LTB vs FLRW

[Mailou75]

Salut,

J’ouvre cette discussion demander des éclaircissements sur les bases d’un modèle supposant que l’univers n’est pas «strictement homogène» (c’est un fait puisque mon doigt et mon clavier sont de nature différente), modèle cher à Yves95210. Les citations sont issues du forum pro et mes questions n’ont rien à y faire.

avec une densité de matière ~50% de la densité moyenne dans les plus grands vides, Ω_mv~0,45*Ω_m

Je ne comprends pas bien, on applique un coefficient sorti du chapeau à une valeur qu’on sait «trop moyenne pour être vraie» et on en tire une nouvelle moyenne ? En fait dans les grands vides on devrait trouver Omega_m=0, non ? Du coup, que signifie cette valeur ?

Pourrais tu en quelques mots résumer l’apport de LTB en cosmologie et les grandes différences avec FLRW ?

ce qui correspond à une courbure négative telle que Ω_kv~0,24

Qu’est ce qu’une courbure négative en cosmo ? J’ai cru comprendre qu’une courbure positive en RG avait pour effet de faire se rapprocher des géodésiques. Ces dernières peuvent se rencontrer en un «centre» et donc j’associe bêtement la courbure positive de la cuvette avec son centre.

Une courbure négative aurait tendance à faire s’ecarter des géodésiques ? On pourrait alors expliquer l’expansion sans avoir besoin de mentionner l’existence d’un espace ? Pourtant, à l’extérieur d’un objet massique la courbure est, je crois, négative et pourtant les objets tombent bien vers un même centre ? Une courbure, positive ou négative, a-t-elle nécessairement un centre ?

Yves, tes citations ont semé le doute.
Si tu as l’occasion d’éclaircir ces quelques points je t’en serai reconnaissant

Merci d’avance,

Mailou
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[yves95210]

Salut Mailou,

J’ouvre cette discussion demander des éclaircissements sur les bases d’un modèle supposant que l’univers n’est pas «strictement homogène» (c’est un fait puisque mon doigt et mon clavier sont de nature différente), modèle cher à Yves95210. Les citations sont issues du forum pro et mes questions n’ont rien à y faire.

J'essaierai de te répondre demain matin (là je n'ai pas le temps car ça risque de vite devenir compliqué. D'ailleurs tu aurais peut-être mieux fait de poser la question dans l'autre discussion).

Cordialement.

[Mailou75]

Ok ça roule, merci.
Ça m’arrive de poster en section pro mais pas là… c’est bien une «question de base»

[yves95210]

Bonjour,

Voici une première réponse, juste pour préciser quelques points; je rentrerai dans les détails plus tard.

Les citations sont issues du forum pro et mes questions n’ont rien à y faire.

On verra plus loin ce qu'il en est. Je vais essayer de te répondre sans trop sortir des règles de la section "questions de base", mais je vais avoir besoin d'écrire et commenter quelques équations (à ta portée : tu verras, ce n'est pas plus compliqué que Schwarzschild). Mais pas dans ce premier message.

Je ne comprends pas bien, on applique un coefficient sorti du chapeau à une valeur qu’on sait «trop moyenne pour être vraie» et on en tire une nouvelle moyenne ?

Non, il n'y a rien de "sorti du chapeau". Mais je vais devoir te le démontrer...

En fait dans les grands vides on devrait trouver Omega_m=0, non ? Du coup, que signifie cette valeur ?

Non. Les "vides" cosmiques sont des régions de l'espace où la densité d'énergie de la matière est nettement plus faible que la densité moyenne, mais ils ne sont pas vides. On y trouve d'ailleurs quelques galaxies, même si elles ont plus de mal à s'y former et sont moins nombreuses dans un (grand) volume d'un vide cosmique que dans le même volume de l'"univers moyen". C'est d'ailleurs le critère (sa densité en nombre de galaxie par volume) qu'on utilise pour déterminer à partir des observations que telle ou telle région de l'espace est un vide. Mais il vaudrait mieux parler de zone de sous-densité que de "vide".

Pourrais tu en quelques mots résumer l’apport de LTB en cosmologie et les grandes différences avec FLRW ?

Pas en quelques mots, mais on y reviendra. Je vais d'ailleurs tenter de faire une présentation un peu originale de FLRW, à partir de LTB (dont FLRW est un cas particulier), car je pense que certains concepts seront plus clairs pour toi en commençant par LTB (et en faisant le parallèle avec Schwarzschild que tu connais, qui n'en est qu'un autre cas particulier).

Qu’est ce qu’une courbure négative en cosmo ?

Premier point, la courbure spatiale n'est pas quelque-chose d'absolu, elle dépend du référentiel choisi, et du découpage en tranches spatiales (hypersurfaces à t constant) qui en découle.
En cosmologie, dans un modèle d'espace-temps spatialement homogène et isotrope (du moins à grande échelle) dont la métrique est FLRW, on choisit usuellement un référentiel dans lequel toutes(*) les particules "en chute libre" sont immobiles (les valeurs de leurs coordonnées spatiales ne changent pas, c'est l'espace qui grandit) et l'intervalle dt de la coordonnée de temps correspond à l'intervalle de temps mesuré par une horloge attachée à n'importe laquelle de ces particules. On parlera de particules "comobiles".
(*) Le "toutes" est autorisé (et même requis) par l'homogénéité et isotropie de l'espace à toute époque.

On verra que dans ce référentiel, les hypersurfaces à t constant peuvent être de géométrie euclidienne (courbure nulle), sphérique (courbure positive) ou hyperbolique (courbure négative).

J’ai cru comprendre qu’une courbure positive en RG avait pour effet de faire se rapprocher des géodésiques. Ces dernières peuvent se rencontrer en un «centre» et donc j’associe bêtement la courbure positive de la cuvette avec son centre.

Une courbure négative aurait tendance à faire s’ecarter des géodésiques ? On pourrait alors expliquer l’expansion sans avoir besoin de mentionner l’existence d’un espace ?

En l'occurrence, il n'y a pas de "centre". Ou plutôt on peut choisir arbitrairement un centre dans l'espace (par exemple la position de l'observateur) où en coordonnées sphériques, la coordonnée radiale vaudra 0.

Une courbure, positive ou négative, a-t-elle nécessairement un centre ?

Non, puisque l'espace est homogène. Donc on peut en choisir n'importe quel point comme étant le centre (l'origine du système de coordonnées). Comme sur une sphère (espace 2D de courbure positive) ou dans un plan (espace 2D de courbure nulle).

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

En fait le modèle de Friedmann-Lemaître (espace-temps spatialement homogène et isotrope, dont la métrique est celle de FLRW) n'est qu'un cas particulier d'un modèle plus général d'espace-temps spatialement isotrope mais dans lequel l'homogénéité n'est pas imposée. C'est le modèle de Lemaître-Tolman (les deux ayant établi cette solution de l'équation d'Einstein indépendamment dans les années 1930), que Bondi a revisité (et popularisé) plus tard en donnant à sa métrique la forme sous laquelle elle est utilisée aujourd'hui, raison pour laquelle on parle de métrique LTB.

La métrique LTB peut s'écrire

et l'équation d'Einstein conduit alors aux équations suivantes :

avec M(r) la masse (constante puisque les particules sont comobiles) contenue à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale r, et c²E(r) l'énergie totale d'une particule de masse unité et de coord radiale r.

est la densité volumique d'énergie de la coquille sphérique de coordonnée radiale r de d'épaisseur infinitésimale dr à l'instant t, et on note comme d'habitude la dérivée partielle (à r constant) d'une fonction par rapport à t et sa dérivée partielle (à t constant) par rapport à r.

Ces équations conduisent à des solutions de forme différente suivant le signe de E, de forme analogue à celles de Friedmann pour k=-1, 0 ou 1, à ceci près qu'elles dépendent de r, et qu'elles comportent un degré de liberté supplémentaire, t_b(r). Il y a donc au total trois paramètres M, E et t_b fonction de r, qu'il faut choisir pour obtenir une solution particulière.

Pour E=0 on obtient simplement



Pour E>0, qui correspond généralement mais pas toujours(*) à une courbure négative, on obtient



et pour E<0,



où le paramètre est une fonction de t et de r.

(*) En effet le scalaire de Ricci 3D est

et pour une valeur de r et donc de E données, son signe peut ne pas être constant. Mais tu peux oublier cette remarque pour le moment.

(à suivre)

[yves95210]

Dans les modèles cosmologiques dont on va parler, basés sur un "big bang" ayant eu lieu dans tout l'univers en t=0, le paramètre t_b(r) vaut 0 pour tout r : toutes les particules comobiles sont censées être issues au même instant de la singularité initiale (non physique) vers laquelle convergent toutes les géodésiques quand t tend vers 0.

Mais avant de parler cosmologie, on va d'abord faire un petit détour par Schwarzschild (et la gravitation newtonienne) : dans le cas où M'=0 pour tout r>0 (donc en espace-temps vide en-dehors d'une masse centrale M), la métrique LTB se ramène à celle de Schwarzschild exprimée dans le référentiel d'un "chuteur libre". Pour une particule de masse unité, on reconnaît dans l'équation

l'équation de conservation de l'énergie totale (énergie cinétique + énergie potentielle gravitationnelle), et on retrouve la formule de la vitesse de libération en posant E=0, correspondant au cas où une particule étiquetée par la coord radiale r part en t₀ de la sphère de rayon avec une vitesse initiale "vers le haut" exactement suffisante pour qu'elle atteigne l'infini avec une vitesse nulle.
Dans le cas E > 0, la vitesse initiale de la particule est supérieure à la vitesse de libération et elle atteindra donc l'infini; dans le cas E<0 la particule, même dotée d'une vitesse initiale "vers le haut" positive, finira par retomber vers l'origine.

Ceci pour répondre simplement à ta dernière question : en cosmologie, cela correspond aux trois cas,
- espace-temps "fermé" où le taux d'expansion initial n'est pas assez grand pour éviter que les particules comobiles finissent par "retomber" (où les géodésiques, issues d'une singularité initiale, convergent aussi vers une singularité finale en un temps fini) ;
- espace-temps "plat" où le taux d'expansion initial est exactement suffisant pour que les particules comobiles "ne retombent pas" ;
- espace-temps "ouvert" où le taux d'expansion initial est plus grand que cette valeur.

Ces trois cas sont donc possibles, en fonction des valeurs de la densité totale d'énergie et du taux d'expansion (mesurées à un instant quelconque t).
Mais si j'ai préféré commencer par LTB, c'est parce que la notion de "centre" (d'une tranche spatiale), d'énergie totale (et de potentiel gravitationnel) n'y sont pas définies de manière arbitraire.

On se ramène simplement au modèle de Friedmann-Lemaître et à la métrique FLRW en choisissant arbitrairement le centre du système de coordonnées et en considérant que, en plus d'être isotrope, l'espace est homogène à toute époque (donc ) et en posant et , avec k= -1, 0 ou 1.
On obtient ainsi la métrique FLRW

et la première équation de Friedmann


Compte-tenu de l'expression du scalaire de courbure spatiale locale de la métrique LTB,

et peut donc être assimilé à un "rayon de courbure" malgré l'absence de "centre" de l'univers dans la métrique FLRW. Ce rayon dépend bien sûr du temps (quand une sphère grandit, son rayon augmente).

Remarque 1 : quand on écrit la métrique FLRW sous cette forme, ce n'est que lorsque k=0 (espace "plat") qu'on peut choisir arbitrairement son facteur d'échelle a : on pose souvent a(t₀)=a₀=1 avec t₀=aujourd'hui, de manière que les distances comobiles soient égales aux distances physiques qu'on mesurerait aujourd'hui (si c'était possible...) dans la tranche spatiale à t constant.

Remarque 2 : je n'ai pas introduit la constante cosmologique (ou l'"énergie sombre") car pour le moment ça ne ferait que compliquer les équations sans rien changer sur le fond.

... à suivre. Mais je préférerais attendre que tu digères tout ça et, si tu n'as pas tout compris, que tu me poses des questions avant qu'on rentre dans le vif du sujet.

[yves95210]

... à suivre. Mais je préférerais attendre que tu digères tout ça et, si tu n'as pas tout compris, que tu me poses des questions avant qu'on rentre dans le vif du sujet.

... Je continue quand-même. Mais prends les choses dans l'ordre et assure-toi d'avoir bien compris ce qui précède (et posé les questions sur les points qui pourraient te paraître obscurs) avant d'attaquer la suite.

Je rappelle la forme générale de l'équation de Friedmann

qu'on peut aussi écrire (à l'époque actuelle), à l'aide des paramètres de densité normalisés par H₀ :


On dispose d'un modèle d'espace-temps spatialement homogène et isotrope, dont la courbure spatiale peut être négative, nulle ou positive.
Les observations du CMB nous disent que ce modèle est applicable à l'univers primitif, puisqu'il est quasiment homogène et isotrope. Elles nous disent aussi que la courbure spatiale y est nulle ou en tout cas négligeable.
L'équation de Friedmann se réduit alors (sans Lambda) à

où t_i est la date (en temps cosmologique) à laquelle le CMB a été émis, et la densité d'énergie de la matière, quasiment uniforme à cette époque.

La prise en compte d'un non nul n'y change rien : à l'époque actuelle on estime que et sont dans un rapport 0,3/0,7. Donc, en tenant compte du fait que est constante alors que la densité de matière évolue comme l'inverse du volume (et donc comme ), avec environ 1100 fois plus petit à l'époque du CMB qu'aujourd'hui (puisque le redshift du CMB vaut environ 1100), à cette époque les termes en et en de l'équation de Friedmann étaient dans un rapport 0,3*1100³ / 0,7. Donc le terme en était totalement négligeable devant le terme en .
Le terme en commence à ne plus être négligeable (il dépasse 1% du total) lorsque le redshift observé vaut environ 5, correspondant à un rapport environ 6 entre le facteur d'échelle a(t) à l'émission et le facteur d'échelle a₀ aujourd'hui.

Mais pour que les grandes (et petites) structures de l'univers puissent se former, il faut bien que les inhomogénéités de l'univers à l'époque du CMB y suffisent. A commencer par les grands vides cosmiques, ceux qui sont issus des plus grandes zones de sous-densité de l'univers primitif (il vaut mieux commencer par là, c'est plus simple que la formation des galaxies et des amas).

Ces grands vides ont comme caractéristique principale de présenter une densité assez homogène dans leur partie centrale pour qu'elle puisse être modélisée comme un mini-univers FLRW, mais avec une densité plus faible que la densité moyenne de l'univers observable.
D'autre part, quand on observe les (rares) galaxies que contiennent ces vides dans l'univers récent, on constate qu'elles ont une vélocité radiale moyenne qui les éloigne du centre du vide plus rapidement que ce qu'on obtiendrait en appliquant au vide le taux d'expansion H₀ de l'univers moyen (celui qu'on mesure à des échelles supérieure à 100 ou 150 Mpc, ou qu'on calcule à l'aide du modèle LambdaCDM à partir des observations du CMB, etc.).

Donc, en appliquant l'équation de Friedmann à la partie centrale d'un grand vide cosmique, de densité de matière par exemple (la moitié de la densité de matière moyenne à l'époque actuelle), on obtient

En divisant par H₀² et en remplaçant par

d'où

ou, en multipliant par H₀² et en divisant par H_v²,

On a donc nécessairement une courbure spatiale négative (k=-1) non négligeable, puisque son effet est supérieur à celui de la densité de matière.

C'est de là (et pas de mon chapeau) que sortait le bout de phrase que tu as cité, je remets le paragraphe complet ici :

les profils de vélocité des grands vides cosmiques (ceux qui doivent être issu des plus grandes zones de sous-densité de l'univers primitif) indiquent que leur taux d'expansion est aujourd'hui environ 5% plus élevé que celui de l'univers moyen (cf. la référence déjà citée), ce qui donne un H_v² environ 10% plus élevé que H₀². Pour une même valeur de Λ, ça donne un Ω_Λv~0,9*Ω_Λ, et avec une densité de matière ~50% de la densité moyenne dans les plus grands vides, Ω_mv~0,45*Ω_m. Avec Ω_m=0,3 et Ω_Λ=0,7, on doit donc avoir Ω_mv~0,13 et Ω_Λv~0,63, ce qui correspond à une courbure négative telle que Ω_kv~0,24.

Je ne détaille pas plus les calculs, ils sont à ta portée.

(à suivre)

[pachacamac]

Bonjour,

Pour me faciliter la digestion de ce post plutôt difficile, j'ai cherché via Google des précisions sur la métrique LTM. Celui ci m'a renvoyé sur cette discussion de fin 2019 sur futura sciences rubrique avancé dans laquelle yves95210 discute en 152 posts avec mach3 en explorant (avec calculs ) la métrique LTM sous l’œil vigilant de Mailou75.

J'ai tout lu rapidement sans quasi rien comprendre sauf quelques phrases par ci -par là mais je voudrais vous faire part de mon admiration pour votre maitrise de ce domaine.
Bravo!

je me permet une petite question basique ( ça laissera du temps à certain pour la digestion ) .

Y a t'il moyen d'expliquer simplement ce que sont E et M qui apparaissent si souvent (des fonctions (arbitraires? ) mais fonctions de quoi ?)

Encore Merci et chapeau bas pour votre savoir.

[yves95210]

Y a t'il moyen d'expliquer simplement ce que sont E et M qui apparaissent si souvent (des fonctions (arbitraires? ) mais fonctions de quoi ?)

C'est indiqué dans le message #5 juste en-dessous de l'expression de la métrique

M(r) la masse (constante puisque les particules sont comobiles) contenue à l'intérieur de la sphère de coordonnée radiale r, et c2E(r) l'énergie totale d'une particule de masse unité et de coord radiale r

[Mailou75]

Salut Yves,

Merci pour cette réponse plus que détaillée, je n'en demandais pas tant
Je reviens sur quelques points, en vrac

la courbure spatiale n'est pas quelque-chose d'absolu, elle dépend du référentiel choisi (...) En l'occurrence, il n'y a pas de "centre"

Quand on parle de l'application à un astre, le choix d'un observateur va modifier la représentation qu'il se fait de son environnement mais pas le fait qu'il y ait une masse, là... les autres observateurs seront d'accord pour parler de "masse centrale" il y a bien quelque chose d'absolu et une notion de centre
Pour moi la "courbure" était un terme générique pour dire que l'espace temps est "courbe" quelle que soit la représentation qu'on en fait (à l'opposé d'un espace temps plat, rectiligne), la "courbure" dont il était question en RG n'avait rien à voir avec le rayon de courbure de Gauss.
Peut être que je vis dans un quiproquo depuis un bail, lol...

les particules "en chute libre" sont immobiles (...) On parlera de particules "comobiles"

Amusant, je ne l'avais jamais vu en ces termes. Je voyais les objets comobiles comme des centres galactiques qui auront été de tout temps immobiles quand tout tournait autour d'eux, par définition "immobiles dans d'espace". L’homogénéité de la matière ne signifiait pas pour autant une absence d’évolution, mais une évolution "similaire" partout. Ca doit quand même changer deux trois choses... les équations de FLRW supposent-elles vraiment qu'aujourd'hui l'univers est peuplé d'atomes d'hydrogènes espacés régulièrement ?

Non, puisque l'espace est homogène. Donc on peut en choisir n'importe quel point comme étant le centre (l'origine du système de coordonnées). Comme sur une sphère (espace 2D de courbure positive) ou dans un plan (espace 2D de courbure nulle)

Oui alors ça c'est plus la courbure de Gauss si je ne me trompe pas ? La sphère aurait une courbure intrinsèque mais un "centre" uniquement par plongement dans une dimension supplémentaire. Je ne fais pas vraiment de lien, voir plus haut.
A quelle point cette courbure là est elle physique : si on connaît le rayon de courbure et la distance d'un espace, peut on savoir quand on est revenu à son point de départ, ou est-ce plus abstrait que ça ?

en posant E=0 (...) avec une vitesse initiale "vers le haut" exactement suffisante pour qu'elle atteigne l'infini avec une vitesse nulle.
Dans le cas E > 0, la vitesse initiale de la particule est supérieure à la vitesse de libération et elle atteindra donc l'infini; dans le cas E<0 la particule, même dotée d'une vitesse initiale "vers le haut" positive, finira par retomber vers l'origine.

Ceci pour répondre simplement à ta dernière question : en cosmologie, cela correspond aux trois cas,
- espace-temps "fermé" où le taux d'expansion initial n'est pas assez grand pour éviter que les particules comobiles finissent par "retomber" (où les géodésiques, issues d'une singularité initiale, convergent aussi vers une singularité finale en un temps fini) ;
- espace-temps "plat" où le taux d'expansion initial est exactement suffisant pour que les particules comobiles "ne retombent pas" ;
- espace-temps "ouvert" où le taux d'expansion initial est plus grand que cette valeur.

Alors autant je comprends bien le premier paragraphe, parce qu'on l'avait étudié (E>0) avec Mach3 et Zef, autant je ne trouve pas de correspondance avec le second. Dans le premier paragraphe, masse centrale, on étudie des particules test négligeables. A la question de savoir si elle retombent ou pas, le sujet n'est pas de savoir si c'est vers un centre commun, ce point est réglé dès l'énoncé du problème.

Dans le second, on sent bien le parallèle avec "trajectoire avec point culminant/vitesse de libération/vitesse non nulle à l'infini" mais concrètement de quoi parle-t-on ? Les particules test se mettent à jouer le rôle de masse "éparpillée", et la distance entre elles suit la relation qui existe entre un astre et une poussière car le paramètre "courbure" est de même nature physique ?

peut donc être assimilé à un "rayon de courbure" malgré l'absence de "centre" de l'univers dans la métrique FLRW. Ce rayon dépend bien sûr du temps (quand une sphère grandit, son rayon augmente)

Tu pourrais préciser ce point ? Quel est le rapport entre un rayon de courbure et un facteur d'échelle ?
Dans le modèle actuel on a bien une courbure nulle et pourtant un facteur variable.

Je ne détaille pas plus les calculs, ils sont à ta portée

Hehe, tu présumes trop de mes capacités. De tes calculs , j'ai cru être fier en comprenant que M'=0 voulait dire que la masse ne variait pas dans le temps, mais en fait tu dérives par rapport à r... je l'avais oubliée, elle m'a toujours posé problème chez LTB, je ne la comprend pas physiquement. Et s'il n'y avait que ça.. retrouver Shapiro à partir de Schwarzschild en mettant tous les coefficients à 0 (lumière) est le seul exploit que j'ai pu faire avec une "métrique". Donc quand je vois le passage de la métrique à ses conséquences sur la formule généraliste de Einstein, je me dis que je peux très bien vivre sans... tu rèves si tu penses que je suis tes calculs.

Désolé de te décevoir, dans la phrase "On a donc nécessairement une courbure spatiale négative (k=-1) non négligeable" les termes "donc" et "nécessairement" te regardent, pas à cause de la complexité des formules (tu m'as définitivement largé soit dit en passant), mais parce que toutes les autres sont bien expliquées, donc on arrive à suivre, là t'es allé vite. Ne va pas croire que je demande le détail, c'est de l'explication dont j'ai besoin.

D'une manière générale je ne porte d’intérêt à une formule que si je sais ce qu'elle veut dire, que je suis capable de m'en servir, et que je puisse m'en servir pour faire une application numérique et une représentation pour "comprendre". Je te rappelle que je ne comprends que ce que je vois, les formules me sont muettes. On avait bien essayé à l'époque avec Mach3 et toi d'étudier le cas d'un anneau de poussière mais ça avait capoté, faute au temps libre de chacun je suppose... y'a que comme ça que j'avance perso, avec des exemples.

Pour finir, tu me demandes de "digérer" le contenu de tes premières réponses. Comme tu le vois, il y a dans mes questions quelque chose de bien plus basique. Comprendre les calculs n'est pas mon objectif, mais je suis sur que certains lecteurs en seront friand, d'autant que c'est bien expliqué et que c'est pas une théorie mise en avant. Alors que, comme tu l'expliques, elle généralise les solutions particulières que sont le trou noir ou la cosmologie... c'est pas rien.

Encore merci pour tes réponses

Mailou

[yves95210]

Salut,

Quand on parle de l'application à un astre, le choix d'un observateur va modifier la représentation qu'il se fait de son environnement mais pas le fait qu'il y ait une masse, là... les autres observateurs seront d'accord pour parler de "masse centrale" il y a bien quelque chose d'absolu et une notion de centre
Pour moi la "courbure" était un terme générique pour dire que l'espace temps est "courbe" quelle que soit la représentation qu'on en fait (à l'opposé d'un espace temps plat, rectiligne), la "courbure" dont il était question en RG n'avait rien à voir avec le rayon de courbure de Gauss.
Peut être que je vis dans un quiproquo depuis un bail, lol...

Effectivement la courbure dont il est question dans les équations de la RG est celle de l'espace-temps 4D, et pas la courbure intrinsèque de ses hypersurfaces "spatiales" 3D, qui dépend du découpage qu'on fait (et donc souvent du temps propre de l'observateur, puisque celui-ci va avoir à définir les tranches de simultanéité suivant son point de vue; on le voit bien avec le système de coordonnées de Schwarzschild, par exemple).

La particularité en cosmologie, c'est qu'en appliquant le modèle de Friedmann-Lemaître, on se permet de définir un temps absolu, que tous les observateurs comobiles verront comme leur temps propre. Par conséquent les tranches de simultanéité (les hypersurfaces spatiales orthogonales à dt) qu'on peut définir à partir de la métrique FLRW seront les mêmes pour tous les observateurs, et du coup leur courbure intrinsèque aussi.

Mais justement (en laissant pour le moment de côté le modèle de FL), quand on fait un découpage plus ou moins arbitraire en hypersurfaces spatiales il y a bien sûr un lien mathématique entre leur courbure intrinsèque et la courbure de l'espace-temps, et ce quelle que soit la métrique (et donc la géométrie de l'espace-temps dans la zone de l'univers qu'elle est censée modéliser).
Sans rentrer dans les détails (que je ne maîtrise pas et qui vont de toute façon beaucoup trop loin pour cette section du forum), dans le formalisme 3+1 de la RG, ce lien est fait par le tenseur d'expansion, qui représente l'ensemble des modifications que va subir un volume infinitésimal (expansion suivant chacun des axes des coordonnées spatiales, déformation des surfaces infinitésimales définies par deux de ces axes) lorsqu'on passe de l'hypersurface spatiale à t constant à celle à t+dt; ce tenseur n'est autre (au signe près) que le tenseur de courbure extrinsèque (dans l'espace-temps 4D).
Dans le modèle de FL, l'homogénéité et isotropie des hypersurfaces spatiales font que ce tenseur est le même en tout point de l'hypersurface à t constant, et qu'il se résume à un scalaire, le taux d'expansion (l'expansion étant la même valeur dans toutes les directions de l'espace, un volume ne fait que s'expandre sans se déformer). Et évidemment Friedmann et Lemaître n'ont pas eu besoin de connaître le formalisme 3+1 de la RG pour établir leur solution.

Mais ce qui est instructif même quand on n'est pas capable de suivre tous les développements mathématiques qui y conduisent, c'est que, quelle que soit la métrique de l'espace-temps, on arrive à une équation reliant les scalaires locaux qui ressemblent furieusement à l'équation de Friedmann :

où est le scalaire de courbure intrinsèque 3D, taux d'expansion d'un volume infinitésimal (trace du tenseur d'expansion) et un taux de "cisaillement" (rate of shear en anglais) du même volume, déterminé à partir de la somme des produits de chaque paire de composantes du tenseur d'expansion.

Avec la métrique FLRW, on a évidemment et

ce qui fait que l'équation locale ci-dessus se transforme simplement en une équation globale, celle que Friedmann a établie par d'autres moyens au début des années 1920.
Mais ce n'est évidemment pas le cas en général, et pour passer des équations locales de la RG à des équations reliant les scalaires moyens à grande échelle, il faut disposer d'une procédure appropriée (c'est l'objet des travaux théoriques de Thomas Buchert à la fin des années 90, dont j'ai déjà parlé).

C'est une des raisons pour lesquelles j'avais utilisé la métrique LTB (pour modéliser l'évolution des grandes structures, pas celle de l'univers dans sa globalité, évidemment): même si, du fait de la symétrie sphérique qu'exige cette métrique, le modèle n'est pas très fidèle à la réalité, il permet de calculer analytiquement les valeurs du taux d'expansion et du taux de cisaillement locaux, et donc d'appliquer rigoureusement la procédure de Buchert pour établir les équations moyennes à grande échelle en tenant compte des inhomogénéités.

Et ça ne conduit pas forcément à un "univers moyen" qui évolue comme le modèle de Friedmann, même approximativement.

Amusant, je ne l'avais jamais vu en ces termes. Je voyais les objets comobiles comme des centres galactiques qui auront été de tout temps immobiles quand tout tournait autour d'eux, par définition "immobiles dans d'espace". L’homogénéité de la matière ne signifiait pas pour autant une absence d’évolution, mais une évolution "similaire" partout. Ca doit quand même changer deux trois choses... les équations de FLRW supposent-elles vraiment qu'aujourd'hui l'univers est peuplé d'atomes d'hydrogènes espacés régulièrement ?

Les équations de FL ne peuvent évidemment représenter l'évolution de l'univers qu'à très grande échelle, celle à laquelle on peut considérer que l'univers est peuplé non pas d'atomes d'hydrogènes mais de volumes d'espaces de contenu à peu près identique (ce qui, à l'époque actuelle, définit une échelle d'homogénéité de l'ordre de 150 Mpc)...

Sauf que c'est là qu'intervient le débat sur l'importance du terme de "backreaction" qui apparaît dans les équations moyennes de Buchert : plus l'univers est inhomogène à l'intérieur de ce volume (ce qui se traduit par les valeurs de la variance du taux d'expansion local et de la moyenne du taux de cisaillement), plus ce terme peut devenir important, et plus les équations moyennes à grande échelle peuvent différer de celles de Friedmann.


Je répondrai plus tard à la suite de ton message.

[yves95210]

Oui alors ça c'est plus la courbure de Gauss si je ne me trompe pas ? La sphère aurait une courbure intrinsèque mais un "centre" uniquement par plongement dans une dimension supplémentaire. Je ne fais pas vraiment de lien, voir plus haut.

Oui, c'est bien la courbure de Gauss (de l'hypersurface "spatiale" 3D). Quant au lien (avec la courbure de l'espace-temps 4D), c'est ce que j'ai essayé d'expliquer dans mon message précédent...

A quelle point cette courbure là est elle physique : si on connaît le rayon de courbure et la distance d'un espace, peut on savoir quand on est revenu à son point de départ, ou est-ce plus abstrait que ça ?

Oui, quand la courbure est positive (la géométrie est celle d'une hypersphère, surface 3D analogue à la sphère, surface 2D).
Mais évidemment pas quand elle est nulle ou négative, puisque dans ce cas l'univers n'est pas "fermé".

Alors autant je comprends bien le premier paragraphe, parce qu'on l'avait étudié (E>0) avec Mach3 et Zef, autant je ne trouve pas de correspondance avec le second. Dans le premier paragraphe, masse centrale, on étudie des particules test négligeables. A la question de savoir si elle retombent ou pas, le sujet n'est pas de savoir si c'est vers un centre commun, ce point est réglé dès l'énoncé du problème.

Dans le second, on sent bien le parallèle avec "trajectoire avec point culminant/vitesse de libération/vitesse non nulle à l'infini" mais concrètement de quoi parle-t-on ? Les particules test se mettent à jouer le rôle de masse "éparpillée", et la distance entre elles suit la relation qui existe entre un astre et une poussière car le paramètre "courbure" est de même nature physique ?

Dans le deuxième cas, celui d'un univers "de poussière" avec une densité de matière partout non nulle mais au moins isotrope (LTB) ou en plus homogène (FLRW), il faut bien sûr tenir compte de la masse cumulée des "poussières" contenues à l'intérieur de la sphère de coord radiale r (le théorème de Newton nous disant que la masse des coquilles sphériques de coord radiale > r n'ont pas d'influence gravitationnelle sur ces particules).

Mais (ce que les équations des solutions de la métrique LTB montrent bien, raison pour laquelle j'ai préféré commencer par ça plutôt que par FLRW où la notion de "centre" est arbitraire) le résultat est le même : suivant la vitesse initiale des particules, elle peuvent s'éloigner jusqu'à l'infini (dans le cas où E>0, correspondant à une courbure négative), ou finir par retomber vers le centre (dans le cas où E<0).

Dans le premier cas, celui des zones de sous-densité de l'époque du CMB, qui vont évoluer pour former les vides cosmiques, on a donc une expansion sans fin. Si ce n'est que ces vides n'étant que des régions de l'univers, leur expansion est contrainte par l'évolution du taux d'expansion moyen ; c'est d'ailleurs ce qu'on constate d'après les observations des vides cosmiques, et que reproduit bien un modèle LTB tenant compte de cette contrainte : elle conduit à la formation d'un "bourrelet" de surdensité dans la zone périphérique du vide (cf. la figure représentant les profils de densité des vides cosmiques que j'avais postée dans la discussion avec physeb; mais j'étais arrivé à quelque-chose de similaire dans mon modèle LTB avec E>0, en imposant qu'à la périphérie du vide le taux d'expansion local tende vers le taux d'expansion de l'univers moyen dans lequel ce vide est plongé).

Dans le deuxième cas, celui des zones de surdensité de l'époque du CMB, qui vont évoluer pour former les grandes structures (amas, superamas), l'expansion ralentit jusqu'à s'annuler (progressivement à partir du centre de la zone), et commence une phase de contraction. Si on s'en tient au modèle LTB, celle-ci conduit à la formation d'un trou noir qui va "avaler" progressivement toutes les coquilles sphériques de r croissant.
Ce n'est évidemment pas le cas en réalité, sinon on ne serait pas là pour en parler; mais pour aller plus loin il faut tenir compte de la pression résultant des vitesses propres des particules, celles-ci n'étant comobiles que "statistiquement". Sous l'effet de leurs interactions, leur énergie cinétique "de chute" se transforme en énergie cinétique de rotation. C'est la "virialisation", qui conduit à la formation des galaxies et des amas de galaxies.
On peut calculer la date à laquelle cette virialisation se produit pour chaque coquille de coord radiale r, et considérer (même si en réalité le processus doit avoir une certaine durée, non négligeable) qu'à partir de cette date la coquille ne se contracte plus, ce qui fige le rayon (physique) de la coquille. C'est très schématique mais ça peut donner une idée générale de l'évolution des zones de surdensité concernées.

Tu pourrais préciser ce point ? Quel est le rapport entre un rayon de courbure et un facteur d'échelle ?
Dans le modèle actuel on a bien une courbure nulle et pourtant un facteur variable.

Dans le modèle actuel le facteur d'échelle est arbitraire, justement parce que sa courbure spatiale est nulle (je l'avais précisé dans une remarque à la fin du message #6).

Dans le cas général (ce que j'avais montré à partir de la métrique LTB et de sa courbure spatiale locale) il y a bien un lien entre le facteur d'échelle de la métrique FLRW (telle qu'on la représente habituellement dans les cours d'initiation à la RG, avec son paramètre k=-1,0 ou 1), et la courbure.
Mais on peut s'affranchir de ce lien et rendre le choix du facteur d'échelle arbitraire (par exemple en fixant sa valeur à 1 aujourd'hui) en représentant la métrique FLRW sous une autre forme, faisant intervenir explicitement la courbure (c'est l'origine du petit malentendu que j'avais eu avec physeb; mais lui n'en est pas resté au niveau "initiation à la RG"...).

Mais (au moins en géométrie sphérique) dans "ma" représentation de la métrique FLRW le lien entre rayon de courbure de facteur d'échelle est évident, puisque l'évolution du rayon de courbure est dictée par celle du facteur d'échelle : toutes les distances sur une sphère grandissent comme son rayon, ce que tu peux vérifier facilement en 2D.

[yves95210]

Désolé de te décevoir, dans la phrase "On a donc nécessairement une courbure spatiale négative (k=-1) non négligeable" les termes "donc" et "nécessairement" te regardent, pas à cause de la complexité des formules (tu m'as définitivement largé soit dit en passant), mais parce que toutes les autres sont bien expliquées, donc on arrive à suivre, là t'es allé vite. Ne va pas croire que je demande le détail, c'est de l'explication dont j'ai besoin.

Je remets le passage dont tu parles ci-dessous (j'en profite pour y faire une petite correction) :

Donc, en appliquant l'équation de Friedmann à la partie centrale d'un grand vide cosmique, de densité de matière par exemple (la moitié de la densité de matière moyenne à l'époque actuelle), on obtient

En divisant par H₀² et en remplaçant par

d'où

ou, en multipliant par H₀² et en divisant par H_v²,

On a donc nécessairement une courbure spatiale négative (k=-1) non négligeable, puisque son effet est supérieur à celui de la densité de matière.

et je détaille les dernières lignes :

En multipliant par H₀² ça donne

et en divisant par H_v² ça donne (selon la définition des )


J'avais sauté une étape mais ce n'était pas bien compliqué

Quant à l'explication "avec les mains", elle n'est pas compliquée non plus : si le taux d'expansion d'une zone de sous-densité est le même de l'univers moyen mais que sa densité est plus faible, il faut bien que ce soit compensé (dans l'équation de Friedmann) par une courbure négative (puisqu'elle intervient avec un signe -, via le terme -k/a²). A fortiori si le taux d'expansion de la zone de sous-densité est plus grand que celui de l'univers moyen.

D'une manière générale je ne porte d’intérêt à une formule que si je sais ce qu'elle veut dire, que je suis capable de m'en servir, et que je puisse m'en servir pour faire une application numérique et une représentation pour "comprendre". Je te rappelle que je ne comprends que ce que je vois, les formules me sont muettes. On avait bien essayé à l'époque avec Mach3 et toi d'étudier le cas d'un anneau de poussière mais ça avait capoté, faute au temps libre de chacun je suppose... y'a que comme ça que j'avance perso, avec des exemples.

D'une certaine façon je suis comme toi (même si je vais un peu plus loin avec les équations) : j'ai besoin de faire des calculs numériques (et éventuellement des diagrammes) pour "visualiser" la signification des résultats théoriques.

Pour finir, tu me demandes de "digérer" le contenu de tes premières réponses. Comme tu le vois, il y a dans mes questions quelque chose de bien plus basique. Comprendre les calculs n'est pas mon objectif, mais je suis sur que certains lecteurs en seront friand, d'autant que c'est bien expliqué et que c'est pas une théorie mise en avant. Alors que, comme tu l'expliques, elle généralise les solutions particulières que sont le trou noir ou la cosmologie... c'est pas rien.

Tes questions ne sont pas si basiques que ça (sinon elles n'auraient pas demandé des réponses aussi longues...). Et j'espère que les réponses que j'essaie d'y apporter te permettront d'y voir plus clair, ainsi qu'à d'autres lecteurs éventuels, même plus friands de calculs - car il ne suffit pas d'être capable de suivre les calculs pour bien en comprendre la signification physique et pouvoir faire le lien avec les observations.

De mon côté, le détour par la métrique LTB et les simulations numériques que j'avais faites il y a quelques années pour modéliser l'évolution des zones de sous- et surdensité (avec les diagrammes qui en résultaient) m'ont bien aidé dans cette compréhension, y compris au sujet du modèle de Friedmann et de ses limites (ainsi que des raisons pour lesquelles le sujet des cosmologies inhomogènes est bien compliqué, en particulier sur le fait de savoir si les résultats qu'elles peuvent produire sont significativement différents de ceux du modèle LambdaCDM qui fait -presque- consensus aujourd'hui).

[yves95210]

Mais clairement, là on s'éloigne des "questions de base" auxquelles cette section du forum est dédiée...

[pachacamac]

Retour aux questions de base :

c'est quoi la ou les coordonnée(s) radiale d'une sphère ?

"c2E(r) = l'énergie totale d'une particule de masse unité et de coordonnée radiale r "

et les coordonnées radiale d'une particule ?

[yves95210]

Retour aux questions de base :

c'est quoi la ou les coordonnée(s) radiale d'une sphère ?

"c2E(r) = l'énergie totale d'une particule de masse unité et de coordonnée radiale r "

et les coordonnées radiale d'une particule ?

Comme on parle d'espace isotrope (identique dans toutes les directions) on utilise un système de coordonnées sphériques, appelées habituellement (), pour étiqueter les points de manière unique. En l'occurrence, que ce soit dans la métrique FLRW ou dans la métrique LTB, r ne représente pas une distance physique, puisque celle-ci est par exemple a(t)r en FLRW et varie en fonction de t, mais une simple "étiquette" à laquelle on demande simplement d'être une fonction croissante de la distance au centre à tout instant t, raison pour laquelle on parle de coordonnée radiale et pas de rayon (la "vraie" distance au centre) pour éviter les confusions.

Les coordonnées spatiales des particules comobiles sont constantes. En particulier (puisque l'expansion est la même dans toutes les directions à partir de l'origine du système de coordonnées), on peut parler de la sphère comobile de coordonnée radiale r et qui contient tous les points de coordonnées r (constante), , .

[pachacamac]

Merci beaucoup.

[Mailou75]

Salut Yves et merci,

Effectivement la courbure dont il est question dans les équations de la RG est celle de l'espace-temps 4D, et pas la courbure intrinsèque de ses hypersurfaces "spatiales" 3D, qui dépend du découpage qu'on fait (et donc souvent du temps propre de l'observateur, puisque celui-ci va avoir à définir les tranches de simultanéité suivant son point de vue; on le voit bien avec le système de coordonnées de Schwarzschild, par exemple)

Extrêmement intéressant... ceci devrait être un préambule à n'importe quelle tentative de vulgarisation de RG dans lequel le terme de "courbure" est récurent sans jamais être vraiment défini. Ce qui est une évidence pour ceux qui ont suivi le cursus normal n'est pas acquis par ceux qui prennent le train en marche...
Si je te suis, la courbure de l'espace temps est bien un terme générique sans équivalent mathématique mais il sera toujours possible, en tout point de l'espace, de définir une courbure locale, de Gauss, correspondant à la "forme de l'espace" si celui ci est plongé dans une dimension supplémentaire. En clair, dans le cas d'un trou noir, peut on dire que la "courbure locale" est celle d'un tore tangent localement au paraboloïde de Flamm ? Cad que localement, un tore n'a pas de courbure au sens de Gauss et effectivement, localement il n'y a jamais de courbure on est en espace temps plat, mais qu'à distance le fait que le volume tangent à la parabole soit un autre tore permet à celui qui se trouve près d'une masse de comprendre que l'espace temps n'est plus plat, à distance ?

La particularité en cosmologie, c'est qu'en appliquant le modèle de Friedmann-Lemaître, on se permet de définir un temps absolu, que tous les observateurs comobiles verront comme leur temps propre. Par conséquent les tranches de simultanéité (les hypersurfaces spatiales orthogonales à dt) qu'on peut définir à partir de la métrique FLRW seront les mêmes pour tous les observateurs, et du coup leur courbure intrinsèque aussi.

Oui ok, comme c'est "pareil partout" on peut parler en cosmo d'une courbure unique, à une date commune donnée je suppose...

du fait de la symétrie sphérique qu'exige cette métrique, le modèle n'est pas très fidèle à la réalité

Oui, c'est une question que je me posais, LTB va bien pour les modèles avec centre (type astre) mais ne le sera pas pour l'univers, dans le sens où la densité des coques concentriques pourrait être définie mais que des coques concentriques ne pourront jamais décrire la réalité, cad des variations de densité différentes selon la ligne de visée?

Oui, quand la courbure est positive (la géométrie est celle d'une hypersphère, surface 3D analogue à la sphère, surface 2D).
Mais évidemment pas quand elle est nulle ou négative, puisque dans ce cas l'univers n'est pas "fermé".

Alors courbure avec centre et nombre positif je conçois assez bien, c'est une sphère. Comment s'interprète géométriquement une courbure avec un chiffre négatif ?

raison pour laquelle j'ai préféré commencer par ça plutôt que par FLRW où la notion de "centre" est arbitraire) le résultat est le même : suivant la vitesse initiale des particules, elle peuvent s'éloigner jusqu'à l'infini (dans le cas où E>0, correspondant à une courbure négative), ou finir par retomber vers le centre (dans le cas où E<0).

C'est quoi un centre arbitraire ? Et je ne comprends toujours pas, dans le cas d'un astre, pourquoi on parle de courbure négative à l'extérieur alors que les géodésiques de chute libre auront tendance à se rapprocher (effets de marrée) ?

Ou alors je me méprends et la modélisation géométrique de la courbure va clairement dépendre de l'énergie de la particule et pas du lieu où elles se trouvent : une particule qui va retomber jugera que la courbure est positive tandis qu'une particule qui atteindra l'infini avec une vitesse non nulle jugera, en se trouvant pourtant au même endroit que la première, que la courbure est négative. Si c'est ce qu'il faut comprendre alors pourquoi parle-t-on de courbure positive à l'intérieur d'un astre et de courbure négative à l'extérieur alors que la notion de courbure est purement liée à une "particule observateur" ? Tout ceci m'embrouille grave...

c'est d'ailleurs ce qu'on constate d'après les observations des vides cosmiques, et que reproduit bien un modèle LTB tenant compte de cette contrainte : elle conduit à la formation d'un "bourrelet" de surdensité dans la zone périphérique du vide

Humm le vide qui s'étend plus vite que la moyenne va se heurter aux zone d'expansion moyenne. Si c'est vraiment ce qu'on observe pourquoi se trimbale-t-on encore FLRW ?

Mais (au moins en géométrie sphérique) dans "ma" représentation de la métrique FLRW le lien entre rayon de courbure de facteur d'échelle est évident, puisque l'évolution du rayon de courbure est dictée par celle du facteur d'échelle : toutes les distances sur une sphère grandissent comme son rayon, ce que tu peux vérifier facilement en 2D.

J'affectionne particulièrement le modèle hypersphèrique mais ne devrait on pas, dans ce cas, trouver dans l'univers des "triangles à trois angles droits". J'ai fait très tôt le constat de l'égalité entre rayon et circonférence dans un exercice tout bête au collège. Pourrais tu exposer en quoi "ta" représentation diffère ou reste fidèle au modèle actuel ?

Quant à l'explication "avec les mains", elle n'est pas compliquée non plus : si le taux d'expansion d'une zone de sous-densité est le même de l'univers moyen mais que sa densité est plus faible, il faut bien que ce soit compensé (dans l'équation de Friedmann) par une courbure négative (puisqu'elle intervient avec un signe -, via le terme -k/a²).

On aurait donc le choix entre variation du taux d'expansion local ou attribution d'une courbure de manière équivalente ? Pff j'y comprends plus grand chose, il va falloir revoir sérieusement les bases du sens de "courbure"...

le sujet des cosmologies inhomogènes est bien compliqué, en particulier sur le fait de savoir si les résultats qu'elles peuvent produire sont significativement différents de ceux du modèle LambdaCDM qui fait -presque- consensus aujourd'hui).

En admettant qu'on soit capable de modéliser un univers concentrique pour chaque ligne de visée (je ne sais pas si c'est réaliste, au moins jusqu'à des z>10), la "moyenne des courbures locales" ne retomberait-elle pas effectivement sur une "courbure moyenne générale", nulle en l’occurrence. Il faudrait être extrêmement précis pour qu'une telle modélisation soit capable d'être prédictive (ce que j'attends perso de la relève...)

Encore merci pour ton aide,

Mailou

PS : Tu peux faire une petite pause sur LTB, le temps de rattraper les lacunes, si c'est possible...

[yves95210]

Salut,

Oui ok, comme c'est "pareil partout" on peut parler en cosmo d'une courbure unique, à une date commune donnée je suppose...

Tu supposes bien.

Oui, c'est une question que je me posais, LTB va bien pour les modèles avec centre (type astre) mais ne le sera pas pour l'univers, dans le sens où la densité des coques concentriques pourrait être définie mais que des coques concentriques ne pourront jamais décrire la réalité, cad des variations de densité différentes selon la ligne de visée?

Représenter exactement la réalité, non. Mais en donner une assez bonne idée, peut-être, en appliquant localement la métrique LTB aux grandes zones de sous- et surdensité, et en considérant un modèle d'univers "gruyère" (les anglophones parlent de "swiss-cheese") constitué d'un background homogène dans lequel sont plongées les zones LTB.

Alors courbure avec centre et nombre positif je conçois assez bien, c'est une sphère. Comment s'interprète géométriquement une courbure avec un chiffre négatif ?

Une géométrie hyperbolique.

C'est quoi un centre arbitraire ?

Dans le modèle de Friedmann, n'importe-quel point de l'espace peut être pris comme "centre" (origine du système de coordonnées sphériques dans lequel on écrit la métrique), puisque l'espace est isotrope en tout point.

Et je ne comprends toujours pas, dans le cas d'un astre, pourquoi on parle de courbure négative à l'extérieur alors que les géodésiques de chute libre auront tendance à se rapprocher (effets de marrée) ?

Je n'ai pas parlé de courbure négative à l'extérieur d'un astre, mais pourquoi pas... Je te rappelle que la courbure spatiale dépend du référentiel choisi et du feuilletage en hypersurfaces spatiales orthogonales à la coordonnée de temps de ce référentiel. Si ce référentiel est celui d'un observateur "en chute libre" s'éloignant de l'astre avec une vitesse supérieure à la vitesse de libération (E>0 dans la métrique LTB), la courbure spatiale sera effectivement négative.

Mais je vois que tu as répondu toi-même à ta question :

Ou alors je me méprends et la modélisation géométrique de la courbure va clairement dépendre de l'énergie de la particule et pas du lieu où elles se trouvent : une particule qui va retomber jugera que la courbure est positive tandis qu'une particule qui atteindra l'infini avec une vitesse non nulle jugera, en se trouvant pourtant au même endroit que la première, que la courbure est négative.

Jusque-là, tout va bien...

Si c'est ce qu'il faut comprendre alors pourquoi parle-t-on de courbure positive à l'intérieur d'un astre et de courbure négative à l'extérieur alors que la notion de courbure est purement liée à une "particule observateur" ? Tout ceci m'embrouille grave...

C'est qui, "on" ? Parce que exprimé comme ça, effectivement il y a de quoi être embrouillé.

Humm le vide qui s'étend plus vite que la moyenne va se heurter aux zone d'expansion moyenne. Si c'est vraiment ce qu'on observe pourquoi se trimbale-t-on encore FLRW ?

Parce que quand on s'intéresse à l'évolution de l'univers à grande échelle (supérieure à l'échelle d'homogénéité), on suppose qu'on peut se contenter de l'approximer par un modèle FLRW, isotrope en tout point et de densité de matière homogène, égale à la densité moyenne observée (en faisant cette moyenne sur un volume assez grand).
Mais c'est justement ceci que contestent les partisans des cosmologies inhomogène. En particulier le choix d'un modèle FLRW pour l'"univers moyen" impose que sa géométrie n'évolue pas : s'il est né "plat" (comme les observations du CMB le confirment) il doit le rester.

J'affectionne particulièrement le modèle hypersphèrique mais ne devrait on pas, dans ce cas, trouver dans l'univers des "triangles à trois angles droits". J'ai fait très tôt le constat de l'égalité entre rayon et circonférence dans un exercice tout bête au collège. Pourrais tu exposer en quoi "ta" représentation diffère ou reste fidèle au modèle actuel ?

Pas "hypersphérique", mais hyperbolique (je suppose que c'est un lapsus).

Ce n'est pas "ma" représentation... Mais en tenant compte des inhomogénéités (et de la part croissante des vides cosmiques, de courbure négative, dans l'univers observable) il est possible que l'univers moyen s'écarte du modèle de Friedmann de manière significative depuis le début de la formation des grandes structures et présente une courbure moyenne négative, par exemple assez importante pour expliquer l'écart entre les valeurs de H₀ mesurées dans l'univers récent et la valeur calculée à partir des observations du CMB en appliquant le modèle LambdaCDM.

Sauf que, pour confirmer (ou réfuter) cette hypothèse, il faudrait être capable de mesurer cette courbure moyenne à grande échelle, et pour cela disposer d'observations assez précises et en quantité suffisante pour appliquer par exemple la méthode dont je parlais à la fin de ce message (ou celle dont on a parlé avec physeb dans l'autre discussion).

On aurait donc le choix entre variation du taux d'expansion local ou attribution d'une courbure de manière équivalente ? Pff j'y comprends plus grand chose, il va falloir revoir sérieusement les bases du sens de "courbure"...

Si par "variation" du taux d'expansion tu veux dire accélération de l'expansion (alors qu'en son absence on aurait affaire à une décélération), oui. Si ce n'est que ce n'est pas forcément un "ou" mais peut-être un "et".

En admettant qu'on soit capable de modéliser un univers concentrique pour chaque ligne de visée (je ne sais pas si c'est réaliste, au moins jusqu'à des z>10), la "moyenne des courbures locales" ne retomberait-elle pas effectivement sur une "courbure moyenne générale", nulle en l’occurrence. Il faudrait être extrêmement précis pour qu'une telle modélisation soit capable d'être prédictive (ce que j'attends perso de la relève...)

Comme dit plus haut, il ne s'agit pas de construire un modèle basé sur une métrique LTB couvrant tout l'espace-temps (et centré sur l'observateur, je suppose que c'est ce que tu entends par concentrique), mais seulement d'y répartir aléatoirement des "bulles" LTB de manière que, statistiquement, à grande échelle chaque ligne de visée traverse des régions sous-denses et des régions sur-denses en proportion équivalente à ce qu'on observe dans l'univers "réel" aux différentes époques (= aux différents redshifts).
Il ne s'agirait que d'un modèle-jouet, permettant éventuellement de montrer que l'univers évolue différemment de ce que prédit le modèle FL en partant des mêmes conditions initiales (contraintes par les observations du CMB) et éventuellement d'estimer l'ordre de grandeur de l'écart entre le taux d'expansion moyen d'un tel modèle et le H₀ calculé à partir de ces conditions initiales selon le modèle FL.

Mais ce n'est pas aussi simple que ça en a l'air. Le problème qui se pose est celui du "background" dans lequel on plonge ces "bulles", sur lequel il ne faut pas faire d'hypothèse a priori : par exemple, si on suppose que ce background est décrit par la métrique FLRW, et qu'à la frontière des "bulles" sphériques leur métrique LTB doit se "recoller" proprement avec la métrique FLRW du background (avec une courbure spatiale nulle et un taux d'expansion local égal au taux d'expansion calculé selon FLRW), on aboutit forcément à un un univers moyen FLRW...

[yves95210]

Si je te suis, la courbure de l'espace temps est bien un terme générique sans équivalent mathématique

Bien sûr que si, la courbure de l'espace-temps est bien définie mathématiquement. Elle est représentée par le tenseur de Riemann de l'espace-temps 4D.

mais il sera toujours possible, en tout point de l'espace, de définir une courbure locale, de Gauss, correspondant à la "forme de l'espace" si celui ci est plongé dans une dimension supplémentaire.

A condition de bien comprendre que celle-ci dépend du "point de vue" (celui de l'observateur, dans le référentiel dans lequel il est immobile).
Et de faire la différence entre la courbure extrinsèque, celle de l'espace 3D plongé dans l'espace-temps 4D, et la courbure intrinsèque (celle qu'on peut définir par exemple pour une sphère 2D - ou pour une hypersphère 3D -, sans avoir besoin d'imaginer qu'elle est plongée dans un espace de dimension supérieure). Mais là, sans les maths, ça devient compliqué (et avec les maths aussi).

[Mailou75]

Salut et merci pour ta patience

C'est un peu le bazar. Plutôt que répondre point par point, je vais tenter un résumé des avancées, et des régressions

......

Le modèle de cosmologie inhomogène tente d'appliquer une "métrique LTB" à des zones de sur- et sous-densité traduisant la nature filamenteuse de l'univers observé. Ces zones seraient réparties aléatoirement mais en quantité définie par ce qu'on peut percevoir aujourd'hui. Le but n'est pas de reproduire la réalité mais de pouvoir poster n'importe quel observateur et qu'il y voit "en moyenne" ce qu'on voit aujourd'hui.

La métrique LTB aurait pour effet de courber au cours du temps l'espace des observateurs comobiles. Une courbure négative pour les vides et positive pour les filaments, la première l'emportant en "quantité", l'espace aura une courbure générale négative. Selon tes calculs avec un rayon de courbure de 130 milliards d'AL, pour ma part je ne sais pas ce qu'est un un rayon de "courbure négative" mais c'est pas ta faute. Je suis allé voir le lien wiki, de la théorie à la pratique il y a un fossé...

Pour essayer de comprendre le sens de cette géométrie hyperbolique, au moins dans le principe : qu'on prenne la surface de hyperboloïde ou la version plane de Poinacré, les trajectoires semblent éviter un centre, comme si celui ci était répulsif, est-ce le sens d'une courbure négative des vides?

La cosmologie inhomogène est actuellement dans une ornière car appliquer localement du LTB en conservant du FLRW à grande échelle aurait pour effet de noyer le premier. Il conviendrait donc de redéfinir une nouvelle moyenne car la présence de bourrelets en périphérie des grand vides cosmiques indique qu'il y a tout de le même une "pression" des vides sur un univers moyen, dû au fait que :
A-Le taux d'expansion y est plus élevé que dans l'univers moyen
B-Il y a une courbure négative dans un univers moyen plat
C-Les deux
Apparemment ce serait C selon tes réponses. Pourtant tu as dit :

si le taux d'expansion d'une zone de sous-densité est le même de l'univers moyen mais que sa densité est plus faible, il faut bien que ce soit compensé (dans l'équation de Friedmann) par une courbure négative (puisqu'elle intervient avec un signe -, via le terme -k/a²).

J'y comprends que l'on peut "remplacer" l’absence de matière et donc un taux d'expansion local plus élevé par "de la courbure" négative. En fait j'y comprends pas grand chose...

Pour finir, ces études pourraient permettre d'expliquer les variations de mesure de Ho en fonction des moyens utilisés

......

Ensuite vient le sujet de la courbure. Tu as mis les pieds dans le plat (et c'est très bien) et complexifié un terme auquel je n'attachais jusqu'ici pas d'importance, à tort...

"On" je ne sais plus qui c'est mais je dirais qu'il n'agit pas seul, lol. Et la courbure positive de la cuvette (parabole) et négative de l'extérieur (hyperbole) pouvait tout à fait coller à la définition, pas cherché plus loin. Tu m'expliques qu'en fait il y a une correspondance :
E<0 courbure positive / chute libre avec point culminant / big crunch
E=0 espace plat : chute libre depuis l'infini / univers "stable" (genre celui qu'on connaît, petite expansion légère..)
E>0 courbure négative : vitesse non nulle à l'infini / big freeze ?
(et le signe > < est à l'envers par rapport au positif / négatif, remarque E n'est pas la courbure... mais ça trouble lol)

Bon soit, ça fait déjà une belle pilule... car il n'y a plus de "courbure de l'espace temps" absolue mais une courbure par observateur. Ce qui fait que quelle que soit la représentation que j'aurais pu m'en faire, c'était faux. Par exemple le paraboloïde Flamm c'est quoi, "la forme de l'espace extrinsèque pour les immobiles" (en plus je conçois à peu près le terme intrinsèque mais pas extrinsèque, c'est con...) d'ailleurs qu'est ce que c'est pour toi :

l'espace 3D plongé dans l'espace-temps 4D

Si je prends le cas chute libre depuis l'infini E=0, ça veut dire que pour cet observateur là, et tout le long de son trajet, l'espace temps est plat ? pourtant il chute...

......

Tu le vois le bazar ? enfin tu n'y es pour rien... et c'est plutôt positif, j'aime quand il y a du neuf. D'ailleurs coté cosmo LTB je crois avoir à peu près compris les objectifs, un peu moins la subtilité des mesures, à moins que je n'ai dit de grosse conneries, c'est aussi le but du résumé. En tout cas quand je vois les calculs, je sais que je n'irais pas beaucoup plus loin que la compréhension générale, et ça me va bien. Merci pour l'effort

Par contre, les formules pour application numériques LTB je suis preneur. Par exemple faire un comparatif les profils de vitesse, trajectoire, forme de l'espace (si ça veut encore dire quelque chose) entre planète/trou noir, boule de poussière et coque(s) de poussière, ça me dirait bien. Pour commencer petit avant de s'attaquer à l'univers lol.

Encore merci pour ton aide,

Mailou

[yves95210]

Salut,

Le modèle de cosmologie inhomogène tente d'appliquer une "métrique LTB" à des zones de sur- et sous-densité traduisant la nature filamenteuse de l'univers observé. Ces zones seraient réparties aléatoirement mais en quantité définie par ce qu'on peut percevoir aujourd'hui. Le but n'est pas de reproduire la réalité mais de pouvoir poster n'importe quel observateur et qu'il y voit "en moyenne" ce qu'on voit aujourd'hui.

Je rectifie un point : ce n'est pas "le" modèle de cosmologie inhomogène; c'en est juste un que je suis à peu près capable de comprendre (et peut-être d'expliquer).

La métrique LTB aurait pour effet de courber au cours du temps l'espace des observateurs comobiles. Une courbure négative pour les vides et positive pour les filaments, la première l'emportant en "quantité", l'espace aura une courbure générale négative. Selon tes calculs avec un rayon de courbure de 130 milliards d'AL, pour ma part je ne sais pas ce qu'est un un rayon de "courbure négative" mais c'est pas ta faute. Je suis allé voir le lien wiki, de la théorie à la pratique il y a un fossé...

Attention, mes calculs dépendent d'hypothèses (simplistes) sur les conditions initiales (et bien sûr du modèle). Il ne faut pas en prendre les résultats au pied de la lettre, il servent juste à illustrer l'idée.

Effectivement, parler de "rayon de courbure" n'a guère de sens dans le cas d'une courbure négative et on ne devrait pas employer cette expression (si je l'ai fait, c'est par erreur).
On peut se contenter de voir ça comme un paramètre de la dimension d'une longueur, qui donne l'ordre de grandeur des distances auxquelles l'effet de la courbure est détectable (en fonction de la précision des mesures) : par exemple en observant un objet dont on sait qu'il devrait être sphérique (dans une tranche d'espace à temps cosmologique constant) et en constatant que son diamètre suivant la ligne de visée est différent de son diamètre suivant un axe perpendiculaire à cette ligne (évidemment ce genre d'objet n'existe pas dans l'univers, mais on peut s'en approcher statistiquement en faisant une moyenne sur un grand nombre d'objets réels du même type, moyenne qui devrait donner une sphère si l'univers est bien isotrope à grande échelle).

Pour essayer de comprendre le sens de cette géométrie hyperbolique, au moins dans le principe : qu'on prenne la surface de hyperboloïde ou la version plane de Poinacré, les trajectoires semblent éviter un centre, comme si celui ci était répulsif, est-ce le sens d'une courbure négative des vides?

Oui.

(je répondrai peut-être plus tard à d'autres points de ton message)

[mach3]

Bon soit, ça fait déjà une belle pilule... car il n'y a plus de "courbure de l'espace temps" absolue mais*une*courbure par observateur. Ce qui fait que quelle que soit la représentation que j'aurais pu m'en faire, c'était faux. Par exemple le paraboloïde Flamm c'est quoi, "la forme de l'espace extrinsèque pour les immobiles" (en plus je conçois à peu près le terme intrinsèque mais pas extrinsèque, c'est con...

J'ai peur qu'il y ait toujours de la confusion, alors j'en rajoute une couche. La courbure de l'espace-temps est absolue. Elle ne dépend pas de l'observateur. Et elle est toujours là, quoi qu'on fasse.
Mais on peut découper l'espace-temps 4D en tranches 3D, qui auront elles-mêmes une courbure. Cette courbure là dépend de comment on a choisi les tranches, sachant qu'on peut faire quasiment tout ce qu'on veut, ce n'est qu'un étiquetage, sans lien obligatoire avec quoique ce soit de physique. Bien-sûr, si on veut que ces tranches soient de l' "espace", il y a quelques contraintes qui s'ajoutent, mais la liberté de choix reste énorme.

Exemple 3D purement spatial : on considère l'espace euclidien, la courbure est donc partout nulle. Si on choisi comme découpage des plans parallèles, les tranches 2D sont de courbure nulle, mais si on choisi des sphères concentriques, les tranches 2D sont de courbure positive (et la courbure est différente de tranche en tranche). Peu importe comment on a choisi de découper l'espace euclidien, celui-ci est toujours plat.

Exemple dans l'espace-temps de Schwarzschild, il y a une courbure de l'espace-temps, et on peut choisir, entre autre choses des tranches d'espace courbées (des paraboloides de Flamm par exemple) ou des tranches plates (espace euclidien, par exemple les tranches de coordonnées temporelle de Painlevé constantes).

Un aspect qui s'ajoute en plus vient du fait que le découpage présente un sens physique particulier, ce qui donne alors certaines correspondances entre la courbure des tranches et la dynamique d'objets qui ont une relation particulière avec la tranche d'espace (typiquement ceux dont les lignes d'univers sont orthogonales à la tranche).

m@ch3

[yves95210]

La cosmologie inhomogène est actuellement dans une ornière car appliquer localement du LTB en conservant du FLRW à grande échelle aurait pour effet de noyer le premier.

Ce ne sont que mes tentatives naïves de construire un toy-model de cosmo inhomogène qui sont dans une ornière (depuis trois ans...). Il ne faudrait pas que ça te donne une image fausse du sujet.
Oublie la métrique LTB, à moins que tu t'intéresses à la formation des structures (et, pour les vides cosmiques, à leur évolution jusqu'à aujourd'hui). Si je l'ai utilisée, c'est seulement parce que j'avais besoin d'une solution permettant de calculer les valeurs locales des paramètres qui interviennent dans les équations de Buchert (cf. message #11) pour en obtenir ensuite les valeurs moyennes à grande échelle.

Les cosmologistes ont d'autres moyens à leur disposition, en particulier une masse de données issues d'observations, et n'ont (heureusement) pas besoin de passer par un modèle nécessitant de connaître la métrique locale en tout point de l'espace(-temps) pour en déduire des valeurs moyennes à grande échelle.

[ordage]

Ce ne sont que mes tentatives naïves ...
.

Bonjour
Bravo pour ta modestie, je trouve ta contribution très pédagogique. D 'un point de vue expérimental , je suppose qu'on procède à des comptages de galaxies en fonction de z pour établir des régions de sur ou sous densité . Il est peut être utile de rappeler comment on calcule H0 pour les supernova SN1A (pour z<1) et par Planck.

Pour les SN1A, une approche astrophysique, la distance de luminosité et le décalage spectral sont 2 observables (des données expérimentales). On trace la courbe d'une observable en fonction de l'autre, on cherche parmi les modèles proposés ceux qui y sont compatibles. Dans le modèle sélectionné, dans une métrique de type FLRW la valeur de la distance de luminosité (paramètre expérimental) est défini par une fonction comportant une intégrale faisant intervenir "tous les omégas y compris celui de courbure " (qui dépendent de la "densité"), et de z, intégrale en facteur avec 1/H0. C'est comme cela qu'on calcule H0, pour une distance de luminosité donnée. Cela dépend de l'intégrale donc des omégas y compris celui de courbure ( dans cette métrique) qui s'il est nul au niveau global de l'univers, ne le sera pas dans une région en sur ou sous densité.
Les calculs peuvent donner l'effet en fonction de la sur ou sous densité. J'ai l'impression que malgré tout cette méthode est une approche de type perturbatif, valable si l'effet n'est pas trop important. Une approche rigoureuse serait plus complexe.
Pour l'approche cosmologique, environ z = 1100, on utilise la distance angulaire autre observable extraite du CMB (pic de la TF) et la taille de l'univers au moment du CMB qui faut calculer en fonction d'hypothèses pas très simples mais réputées fiables.
La formule qui est de même type que pour la distance de luminosité, contient également 1/H0 en facteur d'une intégrale et permet de le déduire.
Cordialement

[pachacamac]

Bonjour,

Merci Mailou et Yves pour ce très beau post.

J'y ai appris et compris beaucoup de choses

Je résume :
On a observé qu'il existe de nombreuses zones de sous et sur densité dans notre univers.(via le CMB?)
Pour les aborder théoriquement on modélise l'univers comme un gruyère dont les trous seraient des zones de sous ou surdensité.
On complète le modèle FLWR en lui ajoutant quelques paramètres pour exprimer l'effet de ces sous ou sur densités et cela donne le modèle LMT.
Ensuite, les plus calé en ce domaine, Buchert et compagnie, suivi de près par Yves se bagarrent avec les équations pour voir où cette piste les mènera.
Pour le problème des bourrelets à la jonction des zones avec des vitesse d’expansion différentes pas de soucis c'est un peu comme la création des embouteillages automobiles.

@ yves : "Ce ne sont que mes tentatives naïves de construire un toy-model de cosmo inhomogène qui sont dans une ornière (depuis trois ans...)."

T'inquiètes pas et persévère! Einstein aussi pendant dix ans a été dans le brouillard avant d'aboutir à sa formulation de la RG

Oublie la métrique LTB

Je pensais que c’était le sujet central du post



Je ne souhaites pas aborder les problèmes trop compliqués pour moi comme les paraboloides de Flamm " l'espace-temps de Schwarzschild, il y a une courbure de l'espace-temps, et on peut choisir, entre autre choses des tranches d'espace courbées (des paraboloides de Flamm par exemple) vu que d'une part c'est trop compliqué comme déjà dit et que d'autre part j'ai un ou plusieurs trains de retard sur vous. J' ai vu que vous aviez commencé un post là dessus en 2013

@mailou: un des graphiques que tu avais dessiné se trouve maintenant en première page de google-images quand on recherche " paraboloide de Flamm"






Maintenant j'en viens à ma ou plutôt mes deux questions par rapport aux réponses expertes données au cours de la discussion car ce qui a été dit bouleverse mes représentations des représentations que l'on peut faire sur l'univers observable.

Mach3 : "On peut découper l'espace-temps 4D en tranches 3D, qui auront elles-mêmes une courbure. Cette courbure là dépend de comment on a choisi les tranches, ...Bien-sûr, si on veut que ces tranches soient de l' "espace", il y a quelques contraintes qui s'ajoutent, mais la liberté de choix reste énorme."

Alors voilà j'y comprend plus rien.

Si on découpe l'espace temps 4D en "tranches 3D" d'espace, je pensais que cela revenait à fixer un temps pour un observateur comobile comme nous sur Terre ( par exemple T = - 10 MA par rapport au présent ) et à ce temps T fixé on regarde l'univers observable
Dans notre univers observable quelque soit la courbure global de cet espace, ( mis à par les inhomogénéités), puisque cette courbure est globale , elle devrait donc être la même partout dans l'univers ( dans mes représentatons) et donc ne pas dépendre de la manière dont on peut réaliser ces tranches spatiales ???

Tout éclairage bienvenue.

hypersurfaces "spatiales" 3D, qui dépend du découpage qu'on fait (et donc souvent du temps propre de l'observateur, puisque celui-ci va avoir à définir les tranches de simultanéité suivant son point de vue;

Oui, mais pour le temps propre de l'observateur, puisque c'est nous qui allons définir les tranches de simultanéités, ne pourrait t'on pas dire que l'observateur c'est nous et que c'est notre temps propre défini comme temps universel pour tous les observateurs comobile qui sera utilisé ?

Là aussi je suis dans le brouillard voir dans le noir complet.

Donc tout éclairage bienvenue.

Merci d'avance.

[Mailou75]

Salut à tous et merci pour votre participation,

@Yves95210

Je n'avais pas compris que l'utilisation de LTB venait de toi, je croyais que c'était Buchet qui l'avait introduit. Lui bosse avec des données concrêtes. Cela dit je t'avoue que j'ai tendance à préférer les toy models dont les principes sont clairement identifiés et dont l'utilisation est simple, ou presque... c'est la raison pour laquelle je m’intéresse seulement aux théories brutes (RR, Schwarzschild, FLRW) et absolument pas au nom des étoiles. Je t'engage donc moi aussi à poursuivre, d'autant plus si tes résultats concordent avec ceux de Buchet, au moins tu disposes d'une version sans doute bien plus didactique qu'un résultat concret "avec barres d'incertitude". Mieux vaut un modèle sans barres mais un peu faux quand on le compare au réel qu'un modèle fidèle avec tout un tas de paramètres correctifs, totalement impossibles à vulgariser. Du coup, qu'est ce qui te bloque depuis trois ans ?

Merci pour ton dernier "oui" par rapport au sens de la courbure négative et surtout pour m'avoir montré que j'étais ignorant de tout un pan de la RG. Je croyais avoir pas mal avancé, c'est le genre d'info qui met un coup au moral mais qui relance aussi mon intérêt sur le sujet : j'ai encore des points théorique inconnus à comprendre. Apparemment c'est pas gagné, ça présage un bon parquet de questions avant d'avoir cerné le sujet...

Non je n'abandonnerai pas le modèle LTB (bien qu'on ne puisse pas dire que je sois déjà entré dans le vif du sujet, je n'ai fait que glaner quelques informations auprès de mach3 et toi pour comprendre ce que j'étais capable de comprendre, pas bien lourd pour l'instant). Déjà parce que, comme tu l'expliques, il est fédérateur et les modèles qu'on utilise aujourd'hui n'en sont que des cas particuliers. Ensuite parce que les modèles théoriques de boule ou de coque de poussière m'intéressent, comme je disais plus haut. On a pas pu aller au bout de l'expérience faute d'application numérique mais je ne désespère pas, et de toute façon j'avais quelques chats à fouetter avant de vous relancer. Mais une chose est sure, je n'ai jamais prévu d'abandonner LTB, j'ai pas mal de défauts mais je ne suis persévérant. Enfin, parce qu'un jour peut être je serai capable de représenter ton toy et de le "comprendre", au sens propre du terme

..........

@mach3

C'est la loose... courbure de l'espace, courbure de l'espace-temps, positive, négative, nulle en présence d'une masse, intrinsèque, extrinsèque, avec centre ou sans... vous venez de soulever un sujet que je n'ai pas d'autre choix que d'étudier. Seulement voilà, j'ai le regret de vous apprendre que je vais dépendre de vous, armez vous de courage et de patience ! lol
Pour le peu que j'en comprends, suite à cette remise en cause générale, on a le droit de découper l'espace temps en tranches de simultanéité. Si ce découpage correspond à ce que localement un plan soit perpendiculaire à la ligne d'univers d'un observateur, alors on pourra qualifier ce découpage d'espace. Je t'avoue que je ne m'intéresserai qu'à ceux là car je ne vois pas quelle utilité pourraient présenter d'autres découpages. Ça s’arrête à peu près là pour l'instant, et je vais devoir amorcer une série de questions pour commencer à "classer" les représentations que je connais déjà pour savoir à quoi elles correspondent :
- Quand tu parles de courbure absolue de l'espace temps, quelle est elle ? positive, négative, les deux? En a-t-on une représentation ?
- La parabole de Flamm c'est quoi, l'espace des immobiles ? Je dis ça parce que les longueurs sont celles mesurées localement par les immobiles. Et aussi car dans nos récents échanges sur les "orthogonalités pas forcément apparentes" tu semblais dire que les lignes d'univers des immobiles étaient perpendiculaires à Flamm.
- De la même manière l'axe des r chez Painlevé (puisque c'est le second exemple que tu prends) est-il l'espace des "gouttes de pluie" ? L’orthogonalité devenant apparente quand on passe en représentation Slide.
- Pourtant en coordonnées de Schwarzschild, les immobiles sont perpendiculaires à l'axe r. Ce découpage n'est-il pas classable en "espace" car ne il correspond à aucun observateur. Peut être celui à l’infini ?
- En fait il faudrait passer en revue tous les systèmes connus pour faire ressortir ceux qui ont un intérêt du point de vue de cette notion de "courbure d'espace".
- Quelles sont les courbures intrinsèques ? Quelles sont les courbures extrinsèques (avec petite définition rapide stp) ? Pourrais tu tenter un petit balayage du sujet qui permette aux ignorants de s'initier ?
- Et reste la question E=0. Celui qui chute depuis l'infini a constamment un espace plat ? Comment est-ce possible ?
- Et E>0... on pourrait modéliser un espace hyperbolique et y dessiner des trajectoires ? Comment faire ?
- Enfin (pour l'instant...) si en géométrie hyperbolique le postulat des parallèles est devenu "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinités de parallèles" , le pendant d'une courbure positive est-il "il n'existe aucune droite parallèle à une autre" au sens qu'elle ne se croisent jamais ?

..........

@Ordage

Merci pour ton intervention. Effectivement ce n'est pas une explication qu'on croise tous les jours. Je ne pensais pas que les domaines d'étude permettant de quantifier Ho étaient diamétralement opposés : z<1 ou z>1100 ! Je ne suis pas vraiment étonné que les deux pistes n'aboutissent pas au même résultat, lol.

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@pachacamac

Je vais peut être pouvoir t'aider sur un des points. Déjà il faut savoir que le temps cosmologique est un idéal que mesurerait une horloge dans le vide et loin de tout. Mais il faut aussi savoir que le fait d'être collé à la Terre, au milieu d'une galaxie etc n'a qu'un effet infime sur la vitesse d'écoulement du temps, même au bout de 13 milliards d'années ça ne doit pas faire lourd, du moins pas assez pour supposer que notre temps est différent du temps cosmologique. Pour commencer à avoir des divergences il faudrait être très proches d'un trou noir ou autre objet exotique...
Ensuite, comme le dis mach3 et comme je l'indique aussi plus haut, il n'y a que très peu de découpages qui vont présenter un intérêt et notamment, pour pouvoir parler d'espace il faut que ce découpage soit orthogonal localement au temps de l'observateur, sa ligne d'univers. D'ailleurs "l'espace" n'a pas vraiment d'autre définition car en espace temps 4D la seule chose qui soit concrète c'est les lignes d'univers qui le traversent.
En cosmo, et pour tous nos observateurs comobiles mesurant le même temps cosmologique et dont les trajectoires sont parallèles (immobiles entre eux), il n'existe qu'un seul espace 3D orthogonal à leurs lignes d'univers. Il est donc le même partout et s'il doit avoir une courbure (intrinsèque celle là apparemment) alors elle sera la même partout, à une date donnée.
Je dirais qu'ensuite, attribuer des caractéristiques physiques à l'Espace (avec un grand E, comme celle de s'étendre au cours du temps) est un abus de langage car à nouveau, tout ce qui compte ce sont les lignes d'univers qui vont s'écarter ou se rapprocher. On doit toutefois pouvoir attribuer une courbure à ce découpage en oubliant pas que ce n'est qu'un découpage 3D "arbitraire" d'un ensemble 4D.


Encore merci à vous,

Mailou

[yves95210]

Salut Mailou,

Je n'avais pas compris que l'utilisation de LTB venait de toi, je croyais que c'était Buchert qui l'avait introduit.

Ce n'est pas Buchert, mais d'autres cosmologistes utilisent LTB, l'idée ne vient pas de moi...

Pour le peu que j'en comprends, suite à cette remise en cause générale, on a le droit de découper l'espace temps en tranches de simultanéité. Si ce découpage correspond à ce que localement un plan soit perpendiculaire à la ligne d'univers d'un observateur, alors on pourra qualifier ce découpage d'espace.

C'est moins simple que ça. D'autres découpages sont possibles, où l'hypersurface spatiale n'est pas orthogonale à dt (comme il y a des systèmes de coordonnées dans lesquels la métrique que tu connais le mieux, celle de Schwarzschild, a des termes croisés dt.dr).

Quand tu parles de courbure absolue de l'espace temps, quelle est elle ? positive, négative, les deux? En a-t-on une représentation ?

La courbure de l'espace-temps peut être localement positive, négative ou nulle suivant son contenu local en matière/énergie (sans oublier dans ce contenu les termes de pression ou de quantité de mouvement qui interviennent dans le tenseur énergie-impulsion).

si en géométrie hyperbolique le postulat des parallèles est devenu "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinités de parallèles" , le pendant d'une courbure positive est-il "il n'existe aucune droite parallèle à une autre" au sens qu'elle ne se croisent jamais ?

Oui.

[yves95210]

mais d'autres cosmologistes utilisent LTB,

et la conclusion du papier de Tolman (1934) mérite encore d'être lue.

[mach3]

@mach3

C'est la loose... courbure de l'espace, courbure de l'espace-temps, positive, négative, nulle en présence d'une masse, intrinsèque, extrinsèque, avec centre ou sans... vous venez de soulever un sujet que je n'ai pas d'autre choix que d'étudier. Seulement voilà, j'ai le regret de vous apprendre que je vais dépendre de vous, armez vous de courage et de patience ! lol
Pour le peu que j'en comprends, suite à cette remise en cause générale, on a le droit de découper l'espace temps en tranches de simultanéité. Si ce découpage correspond à ce que localement un plan soit perpendiculaire à la ligne d'univers d'un observateur, alors on pourra qualifier ce découpage d'espace. Je t'avoue que je ne m'intéresserai qu'à ceux là car je ne vois pas quelle utilité pourraient présenter d'autres découpages. Ça s’arrête à peu près là pour l'instant, et je vais devoir amorcer une série de questions pour commencer à "classer" les représentations que je connais déjà pour savoir à quoi elles correspondent :
- Quand tu parles de courbure absolue de l'espace temps, quelle est elle ? positive, négative, les deux? En a-t-on une représentation ?
- La parabole de Flamm c'est quoi, l'espace des immobiles ? Je dis ça parce que les longueurs sont celles mesurées localement par les immobiles. Et aussi car dans nos récents échanges sur les "orthogonalités pas forcément apparentes" tu semblais dire que les lignes d'univers des immobiles étaient perpendiculaires à Flamm.
- De la même manière l'axe des r chez Painlevé (puisque c'est le second exemple que tu prends) est-il l'espace des "gouttes de pluie" ? L’orthogonalité devenant apparente quand on passe en représentation Slide.
- Pourtant en coordonnées de Schwarzschild, les immobiles sont perpendiculaires à l'axe r. Ce découpage n'est-il pas classable en "espace" car ne il correspond à aucun observateur. Peut être celui à l’infini ?
- En fait il faudrait passer en revue tous les systèmes connus pour faire ressortir ceux qui ont un intérêt du point de vue de cette notion de "courbure d'espace".
- Quelles sont les courbures intrinsèques ? Quelles sont les courbures extrinsèques (avec petite définition rapide stp) ? Pourrais tu tenter un petit balayage du sujet qui permette aux ignorants de s'initier ?
- Et reste la question E=0. Celui qui chute depuis l'infini a constamment un espace plat ? Comment est-ce possible ?
- Et E>0... on pourrait modéliser un espace hyperbolique et y dessiner des trajectoires ? Comment faire ?
- Enfin (pour l'instant...) si en géométrie hyperbolique le postulat des parallèles est devenu "par un point extérieur à une droite on peut faire passer une infinités de parallèles" , le pendant d'une courbure positive est-il "il n'existe aucune droite parallèle à une autre" au sens qu'elle ne se croisent jamais ?

Comme ce n'est pas spécifique à LTB/FLRW, cela fait l'objet d'un autre fil : https://forums.futura-sciences.com/q...sentation.html

m@ch3