Bonne représentation d'une courbure en 4D ?

[QuantumVacuua]

Bonsoir,

Simple question. Est-ce que la représentation de la courbure de l'espace-temps par ce type ici https://youtu.be/7hXdlNZJ_BY est finalement la bonne ? J'imagine que non sinon ça se saurait.

Mais on dit souvent que c'est impossible de se représenter cette courbure sachant qu'on est limité par nos 3D d'espace. Mais justement pour faire intervenir le temps il se contente de dérouler son animation de géodésiques tombantes, en continue. En plus ça rend encore plus "naturel" le fait que les objets tombent suivant la déformation gravitationnelle puisque les géodésiques tombent elles mêmes naturellement vers l'objet massif.

Finalement, quel est le point faible de cette représentation ? Qu'est ce qui fait que ça n'est "que" de la vulgarisation ?
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[mach3]

C'est une des meilleures représentations du phénomène, car elle prend en compte le temps contrairement à d'autres représentations (toile tendue...) qui sont à la limite de l'arnaque intellectuelle.

Bien sûr elle n'est ni parfaite ni complète.
Il y a de l'arbitraire : on s'intéresse à des portions d'une famille de géodesiques entre deux hypersurfaces de genre espace. Néanmoins, l'arbitraire est une obligation quand on représente quelque chose.
Il y a des manques, on ne pourra vraisemblablement pas reconstituer les geodesiques non représentées à partir de la famille représentée. Cela revient à ne donner que certains composants du tenseur de Riemann tout en laissant les autres comme devinettes.
Il faudrait plusieurs représentations de ce type, complémentaires dans les familles de geodesiques représentées, pour que soit plus complet (mais ça deviendrait vite compliqué...).

Un point négatif est que cette représentation peut donner l'impression que les astres "aspirent" l'espace autour d'eux. C'est un artefact dû au choix arbitraires effectués. Le choix d'une famille de geodesiques différente entre deux hypersurfaces différentes pourrait donner une impression bien différente.

m@ch3

[Pascualo]

Bonsoir,

10:56 : "et c'est de cette façon que la Lune orbite autour de la Terre et que la Terre orbite autour du soleil".

Je ne vois pas comment il peut expliquer cette orbite par sa démonstration. Il ne parle pas de la vitesse de rotation qui est l'élément principal définissant l'orbitation. Sans vitesse, les satellites tomberaient.
Il n'explique pas non plus, qu'après le passage de la Terre dans l'espace, un lieu donné à un moment donné, si l'espace-temps se décontracte ?

Nous n'avons pas de représentation satisfaisante aujourd'hui. Nous sommes limités par notre représentation spatiale isolée du temps.

[QuantumVacuua]

Ah donc elle n'est pas parfaite me voilà rassuré ! (La perspective qu'un youtuber isolé ait trouvé une représentation parfaire à laquelle les physiciens n'auraient jamais pensés en 100 ans m'effrayait un peu)

Mais du coup je ne comprends pas la justification (à mon niveau de début M1 j'ai pas encore fait la RG). C'est quoi ces éléments du tenseur qu'il manque. C'est quoi cette "famille de géodésiques" pas prise en compte ? Les géodésiques c'est pas les lignes plongeantes là ? Il en manque ? Je comprends pas trop.

[A voir en vidéo sur Futura]

[QuantumVacuua]

Ah je vois donc il n'a pas pris en compte la vitesse non plus. C'est vrai maintenant que tu le dis. On dirait que tomber dans l'objet est la fin inexorable de tout objet mais du coup comment les trucs orbitent...

[jacknicklaus]

Je ne vois pas comment il peut expliquer cette orbite par sa démonstration. Il ne parle pas de la vitesse de rotation qui est l'élément principal définissant l'orbitation.

Cette vidéo ne prétends pas remplacer un manuel de RG, mais seulement donner une intuition visuelle de la courbure de l'espace-temps. Et celà, c'est plutôt bien fait.

[Pio2001]

Ah je vois donc il n'a pas pris en compte la vitesse non plus. C'est vrai maintenant que tu le dis. On dirait que tomber dans l'objet est la fin inexorable de tout objet mais du coup comment les trucs orbitent...

En ce qui me concerne, je trouve que dans son exemple, le raisonnement est le même que chez Newton : la force centrifuge équilibre le mouvement vers le centre. Donc l'objet de tombe pas.
Et en parallèle, cela explique tout de même la différence avec Newton : ce n'est pas un champ de force fixe. Le mouvement de chute vient d'une courbure dans un espace 4D.

[mach3]

Mais du coup je ne comprends pas la justification (à mon niveau de début M1 j'ai pas encore fait la RG). C'est quoi ces éléments du tenseur qu'il manque. C'est quoi cette "famille de géodésiques" pas prise en compte ? Les géodésiques c'est pas les lignes plongeantes là ? Il en manque ? Je comprends pas trop.

Je vais entrer un peu dans les détails. L'espace-temps est un ensemble d'évènements qu'on peut étiqueter arbitrairement par des quadruplets, leurs coordonnées. Les systèmes de coordonnées ont beau être arbitraires, il y en a des plus intéressants que d'autres, notamment ceux ou l'un des composants du quadruplet peut servir de datation (si les trois autres composantes demeurent constantes, augmenter cette composante signifie avancer dans le temps) alors que les trois autres peuvent servir de localisation : c'est en effet ainsi que l'on se représente le monde, un ensemble des lieux (encodés par trois coordonnées spatiales) qui évolue avec le temps qui passe (encodé par la coordonnée temporelle). C'est encore mieux quand la coordonnée temporelle colle avec les indications des horloges et quand les coordonnées d'espace permettent de faire de la géométrie euclidienne (pythagore, tout ça), mais c'est malheureusement difficile d'obtenir tout cela en relativité (un peu pour la restreinte, mais énormément pour la générale), ce qui contraste avec la physique classique dans lequel un tel type de système de coordonnée semble automatique, évident, voire même le seul type concevable.

Dans la représentation dont il est question, on visualise un ensemble de lieux (en 3D, donc 3 coordonnées d'espace) à une date donnée (coordonnée de temps). Un ensemble de lieu (un espace à 3 dimensions) est une famille de lignes (1 dimension) de l'espace-temps (4 dimensions), telles que le temps augmente quand on les parcourt et qu'elles gardent toujours les même voisines, un genre de fagot ou de faisceau (les lieux sont considérés comme immobiles les uns par rapport aux autres, ou, plus généralement, comobiles). Une date donnée est une hypersurface (3 dimensions) de l'espace-temps qui va couper le fagot, donnant un point d'intersection (un évènement) pour chaque ligne (lieux) coupé. L'hypersurface est choisie arbitrairement, et en faisant ce choix, on choisi sa géométrie (elle n'est pas forcément euclidienne et en général elle peut de toutes façon difficilement être euclidienne partout). Pire, la représentation de l'hypersurface (la visualisation des lieux en 3D) contient de l'arbitraire : si dans la représentation, deux segments semblent faire la même longueur, il est tout à fait possible que dans l'hypersurface il s'agisse d'une longueur différente. Dans l'exemple de la vidéo, il ne semble pas que ce soit le cas, deux segments de même longueur "apparente" pris au hasard auront à peu de choses près la même longueur(*).

Donc, à cette date, on considère des objets (des particules tests) immobiles qui sont les noeuds d'un maillage. Immobiles, c'est à dire dont les coordonnées spatiales ne changent pas à la date considérée, leur vitesse (dite vitesse coordonnée) par rapport aux lieux définis est nulle. Puis on regarde l'évolution du maillage avec l'augmentation de la date : les noeuds se mettent en mouvement, ils changent de lieux, généralement de plus en plus vite, car leur accélération par rapport aux lieux n'est pas nulle. Si on reste en physique classique c'est simplement l'accélération due au champ de gravitation. Le mouvement de chacun des noeuds est associé à une géodésique de l'espace-temps. On constate que dans la représentation, certains noeuds s'éloignent les uns des autres (ceux qui sont sur une radiale), alors que d'autres s'approchent les uns des autres (ceux qui sont sur une sphère centrée sur l'astre), cela correspond au fait que ces géodésiques dévient : elles étaient initialement parallèles, mais en les parcourant, on voit que certaines convergent alors que d'autres divergent. C'est analogue au fait que les méridiens d'une sphère (qui sont des géodésiques de la sphère) sont parallèles les uns aux autres à l'équateur mais finissent par se couper aux pôles. On visualise donc, au moins partiellement, avec le mouvement des noeuds, ce qu'on appelle la déviation des géodésiques considérées, et cette déviation est encodée dans le tenseur de Riemann, sur lequel on va revenir.

Arrêtons nous un peu sur les géodésiques. Il s'agit des lignes les plus "droites" possibles. En chaque évènement, il en passe une infinité (tout comme il passe une infinité de droites en un point du plan euclidien, droites qui sont justement les géodésiques du plan). Chacune correspond à un mouvement différent. Ici on ne considère que celles qui correspondent à l'immobilité par rapport aux lieux choisis(**) à la date choisie (comme si on ne considérait que les droites du plan euclidien qui sont parallèles entres-elles : alors il n'y a qu'une seule de ces droites qui passe par chaque point). C'est pour cela que je parle de famille de géodésique : on ne s'intéresse qu'à ces géodésiques particulières là, on visualise comment elles sont déviées.

Revenons maintenant au tenseur de Riemann. Ce machin sert à savoir comment, au sein d'une géométrie, un vecteur a va changer par rapport à lui-même si on le déplace autour d'un petit parcours fermé dont l'aire orienté est celle d'un parallélogramme formé par des vecteurs u et v. Exemple pratique à la surface d'une sphère (avec un parcours qui n'est pas petit, mais c'est pour visualiser l'idée) : https://upload.wikimedia.org/wikiped...-on-sphere.png .
On considère deux géodésiques (initialement parallèles), elles ont le même vecteur directeur u (ça marche un peu comme les droites, en chaque point d'une géodésique il y a un vecteur directeur) et elles sont séparés par un vecteur v. On peut donc s'intéresser à comment un vecteur a va changer si on le transporte le long du parcours suivant :
1) on avance sur la 1ere géodésique (suivant u)
2) on traverse la séparation entre les 2 géodésiques (suivant v)
3) on recule sur la 2e géodésique (suivant -u)
4) on traverse la séparation entre les 2 géodésiques dans le sens opposé (suivant -v)
C'est d'autant plus intéressant si ce vecteur est a est le vecteur directeur u , car cela donne justement la déviation entre les deux géodésiques considérés (un exemple sur la sphère : http://www.gregegan.net/FOUNDATIONS/03/Fig07.gif , avec n à la place de v). C'est ainsi que le tenseur de Riemann a toute son importance pour la déviation des géodésiques.

Quand on choisi un système de coordonnées, le tenseur de Riemann peut se représenter par un total de 64 composantes, notées Rⁱ_jkl (i, j, k et l allant de 0 à 3). Choisir un système de coordonnées, c'est choisir des vecteurs de base, numérotés de 0 à 3 (généralement 0 pour le temps et 1,2,3 pour l'espace). Rⁱ_jkl est un nombre qui indique comment la i-eme coordonnée du j-eme vecteur de base change quand on fait parcourir à ce vecteur le parallélogramme formé par le k-ieme et le l-ieme vecteurs de base. Exemple, R⁰₁₂₃, c'est comment varie la coordonnée temporelle du vecteur de base parallèle à l'axe x quand on lui fait parcourir un carré d'arête unité dans le plan yz.
Pour des raisons de symétrie, il n'y a en fait que 20 composantes indépendantes dans le tenseur de Riemann (beaucoup sont nulles, d'autres se déduisent les unes des autres). Etudier la déviation des géodésiques permet de remonter à ces composantes. Dans l'exemple de la vidéo, il s'agit de la déviation des géodésiques correspondant à l'immobilité à une date donnée, c'est à dire comment change le vecteur de base 0. L'exemple ne permet pas de savoir comment change la coordonnée temporelle de ce vecteur (on ne donne pas les rythmes relatifs des horloges situées aux noeuds du maillage), et donne seulement un changement de ses coordonnées spatiales (elles sont nulles au départ et elles augmentent dans le sens radiale) relativement au changement de coordonnée temporelle. Toute l'information permettant de connaitre le tenseur de Riemann n'est donc pas disponible. On pourra avoir une idée des signes de certaines composantes (on sait qu'il y a divergence suivant les radiales et divergence sinon), mais ça n'ira pas beaucoup plus loin.

Voilà, j'espère que ce n'était pas trop indigeste, c'est la première fois que j'essaie de vulgariser le tenseur de Riemann de façon aussi approfondie.

m@ch3

* : c'est probablement un simple mapping des coordonnées de Schwarzschild vers une date + des coordonnées sphérique classique
** : l'immobilité n'est qu'un particulier de "mouvement" qui doit être compris au sens large, on est en relativité

[ThM55]

Bonjour. J'admire l'effort héroïque de Mach3 pour expliquer le tenseur de Riemann, bravo.

Il existe aussi un texte de vulgarisation avancée écrit par le mathématicien John Baez (son nom ressemble à celui de la chanteuse Joan Baez; normal, c'est sa cousine; mais je vous parle d'un temps que les moins de vingt ans etc ...): https://arxiv.org/abs/gr-qc/0103044 . Je crois qu'il existe quelque part une traduction en français, je vais essayer de la retrouver.

Ce texte explique vraiment comment la courbure crée la gravité en montrant ce que disent les équations d'Einstein du mouvement de chute libre de particules "tests", ou particules "d'épreuve", de petits corps dont l'influence sur le champ de gravitation peut être négligée en première approximation. Il aboutit à l'explication donnée par Mach3 vers la fin du texte.

[coussin]

Je ne savais pas que John est le cousin de Joan! intéressant

[ThM55]

Il le dit ici: https://math.ucr.edu/home/baez/interview1.html .

Son oncle Albert Baez, physicien et inventeur d'un télescope à rayons X, l'a intéressé à la physique quand il était enfant. Albert Baez était le père de Joan et d'une autre chanteuse folk que je connais moins (Mimi Farina).

[choom]

Merci à tous pour ce fil, à Mach3 pour la pédagogie et les liens super intéressants de ThM55. Eclairant.

[QuantumVacuua]

Merci beaucoup Mach3 ton post état ardu mais j'en suis venu à bout et c'était bien compréhensible. Je comprends mieux cette histoire de tenseur de Riemann et de famille de géodésiques !
Le lien aussi également.