Courbure 4D et courbure(s) 3D : signification et représentation

[Tom200]

Même si tu es une feuille de papier, comment tu fais pour être dans un plan qui est virtuel, tu es une feuille de papier virtuelle ? Ton corps est virtuel ?
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[Mailou75]

Salut Tom200,

Peux tu ouvrir une autre discussion stp? c’est un poil hors sujet ici. Je te répondrai avec plaisir.

Merci

Rapidement : Si je suis un disque, entre mon centre et mon bord il y a une distance. Cette distance sera différente pour des observateurs en mouvement. Le plan dans lequel je mesure mon «rayon propre» est virtuel, car un autre observateur jugera qu’un autre plan peut être qualifié d’espace, celui où je suis compressé. Bilan l’espace ça n’existe pas de manière absolue.

[yves95210]

Salut,

J'ai relu plusieurs fois cette phrase et je ne saisi pas la nuance. J'ai l'impression que tes deux exemples définissent la même chose, l'espace orthogonal à toutes les lignes d'univers des observateurs comobiles.

Non, puisque les géodésiques spatiales partant d'un observateur comobile à un instant t ne sont pas contenues dans l'hypersurface 3D orthogonale en t (date en "temps cosmologique") à la ligne d'univers de cet observateur. Elles intersectent bien les lignes d'univers des autres observateurs comobiles (éventuellement seulement jusqu'à un horizon), mais à des instants différents de t (dans le passé, en fait). Donc l'espace 3D défini par l'ensemble de ces géodésiques est distinct des tranches spatiales à temps cosmologique constant.

[mach3]

Salut,

Je reprends où je m'étais arrêté. Je traiterais les commentaires plus récent plus tard.

Par "plate" dois-je comprendre qu'il s'agit d'un espace synchronisé ? Sur lequel personne n'a d'écoulement de temps propre identique car on est en RG. Exemple les immobiles et l'espace "r" de Schw ?

Non, plat veut dire que la variété à 3 dimension qu'on a découpé possède un tenseur de Riemann nul (mais c'est juste dû au choix de le découper ainsi), rien d'autre.
Les tranches de temps coordonnée de Schwarschild constant ne sont pas plates, mais on pourrait choisir une coordonnée temporelle spécifiquement pour que les tranches de constant sont :
-plates
-orthogonales à un immobile de Schwarzschild (mais seulement à celui-là a priori).
(attention, il n'est pas dit qu'il n'y ait pas des "pathologies" dans la tranche)

La courbure n'est pas le potentiel...

Alors pourquoi ça marche aussi bien ? Et pourquoi phys4, qui n'est pas tombé de la dernière pluie, semble d'accord sur ce point ?

Ce que tu représentes dans le fil cité ( https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4184216 ), c'est une forme de potentiel (si on faisait le developpement limité au premier ordre en 2M/r on trouverait 1-M/r, ce qui est le potentiel Newtonnien à 1 près). Mais la courbure de la surface obtenue ainsi n'a pas grand chose à voir avec la courbure de l'espace-temps, ni même avec la courbure de l'espace des immobiles de Schwarzschild. Phys4 ne dit pas le contraire d'ailleurs :

Je ne dis pas que la formule est fausse, c'est la représentation qui peut être trompeuse. [...]
Cela reste une représentation de vulgarisation, car le potentiel ne permet pas de calculer la trajectoire.

Mais je suis assez gêné avec la notion de potentiel en RG car la fonction ne décrit pas complétement l'espace.

à aucun moment il ne dit que c'est la courbure de l'espace-temps qui est représentée (et pour cause, on ne peut pas la représenter par une surface 2D). D'ailleurs :

1) là je ne vois pas trop ce qu'on pourrait faire en terme de représentation

Ben merde alors... tout le monde parle de courbure de l'espace temps à tort et à travers mais personne ne sait à quoi ça ressemble ?

D'abord on ne peut représenter la courbure d'une variété à 4D correctement en 2D ni même en 3D (déjà que pour les surfaces on ne peut pas forcément représenter correctement en 2D ou en 3D, exemple bouteille de Klein ou tore plat), ensuite il n'est pas nécessaire de représenter cette courbure pour travailler sur la RG, les maths suffisent.

2) les tranches spatiales qui sont orthogonales aux géodésiques de la pluie sont plates

C'est donc l'axe des r de Painlevé ?

Oui, les tranches de constant, représentées par des droites horizontales dans un diagramme de Painlevé avec en ordonnée et r en abscisse. Si on élimine les dt_r de l'expression de Painlevé de la métrique, il ne reste que la métrique de l'espace euclidien en coordonnée sphérique (là au moins ça à la mérite de se voir sans faire trop de calculs), donc ces tranches de constant sont plates.

3) que ce soit la pluie montante ou la pluie descendante, ce sont des tranches plates, mais pas les mêmes

C'est à dire ? Ne peut-t-on pas, par inversion temporelle, supposer que les cycloïdes de Newton+/Painlevé sont des particules sortant du trou blanc ?

Ce sont des tranches qui sont symétriques par inversion temporelle. On trouve des situations semblables sans courbure : un corps va à v, un autre à -v par rapport à un référentiel R, les tranches spatiales de l'un et l'autres sont plates, mais différentes, s'intersectant le long d'un plan, et étant symétrique par inversion temporelle, plus précisément avec la tranche spatiale du référentiel R comme hyperplan de symétrie.
Ici on a une goutte entrante et une goutte sortante qui se croisent. Les tranches sont plates mais cette fois s'intersectent le long d'une sphère et l' "hyperplan" de symétrie est un paraboloide de Flamm (d'où les guillemets...).
Le mieux pour visualiser un peu c'est de tracer une courbe de constant dans un diagramme de Schwarzschild (t de Schwarzschild en ordonnée et r en abscisse) et son symétrique par reflexion sur l'axe des abscisses. Eventuellement en ajoutant une dimension pour voir que l'intersection entre la surface de constant et son symétrique se coupent sur un cercle.

4) il y aura a priori une certaine diversité pour les tranches orthogonales à des géodésiques radiales avec culmination selon comment on choisit la famille (culminations simultanées? départs ou arrivées à la singularité simultanées?

Tu parles de deux particules, pourquoi ? La courbure ne vaut-elle pas pour une seule particule ?

Je ne parle pas de deux particules, mais de toute une famille dont les lignes d'univers remplissent complétement la région d'espace-temps qui nous intéresse.
Je l'ai dit plus haut, et il faut que ça rentre, il y a une infinité de tranches spatiales possibles qui soient orthogonales à une ligne d'univers. Pour contraindre le choix parmi cette infinité, on va choisir une famille de particules et on va exiger que la tranche spatiale soit orthogonale à toutes les lignes d'univers de cette famille.
Exemples :
-si on prend tous les immobiles de Schwarzschild, on obtient le paraboloide de Flamm comme tranche
-si on prend toute la pluie entrante, on obtient un espace euclidien comme tranche
-si on prend toute la pluie sortante, on obtient un autre espace euclidien comme tranche
-si on prend les comobiles en FLRW, on obtient une variété 3D de courbure constante (hypersphère, espace euclidien ou variété 3D hyperbolique) qui est la tranche à temps cosmologique constant.

Du coup ce qui est dit en 4) et 5) est à reconsidérer à la lumière de ce qui précède. On prend une famille et on considère les tranches spatiales orthogonales à toutes les lignes d'univers de la famille, si elles existent (parce qu'on peut très bien choisir une famille qui n'admet pas de telles tranches, exemple le plus simple : des observateurs tournant à même vitesse angulaire autour d'un axe en espace-temps plat). La courbure des tranches dépend du choix de la famille, et cette courbure n'a même pas l'obligation de rester la même au cours du temps.

m@ch3

[mach3]

Ben tant qu'on continue à se représenter les deux grands cercles sécants ça roule. La question c'est pourquoi ?


Surtout que là tu es en train de parler d'une surface SUR laquelle sont inscrites les géodésiques. Alors que dans tes calculs tu cherches la forme de la surface PERPENDICULAIRE aux géodésiques de chute. Si la seconde correspond plus à l'image que j'attendais du genre "cuvette" je me dis que la première serait plus intéressante car présentant un lien avec les trajectoires.


Je comprend mieux pourquoi tu dis que la "coubure 3D" n'expliquera pas les trajectoires, il s'agit du second cas, ton calcul ?

Le truc pas évident c'est que je vais à la fois dans ton sens pour essayer de trouver du sens à la courbure de l'espace, mais qu'il faut en même temps qu'à l'inverse je te montre que ce n'est pas avec ça qu'on va expliquer les trajectoires.


Les deux calculs qui précèdent montrent juste que les tranches d'espaces de Painlevé ou de temps cosmologique constant ne contiennent pas de géodésiques de l'espace-temps. Du coup la courbure de ces tranches tient uniquement d'un choix arbitraire et pas d'une propriété géométrique. Ces deux calculs ne sont pas intéressant pour expliquer les trajectoires (du moins, a priori, je pense que non).

Ca c'est moins facile à imaginer en 3D déjà... Et du coup, si on prend une seule particule avec culmination, elle aura : une relation "positive" avec une particule au même r sur une autre radiale, et une relation "négative" avec une particule avec culmination à R>r par exemple. La courbure spatio-temporelle dont il est ici question (puisque ce n'est pas que de l'espace) serait donc valable : entre deux particules et différente pour chaque particule. Il n'y aurait pas de courbure pour une particule unique ?


Ou alors... il n'y a pas une seule courbure spatio-temporelle comme tu le disais. Ou... il s'agit de coubure spatiale mais j'ai un gros doute. Ou... la courbure dont tu parles dans ces exemple est hors sujet car ce n'est ni une courbure spatiale (liée à un observateur) ni une courbure spatio-temporelle puisque celle-ci est réputée unique.

C'est le côté tensoriel de la courbure : la déviation entre deux géodésiques dépend de la direction de ces géodésiques ET de la direction de la séparation entre ces géodésiques et c'est encodé dans le tenseur de Riemann. Je te renvois au message 2 et au fil qu'il cite.

J'ai fait quelques essais pour vulgariser ça mieux, mais ce n'est pas encore convaincant (et je me rend compte en faisant cela que je ne maitrise pas encore assez en profondeur), donc il faudra attendre un peu

Si j'ai bien compris tu as pris l'ensemble des droites définies par tr=cste pour démontrer que ce ne sont pas des géodésiques ? Rien que le sujet me met le doute : finalement, ces tranches spatiales qui ne comportent, par définition, aucune géodésique de genre temps sont elles vraiment intéressantes ?

oui, c'est ça j'ai démontré qu'il n'y avait aucune geodesique de l'espace-temps de genre espace dans ces tranches. Je ne sais pas si c'est intéressant. La courbure sectionnelle est probablement une fausse piste.

Suite à tes calculs il nous reste quoi ? Flamm qui est l'espace des immobiles ? Peut on quand même essayer de tracer l'espace de la pluie, pour voir à quoi il ressemble, et dire ne pas avoir fait tout ça pour rien ?

Flamm est une section, mais il semble que ça n'ait aucune importance. L'espace de la pluie est euclidien. Pas sûr que le tracer dise quoique ce soit. A moins qu'on y fasse figurer des cones de lumière d'une manière ou d'une autre (par exemple on selectionne certain points et on trace où se trouve la lumière émise en ces points après une variation de t_r donnée).

Et j'essayerai bien de trouver la coubure spatio-temporelle unique autour du TN. Puisqu'il n'y en aurait qu'une autant la faire non ?

il y a sûrement une confusion/mécompréhension de l'un de nous ici. En un événement le tenseur de courbure est un objet géométrique. En cela il ne dépend pas du repère, du référentiel, des tranches ou que sais-je (si c'est courbé c'est courbé, on ne trouvera pas repère où ce n'est pas courbe). Cependant il change en général d'un événement à l'autre (on parle de champ de tenseur), et dans le cas de Schwarzschild, il change avec r.
On ne peut pas tracer un champ de tenseur comme on trace un champ scalaire. En tout cas je ne vois pas comment faire à part choisir arbitrairement une composante et regarder comment elle évolue avec r. Et en faisant cela je ne suis pas convaincu que ce soit parlant.

J'ai encore d'autres passages à commenter, mais plus tard. J'aimerais bien aussi réussir à vulgariser la déviation des geodesiques correctement.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

J'apporte une correction à mon message précédent : sans les précisions en rouge ci-dessous, il y a une infinité d'hypersurfaces orthogonales à la ligne d'univers d'un observateur comobile, dont celle définie par l'ensemble des géodésique de genre espace intersectant orthogonalement cette ligne d'univers. Dans ma tête (mais seulement dans ma tête...) ces précisions étaient implicites vu le contexte, et pris par le temps je n'avais pas relu mon message et réalisé qu'il était incompréhensible tel quel.

Non, puisque les géodésiques spatiales partant orthogonalement d'un observateur comobile à un instant t ne sont pas contenues dans l'hypersurface 3D à t constant, orthogonale en t (date en "temps cosmologique") à la ligne d'univers de cet observateur. Elles intersectent bien les lignes d'univers des autres observateurs comobiles (éventuellement seulement jusqu'à un horizon), mais à des instants différents de t (dans le passé, en fait). Donc l'espace 3D défini par l'ensemble de ces géodésiques est distinct des tranches spatiales à temps cosmologique constant.

[mach3]

L'Espace avec un grand E est celui de la cosmo, auquel on attribue des variations (Expansion, Inflation) et des "pouvoirs" (comme étirer les longueur d'onde des photons). Il y a à ma conaissance au moins trois systèmes de coordonnées valables pour FLRW, et on en a choisi un comme étant "physique" : celui où l'espace et le temps sont réguliers et correspondant à aujourd'hui. J'ai déjà dit tout le bien que je pensais d'Alan Guth et ça m'a valu 6 mois d'expulsion, je ne réitérerai pas...

Si on est capable de "choisir" pour FLRW pourquoi ne le peut-on pas pour les trous noirs ? Chaque système de coordonnée est aussi faux que juste, et pour moi c'est pareil en cosmo.

Oui, tous les systèmes de coordonnées se valent du point de vue de la prédiction des observations, donc peu importe le système de coordonnée, la cosmologie sera la même. Cependant tous les systèmes de coordonnées ne se valent pas en termes de calculs. Si les spécialistes du domaine choisissent préférentiellement de travailler sur un découpage en tranches de temps cosmologique constant, c'est parce qu'il permet un formalisme puissant et efficace (notamment parce qu'il respecte un maximum de symétries de l'espace-temps qu'il décrit). Il n'est pas "plus physique" qu'un autre, seulement beaucoup plus pratique.

Le meilleur choix en ce qui concerne les trous noirs est beaucoup moins évident. Par exemple si on veut un maximum de symétrie, alors c'est les coordonnées de Schwarzschild qu'il faut utiliser, c'est très bien pour décrire l'extérieur (notamment le calcul des orbites), mais alors l'intérieur et l'extérieur se retrouvent sur deux cartes disjointes et l'horizon n'est pas couvert. A l'inverse Novikov ou Kruskal permettent une vue d'ensemble, mais ne sont pas adaptés pour décrire facilement le point de vue d'un observateur.

Et en quoi un découpage en hypersurfaces spatiales de l'espace-temps basé sur les géodésiques de genre espace coïncidant spatialement à l'instant t (du temps propre de l'observateur) avec la ligne d'univers d'un observateur particulier et orthogonales à cette ligne d'univers serait plus pertinent qu'un découpage basé sur l'orthogonalité de ces hypersurfaces avec les lignes d'univers de l'ensemble des observateurs comobiles à l'instant t commun à tous ces observateurs (dans le cas particulier de la métrique FLRW) ?

J'ai relu plusieurs fois cette phrase et je ne saisi pas la nuance. J'ai l'impression que tes deux exemples définissent la même chose, l'espace orthogonal à toutes les lignes d'univers des observateurs comobiles. Et je suis amusé par le calcul de mach3 qui conclue que cette section n'est pas de l'espace. De là à lui mettre un grand E il y a de quoi se marrer, dsl.

Attention confusion. Une tranche de temps cosmologique constant, donc orthogonale aux lignes d'univers de tous les comobiles, n'est pas une section, mais c'est bien de l'espace.

m@ch3

[Mailou75]

Ce que tu représentes dans le fil cité ( https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4184216 ), c'est une forme de potentiel (si on faisait le developpement limité au premier ordre en 2M/r on trouverait 1-M/r, ce qui est le potentiel Newtonnien à 1 près).

Oui c'est la valeur du redshift gravitationnel, enfin 1/z+1. J'avais déjà remarqué qu'en champ faible c'est le potentiel newtonnien (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4195236 les courbes rouge et verte sont identiques). Effectivement, pas de raison que ça définisse une surface interessante, je suis rétrospectivement déçu par ce schéma, on doit pourvoir appliquer la trajectoire sur n'importe quelle surface du genre et que ça ait l'air juste... dommage, on oublie.

D'abord on ne peut représenter la courbure d'une variété à 4D correctement en 2D ni même en 3D (déjà que pour les surfaces on ne peut pas forcément représenter correctement en 2D ou en 3D, exemple bouteille de Klein ou tore plat), ensuite il n'est pas nécessaire de représenter cette courbure pour travailler sur la RG, les maths suffisent.

Arf pourquoi ça ? En enlevant une dimension d'espace, ou deux... comme on fait d'habitude, pourquoi ça ne marcherait pas ?
Sinon je ne suis pas d'accord avec ta dernière remarque, les maths servent ici à décrire une théorie géométrique donc j'ai tendance à penser que si on a la géométrie on peut se passer des maths. C'est ce que je fais en RR et un peu en RG, je limite au max les calculs pour ma part

Oui, les tranches de constant, représentées par des droites horizontales dans un diagramme de Painlevé avec en ordonnée et r en abscisse. Si on élimine les dt_r de l'expression de Painlevé de la métrique, il ne reste que la métrique de l'espace euclidien en coordonnée sphérique (là au moins ça à la mérite de se voir sans faire trop de calculs), donc ces tranches de constant sont plates.

Ok

Ce sont des tranches qui sont symétriques par inversion temporelle. (...)
Les tranches sont plates mais cette fois s'intersectent le long d'une sphère et l' "hyperplan" de symétrie est un paraboloide de Flamm (d'où les guillemets...).
Le mieux pour visualiser un peu c'est de tracer une courbe de constant dans un diagramme de Schwarzschild (t de Schwarzschild en ordonnée et r en abscisse) et son symétrique par reflexion sur l'axe des abscisses.

Ok, les trajectoires entrantes et sortante (genre temps ou lumière) sont toutes symétriques par rapport à une horizontale, dans un repère de Schw. Et comme une droite de Schw est en fait une parabole de Flamm alors les tranches plates de tr constant sont symétriques "par rapport à la parabole". Vu.

-si on prend tous les immobiles de Schwarzschild, on obtient le paraboloide de Flamm comme tranche
-si on prend toute la pluie entrante, on obtient un espace euclidien comme tranche
-si on prend toute la pluie sortante, on obtient un autre espace euclidien comme tranche
-si on prend les comobiles en FLRW, on obtient une variété 3D de courbure constante (hypersphère, espace euclidien ou variété 3D hyperbolique) qui est la tranche à temps cosmologique constant.

Ok. Ce que tu appelles "tranche" ici correspond bien, localement, à l'espace plan de Mikowski ?

Le truc pas évident c'est que je vais à la fois dans ton sens pour essayer de trouver du sens à la courbure de l'espace, mais qu'il faut en même temps qu'à l'inverse je te montre que ce n'est pas avec ça qu'on va expliquer les trajectoires.

Oui je sens bien qu'il va y avoir plusieurs types de courbures. Pour l'instant il était question de "découpage spatial" mais je comprends qu'il ne va pas vraiment nous aider à définir les trajectoires. Il y a bien ceci https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post7006716 qui donne un lien entre Flamm et pluie par "géométrie flagrante", mais on en avait pas tiré grand chose.

Ces deux calculs ne sont pas intéressants pour expliquer les trajectoires (du moins, a priori, je pense que non).

Je ne veux te faire perdre ni ton temps ni ton énergie

C'est le côté tensoriel de la courbure : la déviation entre deux géodésiques dépend de la direction de ces géodésiques ET de la direction de la séparation entre ces géodésiques et c'est encodé dans le tenseur de Riemann.

Oui ok je comprend, enfin je crois...

J'ai fait quelques essais pour vulgariser ça mieux, mais ce n'est pas encore convaincant (et je me rend compte en faisant cela que je ne maitrise pas encore assez en profondeur), donc il faudra attendre un peu

C'est toujours un bon exercice de communiquer. Qu'est ce que la courbure ?... Vaste sujet finalement

L'espace de la pluie est euclidien. Pas sûr que le tracer dise quoique ce soit.

Par exemple sur le Slide (https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6765416) peut-on considérer que le fait que les trajectoires bleues s'écartent traduit la spaghettification ?

il y a sûrement une confusion/mécompréhension de l'un de nous ici.

Je mise sur moi

On ne peut pas tracer un champ de tenseur comme on trace un champ scalaire. En tout cas je ne vois pas comment faire (...)

Si je savais de quoi tu parles...

Il n'est pas "plus physique" qu'un autre, seulement beaucoup plus pratique.

Hors sujet mais ça fait plaisir de l'entendre. Je ne relance pas ici.

Le meilleur choix en ce qui concerne les trous noirs est beaucoup moins évident.

C'est ce que j'essayais de faire quand je suis tombé sur la "coïncidence", une lecture simplifiée + que voit celui qui chute. J'y suis pas encore, on y reviendra quand tu auras fini ton étude sur la "distance angulaire". Ainsi je saurais ce que je dois chercher, manque cruel de références "simple". Hors sujet aussi...

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Non, puisque les géodésiques spatiales partant [orthogonalement] d'un observateur comobile à un instant t ne sont pas contenues dans l'hypersurface 3D [à t constant] orthogonale en t (date en "temps cosmologique") à la ligne d'univers de cet observateur. Elles intersectent bien les lignes d'univers des autres observateurs comobiles (éventuellement seulement jusqu'à un horizon), mais à des instants différents de t (dans le passé, en fait). Donc l'espace 3D défini par l'ensemble de ces géodésiques est distinct des tranches spatiales à temps cosmologique constant.

Et bien même avec ta réponse + les corrections je ne fais toujours pas le distinguo. Sans doute parce qu'en RR ces deux surfaces ne font qu'une, du coup je vois pas la différence. Peut être faudrait il rappeler les définitions de :
- Espace
- Plan/surface synchronisée/t cst
- Tranche
- Section
- Plan/surface définie par les géodésiques de genre "espace pur" (perpendiculaires à la ligne d'univers de l'obs)

Pour l'instant tout ça c'est la même chose pour moi. Je ne peux donc pas comprendre ta remarque, bug...

Et je ne comprend plus la démonstration de mach3 :
- Si le plan à tr constant de la pluie est son espace
- Si prouver que les géodésiques de genre espace qui partent de l’observateur ne sont pas contenues dans ce plan montre que celui ci n'est pas de l'espace (section ?)
alors je ne comprends plus rien, ça m'éneeeerve

Merci pour votre courage, a+

Mailou

[yves95210]

Salut,

Non, puisque les géodésiques spatiales partant [orthogonalement] d'un observateur comobile à un instant t ne sont pas contenues dans l'hypersurface 3D [à t constant] orthogonale en t (date en "temps cosmologique") à la ligne d'univers de cet observateur. Elles intersectent bien les lignes d'univers des autres observateurs comobiles (éventuellement seulement jusqu'à un horizon), mais à des instants différents de t (dans le passé, en fait). Donc l'espace 3D défini par l'ensemble de ces géodésiques est distinct des tranches spatiales à temps cosmologique constant.

Et bien même avec ta réponse + les corrections je ne fais toujours pas le distinguo. Sans doute parce qu'en RR ces deux surfaces ne font qu'une, du coup je vois pas la différence. Peut être faudrait il rappeler les définitions de :
- Espace
- Plan/surface synchronisée/t cst
- Tranche
- Section
- Plan/surface définie par les géodésiques de genre "espace pur" (perpendiculaires à la ligne d'univers de l'obs)

Je vais commencer par la fin pour lever (peut-être) des confusions.
L'ensemble des points appartenant aux géodésiques de genre espace orthogonales à la ligne d'univers de l'observateur constitue une (hyper)surface à trois dimensions de l'espace-temps à quatre dimensions (ou dans certains cas seulement une partie d'une telle hypersurface si j'ai bien compris la publication que j'ai mise en lien mais que je n'ai lue qu'en diagonale).
Une telle hypersurface est ce que mach3 appelle une section, mais je ne connaissais pas le terme (du moins dans ce sens). Et il a démontré que dans le cas de la métrique FLRW,

les tranches de temps cosmologique constant ne sont pas des sections (...) vu qu'elles ne contiennent pas de géodésiques de l'espace-temps (sauf la tranche correspondant à la fin de l'expansion et au début de la contraction d'un univers fermé).

On parle couramment de "tranches spatiales" au sujet du découpage de l'espace-temps à quatre dimensions en 3D+1D, induit par un choix quelconque de coordonnées pour la métrique de cet espace-temps. Plus rigoureusement il faudrait parler de sous-variétés de dimension 3 de la variété espace-temps de dimension 4. Tout ce qu'on demande à une "tranche spatiale" est que sa métrique soit de signature (+,+,+) si on a adopté la convention selon laquelle la métrique de l'espace-temps est de signature (-,+,+,+).
Et en général on parle abusivement d'"espace" (ce qui semble lui donner un caractère absolu) au sujet de l'une quelconque de ces tranches spatiales.

En particulier, en "espace" "plat"(*) selon la métrique FLRW dans le système de coordonnées usuel, les tranches spatiales à t constant sont des hyperplans (et non des plans), espaces euclidiens de dimension 3, alors que les sections définies ci-dessus n'en sont pas. En effet les géodésiques de genre espace qui intersectent orthogonalement la ligne d'univers d'un observateur comobile à l'instant t "ne restent pas" dans l'hyperplan orthogonal à cette ligne d'univers.
Résultat qui n'est pas intuitif et que j'ai découvert à l'occasion de cette discussion. Mais je serais bien en peine de te dire à quoi ressemble l'hypersurface engendrée par ces géodésiques...

(*) Mais il en est de même si la courbure spatiale induite par la métrique FLRW est positive ou négative. Dans le cas d'une courbure positive (resp. négative) il suffit de remplacer hyperplan (espace euclidien 3D) dans ce paragraphe par hypersphère (resp. variété 3D hyperbolique).

[Mailou75]

Salut Yves,

Si je résume on a que deux types de surfaces "intéressantes" :

- Les (hyper)surfaces définies par l'ensemble des géodésiques de genre espace perpendiculaires à la ligne d'univers de l'observateur ET perpendiculaires à tous les chuteurs d'une famille à t identique ET qui doivent avoir une surface "propre" pour rester "juste localement" de proche en proche

- Les (hyper)surfaces définies par le choix d'un repère, qui ont la valeur qu'on veut bien leur donner...

Bilan, le terme "espace" qui sera vrai localement pour tous les observateurs d'une famille (comme Flamm l'est pour les immobiles) devrait être réservé au premier cas alors que, comme tu le soulignes, on l'utilise dans le second cas, abusivement, par analogie avec l'espace temps plat où les deux cas sont confondus.

[yves95210]

Salut Mailou,

Les (hyper)surfaces définies par l'ensemble des géodésiques de genre espace perpendiculaires à la ligne d'univers de l'observateur ET perpendiculaires à tous les chuteurs d'une famille à t identique ET qui doivent avoir une surface "propre" pour rester "juste localement" de proche en proche

Ces géodésiques ne sont pas orthogonales aux lignes d'univers de tous les observateurs comobiles (*). Et elles n'intersectent pas ces lignes d'univers à t identique. C'est ce que mach3 a démontré, puisque la tranche spatiale à t constant ne contient aucune géodésique (résultat confirmé par les deux liens que j'ai indiqués et d'autres références que j'ai sous la main).

(*) En voici une démonstration pas très rigoureuse, mais tu trouveras mieux dans la publication de George Ellis que j'ai citée :
Selon cette publication, quel que soit l'observateur O une géodésique G orthogonale à sa ligne d'univers à la date t intersecte les lignes d'univers de tout autre observateur comobile O' à une date t'<t. Mais on peut dire la même chose de la géodésique G' orthogonale à la ligne d'univers de O' à l'instant t' qui intersecte la ligne d'univers de O : elle l'intersecte à une date t"<t'. Or si G' était une géodésique orthogonale à la ligne d'univers de O elle devrait intersecter la ligne d'univers de O' à t'<t".
Il est donc impossible qu'une géodésique de genre espace intersectant les lignes d'univers de deux observateurs comobiles O et O' soit orthogonale à ces deux lignes d'univers.

L'hypersurface engendrée par les géodésiques orthogonales à la ligne d'univers d'un observateur comobile n'est orthogonale à celle d'aucun autre observateur comobile.
Et je ne vois pas pourquoi elle aurait plus droit à l'appellation "espace" que l'hypersurface orthogonale aux lignes d'univers de tous les observateurs comobiles à une même date t du temps cosmologique...

Selon Ellis elle présente cependant un avantage :

The geodesic 3-surfaces give the best slicing of a spacetime in order to approximate Newtonian theory in a general spacetime

Mais il s'agit du meilleur découpage en tranches spatiales pour une application particulière. Pour d'autres applications on peut trouver plus pratique d'utiliser les tranches à t constant. Le terme "espace" est ni plus ni moins approprié dans un cas que dans l'autre. Tu remarqueras d'ailleurs que (en général) quand je parle de ces hypersurfaces, je ne les appelle pas "espace".

[Mailou75]

Salut,

Ces géodésiques ne sont pas orthogonales aux lignes d'univers de tous les observateurs comobiles (*). Et elles n'intersectent pas ces lignes d'univers à t identique. C'est ce que mach3 a démontré, puisque la tranche spatiale à t constant ne contient aucune géodésique (résultat confirmé par les deux liens que j'ai indiqués et d'autres références que j'ai sous la main).

Ok

(*) En voici une démonstration pas très rigoureuse, mais tu trouveras mieux dans la publication de George Ellis que j'ai citée :
Selon cette publication, quel que soit l'observateur O une géodésique G orthogonale à sa ligne d'univers à la date t intersecte les lignes d'univers de tout autre observateur comobile O' à une date t'<t. Mais on peut dire la même chose de la géodésique G' orthogonale à la ligne d'univers de O' à l'instant t' qui intersecte la ligne d'univers de O : elle l'intersecte à une date t"<t'. Or si G' était une géodésique orthogonale à la ligne d'univers de O elle devrait intersecter la ligne d'univers de O' à t'<t".
Il est donc impossible qu'une géodésique de genre espace intersectant les lignes d'univers de deux observateurs comobiles O et O' soit orthogonale à ces deux lignes d'univers.

Si j'imagine ce que tu décris, en RR, avec deux lignes d'univers sécantes, ça fonctionne. Dans le repère de O, le plan intersecte la ligne O' en t'<t. Puis en changeant de repère, un plan passant par t' intersecte la ligne O' en t''<t' etc... en remontant jusqu'au croisement, sans jamais l'attendre je suppose. Mais le problème c'est que ces deux là ne sont pas comobiles, il ne constituent pas une "famille" (je n'ai d'ailleurs qu'une faible intuition sur ce que recouvre le terme).

Je note aussi en passant que "à t constant", ou plutôt "à t égal" est très facile à définir dans mon exemple. Par contre en RG, et tant qu'il n'y a eu aucun croisement pour mettre des montres à 0, ça devient tout de suite un peu plus flou.

Je tente donc d'imaginer des observateurs comobiles. Je suppose des parallèles verticales graduées de manière identiques le long d'une horizontale. Pour que ce que tu énonces fonctionne, il faudrait que la surface* qui les intersecte "en dessous de l'horizontale" soit courbe, comme une calotte de sphère ? Le terme de comobile peut-il s'appliquer aux gouttes de pluie tombant de l'infini ? A des trajectoires avec culmination à même t ?

* auriez vous un terme à proposer à la place de surface-définie-par-les-géodésiques-de-genre-temps-perpendiculaires-à-l-observateur ? Un petit diminutif...

Et je ne vois pas pourquoi elle aurait plus droit à l'appellation "espace" que l'hypersurface orthogonale aux lignes d'univers de tous les observateurs comobiles à une même date t du temps cosmologique...

Oui... alors je m'en rends compte que j'ai compris tout l'inverse. C'est celui là en effet (perpendiculaire à toutes les lignes d'univers d'une famille -ex : la pluie- à une date t identique) que j'aurais tendance à qualifier d'espace. Toutefois, je n'ai aucune représentation mentale de l'autre, je ne sais pas du tout de quoi il est question ni son utilité (pas bien saisi l'argument Ellis)

Le terme "espace" est ni plus ni moins approprié dans un cas que dans l'autre.

Et par exemple en cosmo, suppose que c'est la surface-orthogonale-aux-comobiles-à-t-constant qu'on appelle Espace ?

Tu remarqueras d'ailleurs que (en général) quand je parle de ces hypersurfaces, je ne les appelle pas "espace"

Ben ça ne fait pas longtemps que je m’intéresse à ces subtilités de langage. Il y a peu "courbe" existait par opposition à "plat" et ça s’arrêtait là. La grille simple de Minko devant se tordre pour décrire l'espace temps autour d'un trou noir, ça se tenait sans avoir besoin de concrétisation. Aujourd'hui je me rends compte qu'à chaque fois que quelqu'un parle de "courbure" il peut être en train d'évoquer des aspects tout à fait différents, j'en dénombre déjà au moins trois : la courbure "absolue" de l'espace temps 4D (dont on ne sait toujours pas à quoi elle ressemble), la courbure de tranches spatiales (qui se scinde elle même en deux branches dont il est question ici) et la surface "sur" laquelle on pourrait représenter des géodésiques (comme les trajectoires avec culmination analogues à deux grands cercles d'une sphère, sécants deux fois, cf mach3 mess#20). C'est donc un joyeux bordel, avec pas une représentation à se mettre sous la dent... pas gagné pour moi.

Merci à +

Mailou

[pachacamac]

Salut Mailou, bonjour les autres,

J'aime bien tes questions qui me font progresser (dans le brouillard).

la courbure "absolue" de l'espace temps 4D (dont on ne sait toujours pas à quoi elle ressemble)

Là, il me semble que c'est normal.
Puisqu'on ne peut pas se représenter un espace 4D , comment pourrait t'on représenter sa courbure ?

surface-définie-par-les-géodésiques-de-genre-temps-perpendiculaires-à-l-observateur ?

Au moins cela a le très grand mérite de préciser clairement de quoi il s’agit, c'est pas comme le diminutif la pluie dont j'ai oublié la signification.une piqure de rappel bienvenue.

>Un petit diminutif..
C'est comme pour les coordonnées en RG. Parfois (grâce aux tenseurs) on obtient des relations indépendantes de celles-ci. Donc tu peux prendre n'importe quel diminutif (mais tu devras alors précisez à tout tes lecteurs ce qu'il signifiera ). En relation avec pluie , je propose neige pour rester dans le domaine climatique

Aussi le jours ou tu auras la réponse à toutes les questions de ce fil, pourrais tu nous en faire un petit "résumé pour les nuls" ce serait très utile pour ceux qui, comme moi, se perdent un peu entre toutes ces géodésiques sous la pluie entourées hyperboloïdes de Flam.

Merci et bonne continuation.

[Mailou75]

J'aime bien tes questions qui me font progresser (dans le brouillard).

T'as bien de la chance, pour ma part j'ai pas avancé d'un iota. Au contraire cette simple question a ouvert la boite de Pandore...

Puisqu'on ne peut pas se représenter un espace 4D , comment pourrait t'on représenter sa courbure ?

En enlevant une dimension d'espace, ou même deux ça doit toujours être possible. D'après mach3 ce n'est pas si évident mais je ne saisis pas si il s'agit d'impossibilité ou de multiplicité : peut être existe-il une courbure spatio-temporelle par évènement et par énergie de particule E. Ca en ferait un paquet mais en avoir une ou deux pourrait être éclairant.

c'est pas comme le diminutif la pluie dont j'ai oublié la signification.une piqure de rappel bienvenue.

La pluie ce sont les particules test qui tombe depuis l'infini, parties avec une vitesse initiale nulle.

En relation avec pluie , je propose neige pour rester dans le domaine climatique

Inadapté je pense. Pour la pluie il s'agit de lignes d'univers de genre temps alors qu'ici il est plus question d'espace. Verglas ou flaque imageraient plus le plan.
Peut être "surface d'un observateur" par opposition à "surface d'une famille" ? Comme je ne sais pas bien de quoi on parle c'est pas évident...

pourrais tu nous en faire un petit "résumé pour les nuls" ce serait très utile

Avec plaisir. J'en fais toujours un sous forme de schéma une fois que j'ai compris, ça permet de traduire, de transmettre et de ne pas oublier. La RG est une théorie géométrique et les calculs compliqué ne servent qu'à décrire cette géométrie, il y a donc pour tout calcul une figure équivalente, normalement. Bon but est de comprende la RG graphiquement car je ne serait jamais capable de mener des calcul complexes comme le fait mach3.

[yves95210]

Mailou et pachacamac,

Vous trouverez par exemple des diagrammes d'espace-temps du modèle de Friedmann-Lemaître avec Ω_m=1 (densité d'énergie de la matière égale à la densité critique, courbure spatiale nulle, constante cosmologique nulle) dans cette page de la traduction en Français du cours de cosmo d'Edward Wright. Descendre dans la page jusqu'au titre Représentation par les diagrammes d'espace temps. Il n'y a qu'un axe d'espace représenté, mais comme les tranches spatiales à temps cosmologique constant sont homogènes et isotropes la représentation serait la même pour les autres axes.

Pour obtenir les mêmes diagrammes dans les autres cas, avec courbure spatiale et/ou constante cosmologique non nulles, c'est un peu plus compliqué, sauf dans les cas extrêmes où seul l'un des trois paramètres (densité d'énergie de la matière, courbure spatiale, constante cosmologique) est non nul.
En particulier dans le cas où Ω_m=1, le facteur d'échelle a(t) vaut a₀(t/t₀)^2/3.

[Mailou75]

Salut,

Mailou et pachacamac,

Vous trouverez par exemple des diagrammes d'espace-temps du modèle de Friedmann-Lemaître avec Ω_m=1 (densité d'énergie de la matière égale à la densité critique, courbure spatiale nulle, constante cosmologique nulle) dans cette page de la traduction en Français du cours de cosmo d'Edward Wright. Descendre dans la page jusqu'au titre Représentation par les diagrammes d'espace temps. Il n'y a qu'un axe d'espace représenté, mais comme les tranches spatiales à temps cosmologique constant sont homogènes et isotropes la représentation serait la même pour les autres axes.

Pour obtenir les mêmes diagrammes dans les autres cas, avec courbure spatiale et/ou constante cosmologique non nulles, c'est un peu plus compliqué, sauf dans les cas extrêmes où seul l'un des trois paramètres (densité d'énergie de la matière, courbure spatiale, constante cosmologique) est non nul.
En particulier dans le cas où Ω_m=1, le facteur d'échelle a(t) vaut a₀(t/t₀)^2/3.

Je les connais bien ces trois là (lumière en forme de poire, cône évasé et cône droit). C’est pour ça que je disais qu’on a choisi arbitrairement le premier (poire) comme étant physique pour pouvoir dire «l’espace s’étend» car pour les deux autres il aurait fallu dire «la matière se contracte dans un espace fixe». D’où le parallèle avec les systèmes de coordonnées pour les trous noir où on admet, raisonnablement, que chacun est aussi juste que faux.

Comme ici de toute façon on est en espace plat n’est-ce pas hors sujet ?

[yves95210]

Comme ici de toute façon on est en espace plat n’est-ce pas hors sujet ?

C'était juste pour répondre à la question de pachacamac sur la possibilité de représenter une courbure 4D (en tenant compte de ta réponse : en supprimant une ou deux dimensions, ce qui ne pose pas de problème dans le cas de FLRW grâce à sa symétrie).

[pachacamac]

Bonjour,

Avant de vous relaisser la parole pour vos questions/réponses sur la signification et la représentation des courbures dans des espaces 4D et 3D, j'ai encore une petite question basique pour mieux comprendre ce que l'ai lu dans vos échanges.

C'est à propos de la pluie (tombante) = particules test qui tombent depuis l'infini, parties avec une vitesse initiale nulle.

Je me demande qu'est ce qui peut arriver à une goutte de cette pluie durant son existence? et aussi que peut t'il y avoir d’intéressant dans sa ligne d'univers qui mérite d'être représenté dans un diagramme de Mailou de Kruskal ou de Penrose ?

Dans le monde physique, j' imagine qu'elle peut seulement accélérer et/ou changer de direction, puis s'il est elle postulée comme étant éternelle, elle peut soit tomber dans un trou noir pour finir avalé par sa singularité (si celle-ci existe) ou rejoindre tranquillement l'infini futur sans être passé par la case trous noirs.

Dans un diagramme d'espace-temps je vois pas trop ce que ça apporte de la représenter...

ça changerait quelque chose si cette particule test avait une petite vitesse au départ (par rapport à c ).


Merci.

N.B. Pour voir ou revoir l'historique de l'évolution des connaissances sur les espaces courbes > une vidéo 1h 26 mn "Espaces courbes de Gauss à Perelman, en passant par Einstein" par Jean Pierre Bourguignon

[mach3]

Arf pourquoi ça ? En enlevant une dimension d'espace, ou deux... comme on fait d'habitude, pourquoi ça ne marcherait pas ?

Le problème c'est qu'enlever une dimension ou deux, c'est choisir une tranche, et donc on introduit de l'arbitraire. On risque de représenter quelque chose qui ne sera pas caractéristique de l'espace-temps mais de la tranche qu'on a choisi...
Cela étant dit, quand il s'agit de solutions de symétrie sphérique, une tranche radiale (à theta,phi constant) ne doit pas comporter tant d'arbitraire et ça demande réflexion. On y reviendra.

Sinon je ne suis pas d'accord avec ta dernière remarque, les maths servent ici à décrire une théorie géométrique donc j'ai tendance à penser que si on a la géométrie on peut se passer des maths.

Attention, ce n'est pas parce que c'est géométrique qu'on peut en faire des représentations correctes et/ou utile hélas. Il ne faut pas généraliser à toutes les géométries ce qu'on sait de la géométrie euclidienne.

Je me demande qu'est ce qui peut arriver à une goutte de cette pluie durant son existence? et aussi que peut t'il y avoir d’intéressant dans sa ligne d'univers qui mérite d'être représenté dans un diagramme de Mailou de Kruskal ou de Penrose ?

Dans le monde physique, j' imagine qu'elle peut seulement accélérer et/ou changer de direction, puis s'il est elle postulée comme étant éternelle, elle peut soit tomber dans un trou noir pour finir avalé par sa singularité (si celle-ci existe) ou rejoindre tranquillement l'infini futur sans être passé par la case trous noirs.

Dans un diagramme d'espace-temps je vois pas trop ce que ça apporte de la représenter...

ça changerait quelque chose si cette particule test avait une petite vitesse au départ (par rapport à c ).

Quand on s'intéresse aux géodésiques radiales de genre temps, on a trois comportements différents, caractérisés par une grandeur souvent notée E analogue à l'énergie mécanique newtonienne que l'on doit introduire lors de la résolution de l'équation des géodésiques.
Si E est négative, alors la vitesse coordonnée radiale (dr/dt, avec t et r les coordonnées temporelles et radiales de Schwarzschild) est d'abord positive, s'annule pour une certaine valeur de r (la culmination) puis est négative. Les particules tests ayant un E négatif sont appelés "gouttes" ("drip" en anglais). Elles proviennent de la singularité passée (dans le trou blanc), passent l'horizon passé, culminent, passent l'horizon futur et finissent à la singularité future.
Si E est nulle, alors la vitesse coordonnée tend vers quand r tend vers l'infini (culmination à l'infini), elle correspond d'ailleurs à la vitesse de libération newtonnienne. Les particules tests ayant un E nul sont appelées "pluie" ("rain" en anglais). Soit elles proviennent de la singularité passée et s'éloignent à l'infini (cas sortant), soit elles arrivent de l'infini et finissent à la singularité future (cas entrant).
Si E est positive, alors la vitesse coordonnée ne s'annule jamais. Les particules tests ayant un E positif sont appelées "grêle" ("hail" en anglais). Comme la pluie, soit elles proviennent de la singularité passée et s'éloignent à l'infini (cas sortant), soit elles arrivent de l'infini et finissent à la singularité future (cas entrant).
Le vocable "drip", "rain", "hail" a été popularisé par Taylor et Wheeler, voir par exemple ici : https://arxiv.org/pdf/1211.4337.pdf

La pluie présente un intérêt particulier parce que la description des géodésiques est plus "simple" que celles des gouttes ou de la grêle. La coordonnée r est la puissance 2/3 du temps propre pour la pluie, alors que pour les gouttes ou la grêle, il faut introduire un paramètre et r est en ( si grêle) de ce paramètre tandis que t est en ( si grêle) (impossible d'écrire r en fonction du temps propre de façon analytique).
Un autre intérêt est que les tranches d'espace orthogonales à la pluie sont de géométrie euclidienne (pour une raison assez obscure, peut-être une simple coïncidence, sujet abordé ici : https://forums.futura-sciences.com/a...incidence.html ).
Il y en a peut-être d'autres qui m'échappent. Il faudrait peut-être créer un autre fil, ou en réactiver un ancien sur le sujet.

Je reviens à la représentation éventuellement possible d'une tranche radiale (theta et phi constant).
Une difficulté importante se ressent en faisant une analogie avec une surface courbe (variété Riemannienne, pas Lorentzienne). Si on a comme donnée l'expression de la métrique dans un système de coordonnées u,v de cette surface courbe, on peut toujours réaliser le plongement de cette surface dans un espace euclidien (parfois en 3D, mais en général ce sera 4D).
Concrètement on exprime u et v en fonction de x,y,z (et w si 4D nécessaire) de façon à obtenir une expression de la métrique dans le système de coordonnées x,y,z(,w si nécessaire) qui soit celle d'Euclide. C'est comme ça qu'on fait pour trouver le paraboloïde de Flamm par exemple.
Faire la même chose avec une variété Lorentzienne, enfin, une coupe radiale de variété Lorentzienne, c'est donc faire un plongement mais dans un espace de Minkowski (parfois 2+1, parfois 3+1), pas dans un espace euclidien. Il faut exprimer les deux coordonnées de la variété dans les 3 à quatre coordonnées de l'espace-temps de plongement de façon à ce que l'expression de la métrique obtenue soit celle de Minkowski.
Là où je sens la difficulté est l'invariance par rotation hyperbolique de l'espace-temps de Minkowski dans lequel on va plonger notre tranche radiale. Cette invariance ne peut pas être concrétisée dans la représentation qu'on en fera (sur papier, écran, éventuellement maquette ou sculpture) car cette représentation sera intrinsèquement euclidienne et non minkowskienne. On pourrait, suivant la manière de faire le plongement, se retrouver avec des choses très différentes en apparence qui seront des représentations de la même chose. Cette difficulté n'existe pas avec un variété Riemannienne, car le plongement est invariant par rotation euclidienne tout comme la représentation qu'on en fera.

Mais bon, on peut faire un essai. Je dois y réfléchir.

m@ch3

[yves95210]

Salut,

Si ça vous intéresse il y a des graphiques dans les sections "Espace-temps de de Sitter" (plongement isométrique dans Minkowski 5D) et "Espace-temps anti-de Sitter" (immersion isométrique dans R²xR³) du chapitre "Solutions cosmologiques" du cours d'Eric Gourgoulhon. Mais j'avoue que je n'ai pas regardé ça de très près (ce sont les seules parties du cours que j'ai zappées).

[mach3]

Bon, je pose la démarche

Note : les exposants sont des indices haut, pas des puissances, sauf quand ils sont sur des parenthèses.

On a une expression de la métrique dans laquelle on a annulé et (tranche radiale) :
(avec et )

On veut effectuer un changement de t,r vers T,R,Z, avec donc une matrice de passage et son inverse, mais c'est son "inverse" qui nous intéresse en premier lieu (celle qui transforme T,R,Z en t,r) :


T,R,Z est tel que l'expression de la métrique est (avec , et ).

Si on applique la transformation sur la première expression de la métrique, cela donne :

et cela doit être égale à

Donc

Il faut déterminer les sachant et

Considérons le cas de la métrique de Schwarzchild en coordonnées de Schwarzschild, cela donne :



Ou encore :



C'est un système de 6 équations ( et allant de 0 à 2).
Considérons d'abord les 3 équations telles que :

(avec et )



On peut donc calculer chaque connaissant ou vice-versa.

Considérons les 3 équations telles que :

(on a si )

donc :




En utilisant le résultat précédent des équations telles que :





Chaque peut donc se calculer à partir d'un autre.

La suite plus tard.

m@ch3

PS : croisement avec Yves

[mach3]

Bon ben c'est la catastrophe, je trouve que est négatif... donc le plongement en 3D n'est pas possible sauf erreur, parce que des coefficients de la matrice de passage vont être imaginaires. Il faut donc faire un plongement en 4D (sauf erreur), et donc adieu la représentation...

m@ch3

[yves95210]

PS : croisement avec Yves

Je pense que ça vaut la peine que tu lises le chapitre du cours de Gourgoulhon sur les espace-temps maximalement symétriques (de Sitter et anti-de Sitter).

[pachacamac]

Merci beaucoup mach3, j'ai maintenant tout le vocabulaire nécessaire (en français et avec le vocabulaire techico-mathématique inclu ) pour comprendre tout les posts de ce fils.

[Mailou75]

Salut,

Bon ben c'est la catastrophe, je trouve que est négatif... donc le plongement en 3D n'est pas possible sauf erreur, parce que des coefficients de la matrice de passage vont être imaginaires. Il faut donc faire un plongement en 4D (sauf erreur), et donc adieu la représentation...

A nouveau joli calcul ! Par contre je n'ai pas compris ce que tu cherchais cette fois

La "courbure" d'un espace temps 1D+t nécessiterait au moins deux dimensions supplémentaires, qui ne sont ni du temps ni de l'espace (what else?), pour être représentée ?

Je constate que cette question, qui appelait plutôt une "réponse type à question récurrente", soulève en fait un vrai sujet : ce qu'on trouve en vulgarisation guise de déformations, à part pour le cas Flamm qui représente quelque chose pour une classe d'observateurs, n'a rien à voir avec la véritable déformation, même si on s'en doutait un peu.. mais le bordel dans vos réponses (ne le prenez pas mal, je vous remercierai toujours de répondre) montre que le passage vers une véritable représentation de cette courbure, autrement que mathématiquement, pose problème.

Tu as raison quand tu dis que toute géométrie ne peut pas être représentée, la bouteille de Klein peut faire exemple, mais j'avais l'espoir que toute la RG, réputée géométrique et décrivant le réel devait pouvoir être représentée. Dommage

A moins que tu n'aies trouvé de réponse entre temps, on va laisser tomber je crois.. enfin c'est toi qui bosse
Finalement ce qu'on a de mieux pour "justifier" les trajectoires, "sur" une surface, de toute une classe d'observateurs serait ta "commande" https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6536908 ?

A + sur d'autres fils

[ordage]

oui, c'est ça j'ai démontré qu'il n'y avait aucune geodesique de l'espace-temps de genre espace dans ces tranches. Je ne sais pas si c'est intéressant. La courbure sectionnelle est probablement une fausse piste.
m@ch3

Bonjour

En RG, on ne s'intéresse pas beaucoup aux géodésiques de type espace.

Mais, a priori elles existent et comme les géodésiques de type temps ou nul ce sont des lignes d'univers qui ont un caractère géométrique "intrinsèque" ( ne dépendent pas des coordonnées choisies qui ne sont qu'un moyen de les décrire).

En tant qu'objet géométrique, on voit mal comment elles pourraient être contenues dans une hypersurface spatiale puisque celle-ci est arbitraire et que toutes sont différentes (sauf s'il y existe une ligne d'univers géodésique de type espace commune à toutes les hypersurfaces spatiales possibles ??). Par ailleurs, s'il existait une hypersurface spatiale particulière, ayant cette propriété, cela briserait la covariance de la théorie.

Une géodésique de type temps devrait donc être une ligne d'univers dans l'espace-temps. Rappelons que c'est l' (hyper)cône de lumière qui délimite les intervalles de type temps (l'intérieur) et d'espace (extérieur) entre 2 événements, ceci régissant à la causalité.

Cordialement

[mach3]

A nouveau joli calcul ! Par contre je n'ai pas compris ce que tu cherchais cette fois

Je voulais trouver un changement de coordonnées qui permette de représenter une coupe de l'espace-temps de Schwarzchild à et constant plongée dans un diagramme de Minkowski 1D+2D. On aurait obtenue une surface courbe qu'on aurait peut-être pu exploiter. Pour cela il faut trouver les coefficients qui permettent de transformer les coordonnées t,r de Schwarzschild, en des coordonnées de Lorentz. Il n'y a pas de solution à ce problème dans le corps des réels.

La "courbure" d'un espace temps 1D+t nécessiterait au moins deux dimensions supplémentaires, qui ne sont ni du temps ni de l'espace (what else?), pour être représentée ?

Une coupe de l'espace-temps de Schwarzchild à et constant nécessiterait deux dimensions supplémentaires (probablement spatiales) pour être représentée correctement.
Il y a un théorème ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ent_de_Whitney ) qui démontre qu'il faut en général 2n dimensions pour représenter correctement le plongement d'une variété de dimension n. La plupart des variétés de dimensions 2 nécessitent un espace à 4 dimensions pour leurs plongements. Néanmoins il y a plein de variétés de dimensions 2 qui admettent un plongement en 3D (et ce sont les plus connues, vu que ce sont celles que nous expérimentons dans la vie de tous les jours, l'exemple le plus simple étant la sphère). Il y a donc certaines coupes 2D de certains espace-temps qui vont admettre un plongement en 3D (on peut peut-être trouver quelles conditions elles doivent remplir pour ce faire...), mais ce n'est pas la généralité.

Je constate que cette question, qui appelait plutôt une "réponse type à question récurrente", soulève en fait un vrai sujet : ce qu'on trouve en vulgarisation guise de déformations, à part pour le cas Flamm qui représente quelque chose pour une classe d'observateurs, n'a rien à voir avec la véritable déformation, même si on s'en doutait un peu.. mais le bordel dans vos réponses (ne le prenez pas mal, je vous remercierai toujours de répondre) montre que le passage vers une véritable représentation de cette courbure, autrement que mathématiquement, pose problème.

C'est le fameux "piège" du drap tendu. C'est séduisant en vulgarisation, on croit comprendre alors qu'en fait il n'y a aucun rapport entre ce drap tendu et la courbure de l'espace-temps.

Misner, Thorne et Wheeler, dans leur fabuleux pavé de 3 kilogrammes nommé "gravitation" nous disent :

Nothing seems more attractive at first glance than the idea that gravitation is a manifestation of the curvature of space, and nothing more ridiculous at a second glance.

traduction : "rien ne semble plus attractif que l'idée que la gravitation est une manifestation de la courbure de l'espace au premier coup d'oeil, et rien ne semble plus ridicule au second coup d'oeil". Pour reformuler, plus on entre dans le cambouis de la RG, plus on trouve que l'idée qui nous avait séduite au départ est totalement moisie.

Tu as raison quand tu dis que toute géométrie ne peut pas être représentée, la bouteille de Klein peut faire exemple

oui, elle nécessite un plongement en 4D, comme le tore plat.

m@ch3

[ordage]

Bonjour

En RG, on ne s'intéresse pas beaucoup aux géodésiques de type espace.

Mais, a priori elles existent et comme les géodésiques de type temps ou nul ce sont des lignes d'univers qui ont un caractère géométrique "intrinsèque" ( ne dépendent pas des coordonnées choisies qui ne sont qu'un moyen de les décrire).

En tant qu'objet géométrique, on voit mal comment elles pourraient être contenues dans une hypersurface spatiale puisque celle-ci est arbitraire et que toutes sont différentes (sauf s'il y existe une ligne d'univers géodésique de type espace commune à toutes les hypersurfaces spatiales possibles ??). Par ailleurs, s'il existait une hypersurface spatiale particulière, ayant cette propriété, cela briserait la covariance de la théorie.

Une géodésique de type temps devrait donc être une ligne d'univers dans l'espace-temps. Rappelons que c'est l' (hyper)cône de lumière qui délimite les intervalles de type temps (l'intérieur) et d'espace (extérieur) entre 2 événements, ceci régissant à la causalité.

Cordialement

Compléments
En métrique de Schwarzschild, les orbites circulaires entre l'horizon r = 2GM et la sphère des photons r = 3GM sont des géodésiques de type espace (je pense avoir fait le bon calcul).
Sous l'horizon, où les 4 coordonnées sont de type espace, en métrique de Painlevé, il existe des lignes d'univers, dont des géodésiques, de type temps.
Cordialement

[Mailou75]

Salut,

En RG, on ne s'intéresse pas beaucoup aux géodésiques de type espace.
Mais, a priori elles existent et comme les géodésiques de type temps ou nul ce sont des lignes d'univers qui ont un caractère géométrique "intrinsèque" ( ne dépendent pas des coordonnées choisies qui ne sont qu'un moyen de les décrire)

Elles existent... pourquoi pas, mais que décrivent-elles de physique ? Personne ne les parcourt puisqu'il manque la dimension du temps. Elle ne sont pas le reflet des longueurs propres, ni le "plan" sur lequel on projette le cône passé pour fabriquer une image, elle ne sont pas les "t constant" d'une famille d'observateurs, que sont elles en fait ?

(sauf s'il y existe une ligne d'univers géodésique de type espace commune à toutes les hypersurfaces spatiales possibles ??). Par ailleurs, s'il existait une hypersurface spatiale particulière, ayant cette propriété, cela briserait la covariance de la théorie.

Apparement, de la manière dont on définit cette surface, elle ne peut être unique puisque liée à un observateur. Il y a autant "plans-géodésiques" (ça vous va comme diminutif ? ) que d'observateurs, donc une infinité.

En métrique de Schwarzschild, les orbites circulaires entre l'horizon r = 2GM et la sphère des photons r = 3GM sont des géodésiques de type espace (je pense avoir fait le bon calcul).

J'ai dans l'idée qu'une "orbite" décrit un mouvement donc du temps... tu parles de la trajectoire ou de la ligne d'univers ? Et au dessus, il y a bien des trajectoires circulaires, tout dépend de la vitesse. En fait que dis tu ? lol

.............

Je voulais trouver un changement de coordonnées qui permette de représenter une coupe de l'espace-temps de Schwarzchild à et constant plongée dans un diagramme de Minkowski 1D+2D.

C'est quoi "plonger dans un Minkowski" ? Il y a bien tout un tas de petits Minko dans un Schwarzschild, bien que déformés, mais l'inverse je ne vois pas... Newton+/Painlevé nous donneraient un espace (t cst, je précise maintenant...) plan et un temps pour les "comobiles" courbe, ce sont déjà des Minkowski pour trou noir, non ?

C'est le fameux "piège" du drap tendu

Je n'en ai jamais espéré grand chose je t'avoue... par contre j'attendais plus de ce fil. Je ne sais pas ce que j'attendais... bien sur que la première approche va traiter la coupe spatiale, avec les subtilités qu'on a vu, mais pour en tirer quoi... pas grand chose sur les trajectoires. Et même en ajoutant la dimension du temps, on aurait un volume qui "contient" mais ne justifie pas. J'imaginais plus une surface courbe (comme le lien avec Novikov/Newton+) qui serait le "support" des lignes d'univers, matérialisant la formule "géodésiques de l'espace-temps", les lignes droites en "espace-temps courbe" (pas seulement espace). Mais ces surfaces on les connaît déjà, ce sont les trajectoires dans les différents repères, ceux capables de tourner autour de l'axe r=0 pour ajouter une dimension d'espace, et on sait qu'elles ne sont qu'une représentation arrangeante (en r;t par exemple) mais pas les "géodésiques 4D" qu'on cherche

Bon... merci d'avoir participé, et joyeuses fêtes à tous

[ordage]

Salut,



1-Elles existent... pourquoi pas, mais que décrivent-elles de physique ?
2-Personne ne les parcourt puisqu'il manque la dimension du temps.
3- Elle ne sont pas le reflet des longueurs propres, ni le "plan" sur lequel on projette le cône passé pour fabriquer une image, elle ne sont pas les "t constant" d'une famille d'observateurs, que sont elles en fait ?

Bonjour

1- Elles participent à la description de la structure de l'espace-temps, ce qui permet de mieux la comprendre . Par exemple dans les coordonnées de Kruskal elles décrivent, entre autres, la structure du "pont de Rosen-Einstein (trou de ver) " reliant l'espace et l'anti -espace. Kruskal y consacre une partie importante de son court article présentant ses coordonnées.
2- Les géodésiques de type espace, comme celles de type temps et celles nulles sont des lignes d'univers dans l'espace-temps, décrites par les 4 coordonnées par exemple (t, x, y, z).

Simplement c'est le signe du ds² qui les distingue.

Ceci est déjà le cas en RR. Si on écrit ds²= -c²dt²+ dx²+ dy²+dz² , pour une géodésique de type espace on a ds² >0 , ce qui veut dire que (dx²+dy²+dz²) >c²dt². Le temps est bien représenté mais "inférieur" à l'espace.

Comme ds² est un invariant, il ne dépend pas des coordonnées, on lui attribue un caractère physique, cf Minkowski qui déclarait que seul le ds² avait un caractère physique, le temps et l'espace étant réduit à n'en être que ses "ombres" (référence à l'allégorie de la caverne de Platon).

3- Voir réponse 1. Voir aussi le post "Quid des géodésiques de type espace" pour quelques calculs.

Il ne faut pas se laisser perturber par les possibilités de feuilletage de l'espace-temps qui peuvent être utiles mais n'ont pas de caractère "physique".

Cordialement