Courbure 4D et courbure(s) 3D : signification et représentation

[mach3]

Elles existent... pourquoi pas, mais que décrivent-elles de physique ? Personne ne les parcourt puisqu'il manque la dimension du temps. Elle ne sont pas le reflet des longueurs propres, ni le "plan" sur lequel on projette le cône passé pour fabriquer une image, elle ne sont pas les "t constant" d'une famille d'observateurs, que sont elles en fait ?

Ce sont des lignes qui extrêmalisent la distance entre deux évènements. C'est un peu plus subtil que les géodésiques de genre temps qui maximisent la durée entre deux évènements, ou que les géodésiques d'une variété riemannienne qui minimisent la distance entre deux points, car l'extremum est de type "point selle".
Commençons par le cas d'une géodésique d'une variété riemannienne qui relie deux points. Choisissont un point sur la géodésique et déformons la très légèrement en bougeant un peu ce point : quelque soit la direction dans laquelle on a bougé le point, la courbe obtenue est plus longue que la géodésique de départ.
Dans le cas d'une géodésique de genre temps de l'espace-temps, si on fait la même chose, la courbe obtenue est plus courte (en durée) que la géodésique de départ.
Dans le cas d'une géodésique de genre espace de l'espace-temps, si on bouge un peu un point dans une direction de genre espace, on obtient une courbe plus longue que la géodésique, et si on bouge un peu ce même point dans une direction de genre temps, on obtient une courbe un peu plus courte que la géodésique.
Bon ça c'est pour le côté maths.
Pour le côté physique, j'essaie de me creuser la tête en utilisant des arpenteurs, mais je n'ai pour l'instant rien d'assez mûr à proposer. J'en reparlerais dans le fil dont c'est le sujet si j'arrive à quelque chose de plus abouti.

C'est quoi "plonger dans un Minkowski" ? Il y a bien tout un tas de petits Minko dans un Schwarzschild, bien que déformés, mais l'inverse je ne vois pas...

Quand on représente une variété riemannienne à deux dimensions, c'est à dire une surface courbe, comme une sphère, un tore, un paraboloide, on effectue, quand c'est possible, son plongement dans l'espace 3D euclidien.
Si on veut faire la même chose avec une variété lorentzienne, il faut faire le plongement dans un espace-temps de Minkowski, question de compatibilité (il faut que le genre d'un vecteur soit le même dans la variété et dans le plongement).

Je n'en ai jamais espéré grand chose je t'avoue... par contre j'attendais plus de ce fil. Je ne sais pas ce que j'attendais... bien sur que la première approche va traiter la coupe spatiale, avec les subtilités qu'on a vu, mais pour en tirer quoi... pas grand chose sur les trajectoires.

C'est peut-être pour cela qu'au final dans les bouquins, on trouve surtout des cartes avec des cônes de lumière en guise d'indicatrice de Tissot et pas des dessins de surfaces courbes. Mis à part quelque cas particuliers comme de Sitter et anti-de Sitter on ne peut pas faire de plongement. A la rigueur il reste les bricolages du genre Epstein, mais le risque de mauvaise interprétation est important, et c'est limité aux espace-temps statiques.

m@ch3
-----

[Mailou75]

Salut à tous les deux,

Elles participent à la description de la structure de l'espace-temps, ce qui permet de mieux la comprendre . Par exemple dans les coordonnées de Kruskal elles décrivent, entre autres, la structure du "pont de Rosen-Einstein (trou de ver) " reliant l'espace et l'anti -espace.

Je ne vois pas le lien avec Kruskal, car ligne horizontale qui passe par le centre chez Kruskal représente l'espace de l'observateur à l'infini (à t0) et de ses congénères (qui, puisqu'ils partagent le même espace, doivent pouvoir être qualifiés de comobiles). Il s'agit d'espace au sens où, perso, je préfère attribuer le terme, celui de la surface perpendiculaire localement à toute une famille (de comobiles). Donc pour défendre les géodésique de type espace, je trouve l'exemple inadapté ? Note : Je fais le malin mais faut pas se fier aux apparences...

Je suis intrigué par ta description de la région III, anti-espace ?? C'est vrai que dans le temps T de Kruskal cette zone fonctionne à l'envers, mais tu pourrais nous en dire plus sur les sous-entendus que comporte cette appellation ?

Comme ds² est un invariant, il ne dépend pas des coordonnées, on lui attribue un caractère physique

Alors ça c'est le meilleur argument que j'aie lu jusqu'ici !
Effectivement si le temps propre est un absolu quel que soit sa représentation alors "l'espace propre" doit aussi en être un. Merci pour sa défense.
Toutefois, on peut objecter que cet espace n'est "propre" pour personne...

..........

Choisissont un point sur la géodésique et déformons la très légèrement en bougeant un peu ce point : quelque soit la direction dans laquelle on a bougé le point, la courbe obtenue est plus longue que la géodésique de départ.

Ok ça c'est facile. Je tend un fil sur un ballon et, quelle que soit la direction dans laquelle je le pousse (sans quitter l'espace 2D de la sphère), il s’allongera.

Dans le cas d'une géodésique de genre temps de l'espace-temps, si on fait la même chose, la courbe obtenue est plus courte (en durée) que la géodésique de départ.

Oui ok. Je ne vois pas trop ce que ça peut donner en RG mais j'ai la notion qu'une géodésique (chemin de l'inertiel) est la plus longue, en temps, entre deux évènements de l'espace temps. De fait, tout détour entre ces deux points (avec accélération propre non nulle) raccourcira la durée du "voyage".

Dans le cas d'une géodésique de genre espace de l'espace-temps, si on bouge un peu un point dans une direction de genre espace, on obtient une courbe plus longue que la géodésique, et si on bouge un peu ce même point dans une direction de genre temps, on obtient une courbe un peu plus courte que la géodésique.

Mwai... on peut voir ça comme la combinaison des deux cas précédents, mais pour l'image ça ne marche pas bien... Si je prend ma géodésique de type espace "pur" entre deux points pas top espacés, on peut dire qu'elle passe par deux points ayant la même date. Prendre un point au centre de ce segment et tenter de le dévier dans le sens du temps décrira un voyage dans le passé, humm. De plus, on connaît l'unité de mesure absolue d'une géodésique de genre temps, c'est la seconde, mais pour une géodésique d'espace "pur" (perpendiculaire à la première localement), à quelle unité fais tu allusion quand tu dis "un peu plus courte" puisque cette surface n'est pas de l'espace ?...

Pour le côté physique, j'essaie de me creuser la tête en utilisant des arpenteurs, mais je n'ai pour l'instant rien d'assez mûr à proposer. J'en reparlerais dans le fil dont c'est le sujet si j'arrive à quelque chose de plus abouti.

Arpente cher ami, arpente, et n'hésite pas à creuser

Si on veut faire la même chose avec une variété lorentzienne, il faut faire le plongement dans un espace-temps de Minkowski, question de compatibilité (il faut que le genre d'un vecteur soit le même dans la variété et dans le plongement).

Ça sent fort le mal de crâne ton histoire, je passe...

A+ et bonne année à tous

Mailou