des cercles tangents qui ont leur centre d'un côté et d'autres qui ont leur centre de l'autre côté. On parle de courbure (intrinsèque) positive dans le premier cas et courbure (intrinsèque) négative dans le second cas. Cela revient un peu à donner un signe aux rayons de courbure selon que les cercles correspondant sont d'un côté ou de l'autre de la surface, on a ainsi soit deux courbures principales de même signe, dont le produit sera positif, donc courbure positive, soit deux courbures principales de signe différent, dont le produit sera négatif, donc courbure négative.

-Pour une variété à 3 dimension ou plus, c'est plus compliqué de parler de signe, sauf pour des cas particuliers assez symétriques

Relation avec la déviation des géodésiques et le tenseur de courbure

-sur une surface, on peut définir des géodésiques, qui sont les lignes "les plus droites possibles". Si deux géodésiques, qui sont localement parallèles, se rapprochent et finissent par se couper, on a une courbure positive. A l'inverse, si elles s'éloignent de plus en plus, la courbure est négative. Bien-sûr, si elles restent constamment à la même distance, la courbure est nulle. Cela marche pareil peu importe la direction des deux géodésiques pourvu qu'elles soient localement parallèles, il y a un comportement unique.

-sur une variété à 3 dimension ou plus, c'est plus compliqué, car suivant la direction des géodésiques localement parallèles qu'on considère, et également suivant la direction de la séparation entre-elles, on pourra avoir un comportement différent. Si on reste en 3D, on a 3 directions (haut-bas, gauche-droite, avant-arrière) et pour chacune de ces directions, 2 séparations possibles (si on prend une géodésique allant de haut en bas, on peut considérer une voisine localement parallèle suivant la direction gauche-droite ou suivant la direction avant-arrière). Cela donne 6 situations pouvant chacune présenter simultanément des comportements divers : dans certaines les géodésiques se rapprochent, dans d'autres elles s'éloignent, soit suivant la séparation déjà existante, soit dans une autre direction. La courbure pourra sembler positive dans une direction, mais négative dans une autre, etc. C'est pour cela que l'on introduit le tenseur de courbure car il n'y a plus un unique nombre à considérer pour savoir si deux géodésiques initialement parallèles se rapprochent ou s'éloignent, mais plusieurs en fonction des directions et de la séparation des géodésiques considérées (et en plus de donner l'amplitude de la déviation, il faut donner sa direction).

Une tentative de vulgarisation que j'avais faite concernant le tenseur de courbure : https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6657991

m@ch3

[Mailou75]

C'est assez clair comme entrée en matière merci. Sauf le dernier paragraphe...

[ Comme j'aimerais partir du particulier, que je connais un peu, pour aller vers le général, je parle implicitement du modèle de Schwarzschild pour l'instant ]

Rassure moi déjà sur un point : a-t-on le droit de supprimer au moins une dimension d'espace afin de pouvoir étudier un découpage 2D (représenté pour nous en 3D avec sa courbure)? Et deux dimensions d'espace pour avoir une courbure d'espace temps 1D+t ? Puisque apparemment avec une dimension de plus c'est tout de suite beaucoup plus compliqué...

Merci pour le lien. Faut-il comprendre que, dans le cas d'une masse centrale, le fait que les objets en chute libre s'éloignent radialement et se rapprochent orthoradialement (spaghettification / effet de marée) doit il s'interpréter comme : courbure positive x coubure négative = courbure négative. L'espace temps 2D+t (voire 4D) aurait une courbure négative ?
Je suis désolé mais je tatonne là, du coup mes question peuvent paraître très con...

J'attends la suis de tes (vos, Yves tu es le bienvenu ) réponses qui me permettront d'avancer, sur du concret.
Avec en priorité je dirais le cas E=0, bien connu, et son nouvel "espace plat en espace-temps courbe" ?

Merci d'avance

Mailou

PS : Pas d'urgence, ce sera de toute façon très long à digérer je crois...

[mach3]

D'abord quelques ajouts/précisions sur ce qui précède :

La notion de courbure de Gauss semble s'appliquer exclusivement pour les surfaces. Je ne trouve en tout cas aucune référence qui définit la courbure de Gauss autrement que dans le cadre d'une surface (variété 2D).
Quand on parle de courbure positive ou négative pour une variété à 3 dimensions ou plus, on ne parle donc pas de courbure de Gauss, mais d'une autre courbure, la courbure scalaire (appelée aussi scalaire de Ricci). La courbure scalaire vaut le double de la courbure de Gauss pour le cas à 2 dimensions (donc qualitativement, ça ne change rien).

La courbure scalaire s'obtient à partir du tenseur de courbure de Riemann (formellement c'est une double contraction, on contracte une première fois pour obtenir le tenseur de Ricci, puis une seconde fois pour arriver au scalaire de Ricci, mais nous n'entrerons pas dans le détail pour l'instant).

L'interprétation de la courbure scalaire est assez facile. On prend une boule (au sens large, c'est-à-dire une n-sphère et son intérieur, donc disque en 2D, boule au sens restreint en 3D, etc) au voisinage d'un point de la variété et on compare son volume avec une boule euclidienne de même rayon. Si la boule possède un plus petit volume que son équivalent euclidien, alors la courbure scalaire est positive (et inversement)

Exemple en 2D, à la surface de la terre : la surface d'un hémisphère est de 250 millions de km² environ et cela constitue un disque de rayon 10000km (distance entre le centre de ce disque, un pôle, jusqu'à la périphérie, l'équateur) sur la surface de la Terre. Un disque euclidien de 10000km de rayon possède lui une surface de 314 millions de km². La courbure scalaire de la surface de la Terre est donc positive. Bon normalement, on doit rester au voisinage d'un point, c'est à dire prendre un petit disque, mais là comme la courbure est constante, on peut se permettre de prendre un grand disque.

Rassure moi déjà sur un point : a-t-on le droit de supprimer au moins une dimension d'espace afin de pouvoir étudier un découpage 2D (représenté pour nous en 3D avec sa courbure)? Et deux dimensions d'espace pour avoir une courbure d'espace temps 1D+t ? Puisque apparemment avec une dimension de plus c'est tout de suite beaucoup plus compliqué...

On peut travailler dans des tranches, mais il faut faire attention à ce que la courbure qui en résulte ne soit pas due au choix de la tranche.
Il existe ce qu'on appelle la courbure sectionnelle (et oui c'est un véritable zoo conceptuel, d'ailleurs celle-là je ne la connaissais pas hier soir...), qui est la courbure de Gauss d'une "section" de la variété, une surface engendré par les géodésiques issues d'un point donné et toutes tangentes à un même plan donné. En 3D on aura 3 courbures sectionnelles (par exemple courbure de Gauss suivant le plan xy, suivant le plan yz, suivant le plan xz). En 4D ou 3+1D, il y en aura 6. L'ensemble des courbures sectionnelles permet de reconstruire le tenseur de Riemann complet (et réciproquement, le tenseur de Riemann permet de calculer chaque courbure sectionnelle).
Les surfaces de theta et phi constants de la géométrie de Schwarzschild constituent de telles sections : elles contiennent les géodésiques radiales de tous genres. Celles de t constant et theta=pi/2 (des paraboloides de Flamm) sont également des sections. En fait, quand il y a certaines symétries, les surfaces qui respectent ces symétries seront des sections.

Merci pour le lien. Faut-il comprendre que, dans le cas d'une masse centrale, le fait que les objets en chute libre s'éloignent radialement et se rapprochent orthoradialement (spaghettification / effet de marée) doit il s'interpréter comme : courbure positive x coubure négative = courbure négative. L'espace temps 2D+t (voire 4D) aurait une courbure négative ?

Dans le vide, la courbure scalaire est nulle. Il faut qu'il y ait de la poussière et/où de la pression pour que la courbure scalaire soit non nulle, comme c'est le cas dans un astre, ou dans le "fluide cosmique" homogène et isotrope qu'on considère en FLRW. Grosso-modo il y a deux choses dans le tenseur de Riemann, la courbure de Ricci qui caractérise une tendance à s'expandre ou à se contracter (et à partir duquel on calcule ensuite la courbure scalaire) et le tenseur de Weyl qui lui correspond à ce qui est purement marées (il me semble, à vérifier, que ce sont des déformations à volume constant avec dilatation suivant un axe et contraction suivant deux autres, ou inversement). Dans le vide la partie Ricci est nulle, ne reste que la partie Weyl.

Il n'est pas très pertinent de parler de courbure positive ou négative dans le cas du vide entourant un astre. Après, il faudrait vérifier, mais les courbures sectionnelles ne sont pas nulles, et par exemple les sections de theta et phi constant sont très probablement de courbure négative (les géodésiques radiales initialement parallèles et de même variables angulaires s'écartent les unes des autres) et à l'inverse d'autres sections doivent être de courbure positive.
De manière vulgaire et informelle, on peut dire que la courbure apparait positive dans certaines directions et négatives dans d'autres.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mailou75]

Salut,

Il n'est pas très pertinent de parler de courbure positive ou négative dans le cas du vide entourant un astre.

Je croyais que c'était pile ce qu'on cherchait à faire, définir la courbure de l'espace temps qui fait "tomber" les objets ?

Merci pour cet inventaire mais c'est trop généraliste. C'est moi qui l'ai demandé certes, mais je me rends compte que ce n'est pas assez parlant pour que je puisse avancer. Honnêtement depuis le départ, malgré vos explications j'ai très peu avancé : j'ai compris le sens global des courbures positive et négative qui font se rapprocher ou s'éloigner les objets inertiels, j'ai compris qu'on peut parler de courbure de l’espace temps et de courbure de l'espace (pas compris la différence avec courbure sectionnelle). Et c'est à peu près tout car je n'ai aucun exemple à me mettre sous la dent...

Il faut vraiment attaquer dans le vif par un exemple, prenons le plus simple : la pluie et le trou noir
- Comment définir la courbure de l'espace temps ? est-il plat pour E=0 ?
- Comment définir la courbure spatiale de la pluie ? Et de l'anti pluie qui remonte vers l'infini ?
- Y en a-t-il une seule à chaque fois ou autant que de positions "r" ?
- Peut on définir aussi celui des immobiles ?
- Et pour enchaîner, comment l'apport d'énergie (E<0 ou E>0) modifie-t-il une situation liée uniquement à l'énergie d'une particule ?

L'idée est de travailler en 2D pour l'espace, représentable pour nous en 3D avec sa courbure, en "je ne sais pas quoi" pour la courbure de l'espace temps vu que je ne sais pas de quoi on parle, disons au max avec 3 dimensions pour la représentation Avec ces réponses là j'aurais une base pour essayer de comprendre la suite. Pour l'instant ça reste trop abstrait, je te lis sans vraiment comprendre et c’est dommage...

Merci d'avance,

Mailou

PS : Je crois que Yves a renoncé lol

[mach3]

Je croyais que c'était pile ce qu'on cherchait à faire, définir la courbure de l'espace temps qui fait "tomber" les objets ?

Oui, mais un signe ne suffit pas pour définir la courbure de l'espace-temps

Merci pour cet inventaire mais c'est trop généraliste. C'est moi qui l'ai demandé certes, mais je me rends compte que ce n'est pas assez parlant pour que je puisse avancer. Honnêtement depuis le départ, malgré vos explications j'ai très peu avancé : j'ai compris le sens global des courbures positive et négative qui font se rapprocher ou s'éloigner les objets inertiels, j'ai compris qu'on peut parler de courbure de l’espace temps et de courbure de l'espace (pas compris la différence avec courbure sectionnelle). Et c'est à peu près tout car je n'ai aucun exemple à me mettre sous la dent...

Alors quelques exemples pour aider à comprendre un peu mieux.

On va considérer comme variété l'espace euclidien 3D. Sa courbure est nulle. Découpons le en tranches. Les tranches peuvent être plates (par exemple des plans parallèles) ou courbées (par exemple des sphères concentriques), au choix. On pourra parler de la courbure des tranches, mais on comprend que cette courbure est due au choix qu'on a fait pour découper la variété, pas à la courbure de la variété (peu importe comment on choisi de le découper, l'espace euclidien 3D est toujours plat). Cependant, les tranches plates sont des sections de l'espace euclidien, contrairement aux tranches courbes : les tranches plates sont un ensemble de géodésiques de l'espace euclidien. On a donc, en plus de la courbure nulle de l'espace euclidien 3D, 3 courbures sectionnelles nulles.

Passons maintenant en Minkowski 2+1. Idem courbure nulle. On peut découper en tranches plates (plans de simultanéité = espace d'un observateur galiléen) ou en tranches courbées (par exemple des hyperboloïdes dont tous les évènements sont à un intervalle de genre temps constant d'un évènement choisi comme central = espace d'observateurs s'éloignant à vitesse constante d'un point central dont ils sont tous issus lors d'un évènement unique, cas qui mime l'expansion). Idem, les premières sont des sections mais pas les secondes.

J'ai besoin de faire des vérifications avant de présenter des exemples dans la géométrie de Schwarzschild ou FLRW. Par exemple je ne sais pas si les tranches d'espace de Painlevé, plates, sont des sections ou non (c'est quasi-évident pour celles de Schwarzschild, mais pour celles de Painlevé, je vais devoir faire un calcul). Idem pour les tranches de temps cosmologique constant en FLRW.

Il faut vraiment attaquer dans le vif par un exemple, prenons le plus simple : la pluie et le trou noir
- Comment définir la courbure de l'espace temps ? est-il plat pour E=0 ?

La courbure de l'espace-temps ne dépend pas de E dans la géométrie de Schwarzschild. La courbure est fixée une fois pour toute par la définition même de cette géométrie (vide, stationnaire, symétrie sphérique, asymptotiquement plate), elle ne dépend que de la coordonnée radiale et du paramètre M (correspondant à la masse du corps central).
Dans cette géométrie, choisir E (et tau_B), c'est choisir une famille de géodésiques radiales de cette géométrie. Ce sont des géodésiques de particules tests, particules tests qui n'ont aucune influence sur la géométrie elle-même. C'est un choix "dans le vent" si on veut.

C'est différent avec LTB, car dans LTB E caractérise les géodésiques de poussières qui, contrairement à des particules tests, modifient la géométrie. Choisir E (et tau_B) c'est choisir une géométrie particulière.

- Comment définir la courbure spatiale de la pluie ? Et de l'anti pluie qui remonte vers l'infini ?
- Y en a-t-il une seule à chaque fois ou autant que de positions "r" ?
- Peut on définir aussi celui des immobiles ?

J'ai comme l'impression qu'il y a un truc qui cloche dans la démarche, comme un sous-entendu, possiblement involontaire. La courbure d'une tranche spatiale, qui peut être considéré comme l'espace d'une famille d'observateur (ça c'est déjà à définir clairement), n'est pas la cause du comportement de ces observateurs. Il pourra y avoir des corrélations entre les deux éventuellement, mais c'est tout.

Il faut peut-être plus détailler ce que tu cherches à faire et pourquoi.

m@ch3

[pachacamac]

C'est quoi tau_B ?

[ordage]

Bonjour

Ce fil semble questionner un point intéressant, comment expliquer la phénoménologie de "spagettisation" (effet de marée) d'un observateur en chute libre radiale (géodésique radiale) dans un espace-temps de Schwarzschild alors que la courbure est nulle (on est dans le vide: tenseurs de Ricci et d'Einstein sont nuls et donc scalaire de Ricci nul ).

Cela ne semble pas venir de l'équation d'Einstein qui définit cet espace-temps, car c'est une équation algébrique entre tenseurs à 2 indices et on sait que cet effet de marée est décrit par le tenseur de Weyl, un tenseur à 4 indices qui n'y figure pas, du moins explicitement.

On peut montrer qu' en utilisant l'identité de Banchi, on peut déduire une équation qui fait référence au tenseur de Weyl, qui n'est pas une équation algébrique entre tenseurs, mais une équation différentielle.

Voir par exemple :

https://preposterousuniverse.com/wp-...otes-three.pdf
eq.(3.97) à (3.99) p. 82


Cordialement

[Mailou75]

Salut mach3, merci

les sections de theta et phi constant sont très probablement de courbure négative (les géodésiques radiales initialement parallèles et de même variables angulaires s'écartent les unes des autres) et à l'inverse d'autres sections doivent être de courbure positive.
De manière vulgaire et informelle, on peut dire que la courbure apparait positive dans certaines directions et négatives dans d'autres.

En fait ce que j'imagine, suite à ce que disait Yves, c'est que des particules tombant vers la masse se rapprochent (effet de marée orthoradial) et pour elles la courbure est positive, tandis que celles qui partent vers l’infini s'écartent les unes de autres en suivant les "mêmes géodésiques" que les précédentes, en sens contraire, et pour elles la courbure spatiale est négative. Par contre il n'y aurait qu'une seule courbure de l'espace temps, absolue, c'est bien ça. Désolé d'être aussi lourd mais il faut que je pose de bonnes bases, sur le sable mouvant de mes lacunes, lol.

Oui, mais un signe ne suffit pas pour définir la courbure de l'espace-temps

Certes, ce serait trop simple

On va considérer comme variété l'espace euclidien 3D. Sa courbure est nulle. Découpons le en tranches. Les tranches peuvent être plates (par exemple des plans parallèles) ou courbées (par exemple des sphères concentriques), au choix. On pourra parler de la courbure des tranches, mais on comprend que cette courbure est due au choix qu'on a fait pour découper la variété, pas à la courbure de la variété (peu importe comment on choisi de le découper, l'espace euclidien 3D est toujours plat). Cependant, les tranches plates sont des sections de l'espace euclidien, contrairement aux tranches courbes : les tranches plates sont un ensemble de géodésiques de l'espace euclidien. On a donc, en plus de la courbure nulle de l'espace euclidien 3D, 3 courbures sectionnelles nulles.

Ok, j'adopte "section" en opposition à une découpe aléatoire induisant sa propre courbure spatiale.

Passons maintenant en Minkowski 2+1. Idem courbure nulle. On peut découper en tranches plates (plans de simultanéité = espace d'un observateur galiléen) ou en tranches courbées (par exemple des hyperboloïdes dont tous les évènements sont à un intervalle de genre temps constant d'un évènement choisi comme central = espace d'observateurs s'éloignant à vitesse constante d'un point central dont ils sont tous issus lors d'un évènement unique, cas qui mime l'expansion). Idem, les premières sont des sections mais pas les secondes.

Ok, je crois que je vois exactement de quoi tu parles avec tes hyperboles (courbes le long desquelles les inertiels on tous le même âge, alors que sur les sections spatiales leur temps sera "ralenti de Y", oui bon... tu m'as compris)

J'ai besoin de faire des vérifications avant de présenter des exemples dans la géométrie de Schwarzschild ou FLRW. Par exemple je ne sais pas si les tranches d'espace de Painlevé, plates, sont des sections ou non (c'est quasi-évident pour celles de Schwarzschild, mais pour celles de Painlevé, je vais devoir faire un calcul). Idem pour les tranches de temps cosmologique constant en FLRW.

Pour Painlevé je dirais oui, à cause du "Slide", que tu connais, où on est clairement localement en RR.
En cosmo je suppose que oui puisqu'on l'appelle Espace, l'inverse ferait mal...
En Schw c'est là ce n'est pas quasi-evident pour moi, surtout en coordonnées de Schw. Enfin ça dépend... l'axe r de Schw est bien le plan qui est l'espace des immobiles mais il n'a pas sa dimension propre. Il n'a sa dimension propre que pour l'observateur à l'infini.
En fait je supposais que comme une courbure spatiale était un ensemble de géodésiques, alors elles devaient avoir "sur" cet espace courbe, si on parle de 2D, leur longueur propre. Ce n'est peut être pas une condition à remplir ? Car dans ce cas Flamm serait mieux placé.

La courbure de l'espace-temps ne dépend pas de E dans la géométrie de Schwarzschild. La courbure est fixée une fois pour toute par la définition même de cette géométrie (vide, stationnaire, symétrie sphérique, asymptotiquement plate), elle ne dépend que de la coordonnée radiale et du paramètre M (correspondant à la masse du corps central).
Dans cette géométrie, choisir E (et tau_B), c'est choisir une famille de géodésiques radiales de cette géométrie. Ce sont des géodésiques de particules tests, particules tests qui n'ont aucune influence sur la géométrie elle-même. C'est un choix "dans le vent" si on veut.

Oui ça j'ai à peu près compris. Une seule courbure pour l'espace temps et une courbure spatiale par observateur. Si on ne prend que le cas radial, il y a une infinité de vitesses de chute donc une infinité de courbures spatiales je suppose, et autant qui s'éloignent du TN. Ca va prendre peu de temps pour en faire le tour

C'est différent avec LTB, car dans LTB E caractérise les géodésiques de poussières qui, contrairement à des particules tests, modifient la géométrie. Choisir E (et tau_B) c'est choisir une géométrie particulière.

J'aimerais bien qu'on y vienne à ces coques et boules de poussière.

J'ai comme l'impression qu'il y a un truc qui cloche dans la démarche, comme un sous-entendu, possiblement involontaire. La courbure d'une tranche spatiale, qui peut être considéré comme l'espace d'une famille d'observateur (ça c'est déjà à définir clairement), n'est pas la cause du comportement de ces observateurs. Il pourra y avoir des corrélations entre les deux éventuellement, mais c'est tout.

Ah... j'avais supposé que pour une vitesse donnée on avait une courbure donnée qui était donc une géodésique est par conséquent la route que la particule, inertielle, allait emprunter. Ça aussi ce serait un point à mettre au clair, c'est pas moi qui fait des sous-entendus, c'est vous en supposant que "courbure" est un terme compréhensible par nous, pauvres lecteurs. Apparemment je me suis posée la question il y a dix ans (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4184216) et le résultat ne m'ayant pas tellement fait douter j'avoue m'être arrêté la dessus : courbure=potentiel. Faux croire que j'avais tout faut

Il faut peut-être plus détailler ce que tu cherches à faire et pourquoi

1. Représenter la courbure de l’espace temps d'un trou noir
2. Représenter la courbure spatiale de la pluie (en espérant qu'il n'y ait pas une courbure par valeur de r, mais une courbure pour toutes les gouttes)
3. De la pluie "montante"
4. D'une trajectoire avec point culminant
5. D'une trajectoire avec vitesse non nulle à l'infini
ce sera déjà pas mal...

Pourquoi ? sans doute pour la même raison que je suis ici : mourir moins con. A part ça pas d'objectif particulier

Merci,

Mailou

[ordage]

Bonjour
Quelques remarques basiques qui peuvent être utiles.

Quand on définit une métrique, on peut calculer tous les tenseurs relatifs à cette métrique, Riemann, Weyl, Ricci etc. Les composantes de ces tenseurs vont dépendre des coordonnées utilisées. Ainsi, dans la solution du corps central à symétrie sphérique, à l'extérieur du corps (dans le vide) en coordonnées de Schwarzschild et de Painlevé ces composantes seront différentes, mais les scalaires construits à partir de ces tenseurs (scalaire de Ricci, de Kretchmann, etc. voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Invari...A9n%C3%A9rale).) seront, par contre, identiques (invariants de courbure).

Le scalaire de Ricci est nul dans cette solution, mais pas le scalaire de Kretchmann, par exemple. Le rôle et but de l'équation d'Einstein est de définir la dynamique du système, en l'occurrence, les géodésiques, puisque la RG propose une solution géométrique de la gravitation.
Cordialement

[mach3]

C'est quoi tau_B ?

Dans une solution de symétrie sphérique, il faut deux paramètres pour caractériser une géodésique radiale, l'un pour indiquer comment elle se comporte (est-ce qu'elle culmine et à quelle valeur de r, est-ce qu'elle vient ou va vers l'infini et quelle est sa vitesse asymptotique), E, et l'autre pour indiquer quand elle arrive au (ou part du) centre, qu'on appelle tau_B dans le cadre de la métrique LTB (dont celle de Schwarzschild n'est qu'un cas particulier).

En fait ce que j'imagine, suite à ce que disait Yves, c'est que des particules tombant vers la masse se rapprochent (effet de marée orthoradial) et pour elles la courbure est positive, tandis que celles qui partent vers l’infini s'écartent les unes de autres en suivant les "mêmes géodésiques" que les précédentes, en sens contraire, et pour elles la courbure spatiale est négative.

Attention, deux particules qui culminent simultanément au même r sur des radiales différentes se rapprochent en allant vers le futur mais se rapprochent aussi en allant vers le passé (donc s'éloignent en allant du passé à la culmination). De même, deux particules qui culminent simultanément à un r différent mais sur les mêmes radiales s'éloignent en allant vers le futur mais s'éloignent aussi en allant vers le passé (donc se rapprochent en allant du passé à la culmination).
C'est la comparaison entre le moment où les géodésiques sont localement parallèles (ici les culminations) puis ce qui se passe avant ou après ce moment qui est caractérisé par l'une des composantes du tenseur de courbure. Sauf cas particulier dynamique avec une composante qui change de signe pile au bon moment, on a rapprochement (=éloignement si le film est passé à l'envers), puis parallèlisme, puis éloignement, ou alors on a éloignement (=rapprochement si le film est passé à l'envers), puis parallélisme puis rapprochement. On a un comportement correspondant à une courbure positive dans le premier cas et à une courbure négative dans le second cas. Et la différence est sur orthoradial/radial, pas sur le sens de parcours.

Pour Painlevé je dirais oui, à cause du "Slide", que tu connais, où on est clairement localement en RR.

Hélàs non, ça ça ne prouve rien du tout. Et après essai sur un coin de table, il ne semble pas que ces tranches plates de Painlevé soient des sections, à vérifier plus sérieusement.

En cosmo je suppose que oui puisqu'on l'appelle Espace, l'inverse ferait mal...

Après essai sur un coin de table, il ne semble pas non plus que l'espace dont on parle en cosmologie soit une section, à vérifier plus sérieusement. Mais il n'y a pas de raison que ça fasse mal. Les tranches d'espace en cosmologie sont définie d'une manière bien précise (ensemble des évènements de même temps cosmologique, orthogonal par construction avec les géodésiques des comobiles) et cette définition bien précise fait qu'il y a un lien entre la courbure des tranches et l'évolution de l'univers (courbure positive <=> expansion puis contraction, courbure nulle <=> expansion qui ralenti asymptotiquement, courbure négative, expansion infinie). C'est pour ça qu'on s'y intéresse. Mais ce n'est pas la courbure de l'espace qui est la cause de l'évolution, il y a juste une corrélation entre les deux.

En Schw c'est là ce n'est pas quasi-evident pour moi, surtout en coordonnées de Schw.

Là par contre c'est une simple question de symétrie par inversion de signe de t. Si une géodésique (de genre espace) est tangente aux tranches de t constant, alors elle est forcément intégralement incluse dans la tranche.

Oui ça j'ai à peu près compris. Une seule courbure pour l'espace temps et une courbure spatiale par observateur.

C'est même encore plus subtil que cela, étant donné que le découpage en tranche d'espace "pour un observateur" n'est pas unique. Pour être une tranche d'espace "pour un observateur", il faut juste être orthogonal à sa ligne d'univers, ce qui sera satisfait par une infinité de tranches très diverses (dont une plate!). A la rigueur tranche d'espace "pour une famille d'observateurs" est plus restrictif car on impose qu'elle soit orthogonale à toutes les lignes d'univers de la famille (par contre pour certaines familles il pourrait n'exister aucune tranche répondant à cette exigence : c'est le cas du référentiel tournant de Born). On peut aussi considérer comme tranche d'espace celle formée par les sections orthogonales à la ligne d'univers de l'observateur, celle-ci est bien unique (c'est l'ensemble de géodésiques de genre espace qui sont orthogonales à la ligne d'univers de l'observateur et l'intersectent en un même évènement).

j'avoue m'être arrêté la dessus : courbure=potentiel. Faux croire que j'avais tout faut

La courbure n'est pas le potentiel...
En classique c'est potentiel -> champ de gravitation -> laplacien du potentiel (=effet de marée) (les flèches sont des dérivations)
En RG c'est métrique -> Christofel -> courbure (=effet de marée) (les flèches sont proches de dérivations, mais plus complexes)
L'objet de la RG qui se rapproche le plus du potentiel, c'est donc la métrique, pas la courbure

Il faut peut-être plus détailler ce que tu cherches à faire et pourquoi

1. Représenter la courbure de l’espace temps d'un trou noir
2. Représenter la courbure spatiale de la pluie (en espérant qu'il n'y ait pas une courbure par valeur de r, mais une courbure pour toutes les gouttes)
3. De la pluie "montante"
4. D'une trajectoire avec point culminant
5. D'une trajectoire avec vitesse non nulle à l'infini
ce sera déjà pas mal...

1) là je ne vois pas trop ce qu'on pourrait faire en terme de représentation
2) les tranches spatiales qui sont orthogonales aux géodésiques de la pluie sont plates
3) que ce soit la pluie montante ou la pluie descendante, ce sont des tranches plates, mais pas les mêmes
4) il y aura a priori une certaine diversité pour les tranches orthogonales à des géodésiques radiales avec culmination selon comment on choisit la famille (culminations simultanées? départs ou arrivées à la singularité simultanées? tout autre situation intermédiaire arbitraire), avec en plus une possible variation dans le temps et il n'est pas exclu qu'on ne trouve pas de tranches pour certaines familles. J'ai l'intuition qu'en cas de départs ou arrivées simultanées, la courbure des tranches pourrait être positive, mais c'est à vérifier. Pour le cas de la culmination simultanée, alors la tranche spatiale au moment de la culmination est le paraboloide de Flamm, donc courbure négative au moins à ce moment là...
5) Même genre de réponse qu'en 4, avec une intuition pour une courbure négative si les départs ou les arrivées sont simultanées

Mais attention, comme déjà dit, ce n'est pas la courbure des tranches d'espace qui fait que le mouvement est avec culmination ou non, c'est juste une corrélation (les deux étant des conséquences du choix de familles de géodésiques dans l'espace-temps considéré).

m@ch3

[pachacamac]

Je vais de surprise en surprise..maintenant il pleut sur les géodésiques ou sur la courbure spatiale

Aussi en suivant la piste des tranches plates de Painlevé, je suis arrivé sur le post Exploration de la métrique LTM dans lequel vous faites ( toi et yves95210 ) 6 pages de calculs supercompliqués.

Puisqu'on est dans la rubrique questions de bases y aurait t'il moyen d'expliquer simplement ce que vous cherchez à faire dans cette exploration ?

[yves95210]

Salut,

Aussi en suivant la piste des tranches plates de Painlevé, je suis arrivé sur le post Exploration de la métrique LTM dans lequel vous faites ( toi et yves95210 ) 6 pages de calculs supercompliqués.

Puisqu'on est dans la rubrique questions de bases y aurait t'il moyen d'expliquer simplement ce que vous cherchez à faire dans cette exploration ?

Pour mach3, il s'agissait d'explorer méthodiquement toutes les solutions particulières (en commençant par celle de Schwarzchild) qu'on peut établir à partir de la métrique générique LTB, en choisissant les valeurs des trois paramètres (fonctions de r) libres de cette métrique.
En fait cela faisait suite à un fil précédent que j'avais ouverte dans la même section du forum pour discuter de l'utilisation de LTB pour modéliser la croissance d'un trou noir, dont tu peux au moins lire le premier message pour comprendre l'intérêt que j'y voyais.
C'était aussi l'époque où j'avais commencé à utiliser la métrique LTB pour essayer de modéliser l'évolution des zones de sous- et surdensité de l'univers primitif, conduisant à la formation des vides cosmiques et des grandes structures.

Mais notre longue discussion (et l'exploration systématique entreprise par mach3) en est pratiquement restée à la première étape (Schwarzchild), qui nous a entre autres permis de "redécouvrir" le système de coordonnées de Painlevé, sans même que nous commencions à aborder le sujet qui me motivait initialement. J'ai essayé à plusieurs reprises de le ramener sur le tapis (j'en avais besoin pour avancer dans mes petits travaux). Mais mach3, qui est bien plus rigoureux que moi, tenait à aller jusqu'au bout de son étude sans sauter d'étape, et la discussion a fini par rester en plan faute de disponibilité de sa part (et de mon côté j'ai lâché l'affaire parce que, seul dans mon coin, je commençais à tourner en rond dans mes calculs; je n'ai remis le nez dedans que dernièrement, à l'occasion de la discussion avec physeb2).

[mach3]

En passant, le fil ne semble plus vraiment dans le cadre de la section (questions de base et pédagogie), il commence a être long et il y a des questions posées par pachacamac qui n'est pas le primo-posteur (pour rappel normalement dans cette section, seul le primo-posteur pose des questions, pour éviter que les discussions puissent être squattées). On peut éventuellement créer un nouveau fil pour pachacamac, mais ça ne changerait rien au problème de la longueur du fil.
Un passage en section discussion libres est à envisager.

m@ch3

[pachacamac]

Merci pour vos réponses.

Pas la peine d'ouvrir pour moi un nouveau fil sur les courbures et la métrique LTB j'ai suffisamment de lecture à digérer avec vos posts sur cette question.

[pachacamac]

pour discuter de l'utilisation de LTB pour modéliser la croissance d'un trou noir,

Naif comme j'étais je pensais que la croissance d'un TN ne posait aucun problème. TN = objet gravitationnel, ce qui tombe dedans augmente sa masse et sa surface et part vers la singularité. Point final.

et que la question de Mailou

Représenter la courbure de l’espace temps d'un trou noir

C’était du domaine connu depuis longtemps.


Je crois comprendre que ce qui vous pose problème c'est que les différentes métriques utilisées ( Schwarzschild, LTB, FLWR , Painlevé etc.. ) pour d’écrire la métrique à l'extérieur du TN ne permettent pas de décrire correctement ce qui se passe quand le trou noir augmente sa masse suite à l’absorption d’éléments divers (y compris "les gouttes de pluie" ) et donc vous essayer d'aller plus loin que ces métriques qui ne seraient qu'approximatives.

C'est ça en gros où suis je complètement à côté de la plaque ?

[Deedee81]

Salut,

C'est ça en gros où suis je complètement à côté de la plaque ?

Non, pas du tout (à coté de la plaque). Tu touches là à la dynamique de croissance des TN. C'est beaucoup plus compliqué.

Ce qui est (souvent) traité dans les livres, par exemple dans le Gravitation de MTW, c'est l'effondrement gravitationnel de la "boule de poussière". On a alors une solution intérieure (Schwartzchild ou autre) et extérieure (Friedmann) et on raccorde les deux métriques. Ce n'est pas simple mais assez pour être abordable (on doit sûrement trouver ça sur le net).

Mais dans le même livre ils disent bien que dans les cas réaliste il faut une véritable équation d'état de la matière, et que les calculs deviennent ardus (et non analytiques => ordinateurs)
L'absorption de trucs tombant sur un TN n'est pas simple non plus (bien qu'il y a deux cas idéalisés : un truc assez petit pour être considéré de taille et masse négligeable, et une "boule de poussière entourant le TN", le calcul étant fort proche de l'effondrement gravitationnel)

[mach3]

et que la question de Mailou

Représenter la courbure de l’espace temps d'un trou noir

C’était du domaine connu depuis longtemps.

Calculer la courbure (ou plus exactement les composantes du tenseur de courbure et toutes autres grandeurs liées), c'est du domaine du connu depuis longtemps. Représenter la courbure, c'est autre chose. Déjà l'intérêt est plutôt visuel, donc par nature ça va plus se cantonner à la vulgarisation (même si les représentations peuvent servir de guide au théoricien, elles ne sont pas nécessaire pour lui du moment qu'il sait calculer). La représentation doit permettre certains raisonnements sans calculs, donner des intuitions, sans quoi elle n'est guère utile.
Rien qu'en considérant les surfaces Riemannienne, ça peut être compliqué : il y a un sous-ensemble plongeable en 3D (qui compte par exemple la sphère ou le tore "classique", un donut quoi), pas de souci pour ceux-là, mais le reste n'est plongeable qu'en 4D (par exemple le tore plat, ou la bouteille de Klein)... Et quand c'est Lorentzien, c'est pire, parce que même le cas plat 1+1D (le diagramme de Minkowski tout simple) n'est pas une représentation fidèle (les longueurs des segments du schéma ne sont pas fidèles aux intervalles qu'ils représentent), du coup faire 1+1D non plat (si plongeable) ne serait peut-être même pas évident à exploiter

Je crois comprendre que ce qui vous pose problème c'est que les différentes métriques utilisées ( Schwarzschild, LTB, FLWR , Painlevé etc.. ) pour d’écrire la métrique à l'extérieur du TN ne permettent pas de décrire correctement ce qui se passe quand le trou noir augmente sa masse suite à l’absorption d’éléments divers (y compris "les gouttes de pluie" ) et donc vous essayer d'aller plus loin que ces métriques qui ne seraient qu'approximatives.

C'est ça en gros où suis je complètement à côté de la plaque ?

il y a de ça, mais c'est un peu mélangé.

Les géométries classiques qui décrivent les trous noirs (sans rotation ni charge : Schwarzschild, avec rotation sans charge : Kerr, sans rotation avec charge : Reisner-Nordström, avec rotation et charge : Kerr-Newman) sont stationnaires. Elles considèrent que la "masse" "centrale" M (et oui, guillemets à la fois à masse et à centrale... voir dans les notes en bas) est constante (et le moment de rotation et la charge électrique aussi le cas échéant). Elles considèrent aussi que l'espace est totalement vide (pas de matière, pas de rayonnement non plus). Ce sont des situations totalement hypothétiques où le trou noir n'a aucune origine (il est là depuis toujours et existe pour toujours vu de l'extérieur).
On peut les utiliser pour réfléchir sur le mouvement de particules tests (d'énergie négligeable et qui ne vont pas modifier la géométrie), retrouver les orbites de Newton, prédire l'avance de périhélie, la courbure des rayons lumineux et quelques autres choses, mais à part ça c'est vite limité.
Un vrai trou noir (astrophysique) n'est pas stationnaire, d'abord parce que, à part peut-être les trous noirs primordiaux, ils ont une origine, avant il y avait un astre et il s'est effondré en trou noir. Ensuite parce que des choses tombent dans le trou noir en continu (ne serait-ce que le rayonnement de fond cosmologique) et que donc son paramètre M doit évoluer.
Pour l'origine, il existe des bricolages, les métriques d'effondrement, où une partie de l'espace-temps possède la géométrie de Schwarzschild et est racommodé à une autre partie, qui concerne l'intérieur d'un astre qui s'effondre (par exemple ceci : https://astrobites.org/2021/04/09/fr...yder-collapse/ )
Pour la croissance, il faut vraiment aller au-delà des géométries classiques. Il existe pas mal de choses, par exemple la métrique de Vaidya https://en.wikipedia.org/wiki/Vaidya_metric pour le rayonnement, et la métrique LTB pour les poussières. Mais c'est choses là sont plus difficiles pour les amateurs que nous sommes (il y a déjà beaucoup de travail pour comprendre les géométries classiques, sans croissance). D'où les différents fils sur le sujet.

Sinon, pour info et pour éviter d'éventuelles confusions :
-"Schwarzschild", ça peut référer soit à la géométrie de l'espace-temps correspondant à un trou noir stationnaire non chargé, sans rotation et dans le vide, mais ça peut aussi référer au système de coordonnées de Schwarzschild utilisé dans la géométrie du même nom
-"LTB", ça se réfère à un ensemble de géométries de symétrie sphérique et contenant uniquement des poussières. Dans certaines d'entres-elles on peut avoir formation et croissance d'un trou noir en leur centre.
-"FLRW", ça se réfère à des géométries d'espace-temps homogènes et isotropes. Il y a une intersection non-nulle entre FLRW et LTB, les espaces-temps homogènes et isotropes ne contenant que de la poussière (pas de rayonnement ni de fluide).
-"Painlevé", c'est un système de coordonnées que l'on peut utiliser en géométrie de Schwarzschild

Bon par contre avec tout ça, on fait vraiment du hors-sujet dans le fil de Mailou...

m@ch3


note 1 : le paramètre M, qui correspond à la masse du trou noir, ne correspond à aucune matière car ces solutions sont entièrement vides (même au "centre", voir plus bas). La correspondance de ce paramètre avec une masse vient du fait que les orbites lointaines vont être très bien approximées par les orbites newtonniennes autour d'un astre de masse M.
note 2 : parler de centre pour un trou noir, comme on le ferait pour le centre de tout autre astre est problématique. Par centre on entend normalement un "lieu", un endroit où on peut se tenir immobile durant un certain temps et qui serait à égale distance de la surface d'une chose dont on serait au centre. La singularité centrale d'un trou noir n'est pas un endroit où on peut se tenir immobile et il est difficile de parler de sa distance à la surface du trou noir étant donné que l'horizon non plus n'est pas un endroit où on peut se tenir immobile...

[Mailou75]

Salut mach3,

Tu m'excuseras, procrastination c'est mon deuxième prénom...

Attention, deux particules qui culminent simultanément au même r sur des radiales différentes se rapprochent en allant vers le futur mais se rapprochent aussi en allant vers le passé (donc s'éloignent en allant du passé à la culmination). De même, deux particules qui culminent simultanément à un r différent mais sur les mêmes radiales s'éloignent en allant vers le futur mais s'éloignent aussi en allant vers le passé (donc se rapprochent en allant du passé à la culmination).

Ok pour ça.

On a un comportement correspondant à une courbure positive dans le premier cas et à une courbure négative dans le second cas. Et la différence est sur orthoradial/radial, pas sur le sens de parcours.

Là je comprends moins. Le sens du parcours va bien nous dire si les particules test s'éloignent ou se rapprochent et donc si la courbure (de l'espace ?) est positive ou négative ? Tu sembles dire que l'un des exemples et positif et l'autre négatif indépendement du "sens de lecture" de la géodésique

Hélàs non, ça ça ne prouve rien du tout. Et après essai sur un coin de table, il ne semble pas que ces tranches plates de Painlevé soient des sections, à vérifier plus sérieusement.

Je serai assez étonné mais j'attends ta conclusion.

Après essai sur un coin de table, il ne semble pas non plus que l'espace dont on parle en cosmologie soit une section, à vérifier plus sérieusement.

Pareil

Là par contre c'est une simple question de symétrie par inversion de signe de t. Si une géodésique (de genre espace) est tangente aux tranches de t constant, alors elle est forcément intégralement incluse dans la tranche.

Pas compris mais pas grave, je ne veux pas m'égarer...

C'est même encore plus subtil que cela, étant donné que le découpage en tranche d'espace "pour un observateur" n'est pas unique. Pour être une tranche d'espace "pour un observateur", il faut juste être orthogonal à sa ligne d'univers, ce qui sera satisfait par une infinité de tranches très diverses (dont une plate!).

Par "plate" dois-je comprendre qu'il s'agit d'un espace synchronisé ? Sur lequel personne n'a d'écoulement de temps propre identique car on est en RG. Exemple les immobiles et l'espace "r" de Schw ?

On peut aussi considérer comme tranche d'espace celle formée par les sections orthogonales à la ligne d'univers de l'observateur, celle-ci est bien unique (c'est l'ensemble de géodésiques de genre espace qui sont orthogonales à la ligne d'univers de l'observateur et l'intersectent en un même évènement).

On peut s'en faire une comme ça pour commencer ? Comme déjà dit, sans un résultat graphique pour avancer ce sera le statut quo de la compréhension, restant quasi nulle...

La courbure n'est pas le potentiel...

Alors pourquoi ça marche aussi bien ? Et pourquoi phys4, qui n'est pas tombé de la dernière pluie, semble d'accord sur ce point ?

1) là je ne vois pas trop ce qu'on pourrait faire en terme de représentation

Ben merde alors... tout le monde parle de courbure de l'espace temps à tort et à travers mais personne ne sait à quoi ça ressemble ?

2) les tranches spatiales qui sont orthogonales aux géodésiques de la pluie sont plates

C'est donc l'axe des r de Painlevé ?

3) que ce soit la pluie montante ou la pluie descendante, ce sont des tranches plates, mais pas les mêmes

C'est à dire ? Ne peut-t-on pas, par inversion temporelle, supposer que les cycloïdes de Newton+/Painlevé sont des particules sortant du trou blanc ?

4) il y aura a priori une certaine diversité pour les tranches orthogonales à des géodésiques radiales avec culmination selon comment on choisit la famille (culminations simultanées? départs ou arrivées à la singularité simultanées?

Tu parles de deux particules, pourquoi ? La courbure ne vaut-elle pas pour une seule particule ?

J'ai l'intuition qu'en cas de départs ou arrivées simultanées, la courbure des tranches pourrait être positive, mais c'est à vérifier.

Verifions stp car j'ai peur que le cas "plat" de la puie ne soit pas si éclairant que ça...

Pour le cas de la culmination simultanée, alors la tranche spatiale au moment de la culmination est le paraboloide de Flamm, donc courbure négative au moins à ce moment là...

Ah enfin du concret. Au moment de la culmination les particules sont assimilables à des immobiles de Schw. La parabole de Flamm serait donc l'espace des immobiles ? (c'est assez cohérent avec ce qui a déjà été dit sur les perpendicularités (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6984014)

5) Même genre de réponse qu'en 4, avec une intuition pour une courbure négative si les départs ou les arrivées sont simultanées

Tu parles de trajectoires sur une même radiale ou sur des radiales différentes ?

Mais attention, comme déjà dit, ce n'est pas la courbure des tranches d'espace qui fait que le mouvement est avec culmination ou non, c'est juste une corrélation (les deux étant des conséquences du choix de familles de géodésiques dans l'espace-temps considéré).

Oui oui. Une seule courbure pour l'espace temps et une infinité de façon de le découper en fonction de E. J'ai compris le fond mais pas encore la forme

Merci pour ton aide

Mailou

[mach3]

Là je comprends moins. Le sens du parcours va bien nous dire si les particules test s'éloignent ou se rapprochent et donc si la courbure (de l'espace ?) est positive ou négative ? Tu sembles dire que l'un des exemples et positif et l'autre négatif indépendement du "sens de lecture" de la géodésique

C'est symétrique de part et d'autre du "moment" où les géodésiques sont parallèles. Sur une sphère, deux méridiens sont parallèles entre eux au niveau de l'équateur et ils se rapprochent l'un de l'autre si on va vers le nord mais aussi si on va vers le sud. On a le même comportement pour deux géodésiques radiales culminant en même temps au même rayon aréal : elles sont parallèles à la culmination et se rapprochent l'une de l'autre si on va vers le futur mais aussi si on va vers le passé (et donc en passant le film dans le bon sens, les particules concernées s'éloignent l'une de l'autre de moins en moins vite pendant qu'elles montent, sont immobiles l'une par rapport à l'autre à la culmination, puis se rapprochent de plus en plus vite pendant qu'elles descendent). La comportement est similaire à une courbure positive. Dans le cas où la culmination est à un rayon aréal différent mais sur la même radiale, le comportement est similaire à une courbure négative (les deux particules s'approchent de moins en moins vite pendant qu'elles montent, sont immobiles l'une par rapport à l'autre à la culmination, puis s'éloignent de plus en plus vite pendant qu'elles descendent).

La suite plus tard

m@ch3

[mach3]

Concernant les tranches de coordonnées temporelle tr de Painlevé constante, on peut étudier les géodésiques de l'espace-temps qu'elles contiennent.

L'équation des géodésiques en tr est :
(avec et allant de 0 à 3, , ,,, le point dénote une dérivée par rapport au paramètre affin de la géodésique)
Ce sont des géodésiques le long desquelles la coordonnée temporelle ne varie pas, donc avec , et , il reste donc :
(avec et allant de 1 à 3, ,,)
Les coefficients de Cristofell non nuls concernés sont :


(merci catalog of spacetimes : https://arxiv.org/pdf/0904.4184.pdf )
On a donc pour l'équation des géodésiques en tr :

Qu'on peut réécrire :

Or pour une géodésique de genre espace, on doit avoir :

En particulier, comme :


On peut remettre cela dans l'équation des géodésiques en tr qui devient alors :




L'équation des géodésiques en r (compte tenu de ) est :
(avec et allant de 1 à 3, ,,)
On vient de montrer que est constant, donc . Il reste donc :

Les coefficients de Cristofell non nuls concernés sont :


(merci encore catalog of spacetimes : https://arxiv.org/pdf/0904.4184.pdf )
On a donc pour l'équation des géodésiques en r :

Qu'on peut réécrire :





Or on sait que , donc pour une géodésique de tr constant, on doit avoir impérativement , ce qui n'est possible que pour r=0. Sans même prendre en compte le côté problématique de r=0 (singularité), r doit à la fois être constant (r=0) et variable () le long de la géodésique, ce qui est inconsistant.

Sauf erreur, il n'y a donc aucune géodésique de l'espace-temps qui soit contenue dans une tranche de tr constant. C'est suffisant pour affirmer qu'une telle tranche n'est pas une section.

m@ch3

[mach3]

concernant les tranches de temps cosmologique constant chez FLRW, ça va encore plus vite. On considère la forme suivante :



On démarre pareil :

L'équation des géodésiques en t est :
(avec et allant de 0 à 3, , ,,, le point dénote une dérivée par rapport au paramètre affin de la géodésique)
Ce sont des géodésiques le long desquelles la coordonnée temporelle ne varie pas, donc avec , et , il reste donc :
(avec et allant de 1 à 3, ,,)
Les coefficients de Cristofell non nuls concernés sont :


(merci catalog of spacetimes : https://arxiv.org/pdf/0904.4184.pdf )
Du coup ça donne :

Et donc soit
et/ou

Or pour une ligne de genre espace on doit avoir :

et plus spécifiquement si :

On ne peut donc pas avoir sur une géodésique de genre espace et de temps cosmologique constant.
Ne reste que comme option, donc soit le facteur d'échelle vaut 0 (big bang ou big crunch), soit le facteur d'échelle ne varie pas (fin de l'expansion et début de la contraction d'un univers fermé).

Donc les tranches de temps cosmologique constant ne sont pas des sections non plus vu qu'elles ne contiennent pas de géodésiques de l'espace-temps (sauf la tranche correspondant à la fin de l'expansion et au début de la contraction d'un univers fermé).

m@ch3

[yves95210]

Salut mach3,

Sur le même sujet, voici une discussion qui t'intéressera peut-être.

Ainsi que cette publication...

[Mailou75]

Salut et merci pour le taf !

C'est symétrique de part et d'autre du "moment" où les géodésiques sont parallèles. Sur une sphère, deux méridiens sont parallèles entre eux au niveau de l'équateur et ils se rapprochent l'un de l'autre si on va vers le nord mais aussi si on va vers le sud

Ok, jusqu'ici c'est assez naturel.

On a le même comportement pour deux géodésiques radiales culminant en même temps au même rayon aréal : elles sont parallèles à la culmination et se rapprochent l'une de l'autre si on va vers le futur mais aussi si on va vers le passé (et donc en passant le film dans le bon sens, les particules concernées s'éloignent l'une de l'autre de moins en moins vite pendant qu'elles montent, sont immobiles l'une par rapport à l'autre à la culmination, puis se rapprochent de plus en plus vite pendant qu'elles descendent). Le comportement est similaire à une courbure positive

Ben tant qu'on continue à se représenter les deux grands cercles sécants ça roule. La question c'est pourquoi ?

Surtout que là tu es en train de parler d'une surface SUR laquelle sont inscrites les géodésiques. Alors que dans tes calculs tu cherches la forme de la surface PERPENDICULAIRE aux géodésiques de chute. Si la seconde correspond plus à l'image que j'attendais du genre "cuvette" je me dis que la première serait plus intéressante car présentant un lien avec les trajectoires.

Je comprend mieux pourquoi tu dis que la "coubure 3D" n'expliquera pas les trajectoires, il s'agit du second cas, ton calcul ?

Dans le cas où la culmination est à un rayon aréal différent mais sur la même radiale, le comportement est similaire à une courbure négative (les deux particules s'approchent de moins en moins vite pendant qu'elles montent, sont immobiles l'une par rapport à l'autre à la culmination, puis s'éloignent de plus en plus vite pendant qu'elles descendent).

Ca c'est moins facile à imaginer en 3D déjà... Et du coup, si on prend une seule particule avec culmination, elle aura : une relation "positive" avec une particule au même r sur une autre radiale, et une relation "négative" avec une particule avec culmination à R>r par exemple. La courbure spatio-temporelle dont il est ici question (puisque ce n'est pas que de l'espace) serait donc valable : entre deux particules et différente pour chaque particule. Il n'y aurait pas de courbure pour une particule unique ?

Ou alors... il n'y a pas une seule courbure spatio-temporelle comme tu le disais. Ou... il s'agit de coubure spatiale mais j'ai un gros doute. Ou... la courbure dont tu parles dans ces exemple est hors sujet car ce n'est ni une courbure spatiale (liée à un observateur) ni une courbure spatio-temporelle puisque celle-ci est réputée unique.

Plus ça va, moins ça va (sophisme pessimiste)

..........

Pour le reste je vais te croire sur parole. J’hallucine sur la confiance qu'il faut avoir en soi pour avancer dans ce genre de calcul, respect !

Si j'ai bien compris tu as pris l'ensemble des droites définies par tr=cste pour démontrer que ce ne sont pas des géodésiques ? Rien que le sujet me met le doute : finalement, ces tranches spatiales qui ne comportent, par définition, aucune géodésique de genre temps sont elles vraiment intéressantes ?

Suite à tes calculs il nous reste quoi ? Flamm qui est l'espace des immobiles ? Peut on quand même essayer de tracer l'espace de la pluie, pour voir à quoi il ressemble, et dire ne pas avoir fait tout ça pour rien ?

Et j'essayerai bien de trouver la coubure spatio-temporelle unique autour du TN. Puisqu'il n'y en aurait qu'une autant la faire non ?

Pour finir, je suis MDR que les tranches à t cst de FLRW ne soient pas de l'Espace. Mais alors MDRR...

A plus, encore merci

Mailou

[yves95210]

Salut,

Pour finir, je suis MDR que les tranches à t cst de FLRW ne soient pas de l'Espace. Mais alors MDRR...

Mais c'est quoi l'Espace (avec un grand 'E'), pour toi ?

Et en quoi un découpage en hypersurfaces spatiales de l'espace-temps basé sur les géodésiques de genre espace coïncidant spatialement à l'instant t (du temps propre de l'observateur) avec la ligne d'univers d'un observateur particulier et orthogonales à cette ligne d'univers serait plus pertinent qu'un découpage basé sur l'orthogonalité de ces hypersurfaces avec les lignes d'univers de l'ensemble des observateurs comobiles à l'instant t commun à tous ces observateurs (dans le cas particulier de la métrique FLRW) ?

Dans un cas comme dans l'autre, les hypersurfaces ainsi définies ne sont que des concepts mathématiques, éventuellement utiles pour faire certains calculs, mais ne correspondent concrètement à rien de physique (contrairement aux géodésiques de genre temps ou lumière).
Ou alors il faut que tu m'expliques "à quoi servent les géodésiques de genre espace ?" (vieille discussion que j'ai retrouvée par hasard parmi les premiers liens remontés par google sur le sujet, et dans laquelle tu pourras lire avec attention les interventions de "invité576543" et de Rincevent). Ou que tu m'expliques comment on fait pour se déplacer en suivant une géodésique de genre espace, ou effectuer une mesure de distance le long de cette géodésique...

Au moins (dans un univers idéal qui serait bien décrit par la métrique FLRW) le second découpage présente l'avantage de permettre une définition des hypersurfaces spatiales indépendante de l'observateur, puisque tout observateur observant un CMB isotrope avec le même redshift z "appartient spatialement" à la même hypersurface ainsi définie.

[pachacamac]

Mdr=?? Mdrr=??

d et r devraient être en majuscule mais c'est converti automatiquement en minuscule.....

[Mailou75]

Mdr=?? Mdrr=??

MDR = mort de rire
Et quand je mets plusieurs R c'est que c'était très drôle

[Mailou75]

Salut Yves,

Mais c'est quoi l'Espace (avec un grand 'E'), pour toi ?

Rien justement c'est ça qui est drôle ! Je vois que tu as relevé la majuscule

Pour moi l'espace (petit e) c'est juste un plan virtuel orthogonal à une ligne d'univers, qui ne sera donc valable que pour un observateur.

L'Espace avec un grand E est celui de la cosmo, auquel on attribue des variations (Expansion, Inflation) et des "pouvoirs" (comme étirer les longueur d'onde des photons). Il y a à ma conaissance au moins trois systèmes de coordonnées valables pour FLRW, et on en a choisi un comme étant "physique" : celui où l'espace et le temps sont réguliers et correspondant à aujourd'hui. J'ai déjà dit tout le bien que je pensais d'Alan Guth et ça m'a valu 6 mois d'expulsion, je ne réitérerai pas...

Si on est capable de "choisir" pour FLRW pourquoi ne le peut-on pas pour les trous noirs ? Chaque système de coordonnée est aussi faux que juste, et pour moi c'est pareil en cosmo.

Et en quoi un découpage en hypersurfaces spatiales de l'espace-temps basé sur les géodésiques de genre espace coïncidant spatialement à l'instant t (du temps propre de l'observateur) avec la ligne d'univers d'un observateur particulier et orthogonales à cette ligne d'univers serait plus pertinent qu'un découpage basé sur l'orthogonalité de ces hypersurfaces avec les lignes d'univers de l'ensemble des observateurs comobiles à l'instant t commun à tous ces observateurs (dans le cas particulier de la métrique FLRW) ?

J'ai relu plusieurs fois cette phrase et je ne saisi pas la nuance. J'ai l'impression que tes deux exemples définissent la même chose, l'espace orthogonal à toutes les lignes d'univers des observateurs comobiles. Et je suis amusé par le calcul de mach3 qui conclue que cette section n'est pas de l'espace. De là à lui mettre un grand E il y a de quoi se marrer, dsl.

Ou que tu m'expliques comment on fait pour se déplacer en suivant une géodésique de genre espace

On ne le peut pas, sauf a avoir un déplacement instantané (qui ne sera pas une géodésique de genre temps)

ou effectuer une mesure de distance le long de cette géodésique...

Il suffit de poser des règles locales bout à bout. En RG il est possible qu'à distance leur longueur apparente ne sois pas fidèle à une perspective en espace plat.

[Tom200]

Pour moi l'espace (petit e) c'est juste un plan virtuel orthogonal à une ligne d'univers, qui ne sera donc valable que pour un observateur.

Ton corps est donc dans un plan virtuel orthogonal à ta ligne d'univers ?

[Mailou75]

Si j’étais une feuille de papier oui.
En 4D on a 4 vecteurs orthogonaux entre eux, le vecteur temps est orthogonal à chaque vecteur d’espace et les trois vecteurs d’espace sont orthogonaux entre eux comme dans un repère 3D.