LTB vs FLRW

[pachacamac]

Je vais essayer de simplifier ma question. Oublions pour l'instant le découpage en tranche d'hypersurfaces spatiales qui pour l'instant me perturbe.

Si on prend l'univers observable total, qui semble quasi plat au vu des dernières mesures, peut t'on représenter sa partie spatiale à un instant t fixé comme une boule dont on serait le centre, et dans laquelle on serait en mesure de situer les galaxies connues ?

Si oui, alors il me semble, comme dans l'exemple de mach3 sur un espace euclidien, que si on fait un découpage quelconque à l’intérieur de cette boule l'espace sera de même courbure que l'espace total (aux inhomogénéités près)

D'où la question une telle représentation est t'elle possible ?
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[yves95210]

La courbure de l'espace-temps peut être localement positive, négative ou nulle suivant son contenu local en matière/énergie (sans oublier dans ce contenu les termes de pression ou de quantité de mouvement qui interviennent dans le tenseur énergie-impulsion).

Par exemple, dans un espace-temps décrit par la métrique FLRW, le scalaire de courbure 4D vaut



avec, selon les équations de Friedmann,





d'où


Avec , on voit que la courbure de l'espace-temps est toujours strictement positive dans un univers "de poussière" (où p est négligeable), mais qu'elle peut être négative quand, tout en étant statistiquement comobiles, les particules sont suffisamment agitées (ont des vitesses propres assez importantes par rapport au flux comobile) pour que leur quantité de mouvement conduise à une valeur assez grande de p (la densité de pression ou de manière équivalente la densité de quantité de mouvement).

D'autre part, on constate que ne dépend pas de la courbure spatiale, mais uniquement des composantes du tenseur énergie-impulsion, et est bien indépendant du feuilletage en hypersurfaces 3D de genre espace choisi, en particulier celui dans lequel ces hypersurfaces sont orthogonales aux lignes d'univers des observateurs comobiles (qui conduit au système de coordonnées dans lequel on écrit la métrique FLRW).

[yves95210]

Je vais essayer de simplifier ma question. Oublions pour l'instant le découpage en tranche d'hypersurfaces spatiales qui pour l'instant me perturbe.

Si on prend l'univers observable total, qui semble quasi plat au vu des dernières mesures, peut t'on représenter sa partie spatiale à un instant t fixé comme une boule dont on serait le centre, et dans laquelle on serait en mesure de situer les galaxies connues ?

Oui (mais c'est bien d'une hypersurface spatiale que tu parles...)

Si oui, alors il me semble, comme dans l'exemple de mach3 sur un espace euclidien, que si on fait un découpage quelconque à l’intérieur de cette boule l'espace sera de même courbure que l'espace total (aux inhomogénéités près)

Si par "espace total" tu veux dire l'espace-temps à 4 dimensions, non. Regarde le message que je viens de poster :
dans ton hypothèse la courbure spatiale est nulle (ce qui se traduit par k=0 dans les équations), et pourtant on a bien une courbure (strictement) positive de l'espace-temps.

[pachacamac]

P.S. En fait je comprend que pour passer de l'espace temps 4D à l'espace 3D il est nécessaire d'en faire une tranche à t donné.
Si cette tranche est une hypersurface spatiale (que je suppose 3D) cet hypersurface peut t'elle être rendue équivalente à une boule ?

Non par espace totale j'entendais la partie spatiale 3D de l'espace temps ( à t donné )

[pachacamac]

Merci. Nos messages se sont croisés.

[yves95210]

P.S. En fait je comprend que pour passer de l'espace temps 4D à l'espace 3D il est nécessaire d'en faire une tranche à t donné.
Si cette tranche est une hypersurface spatiale (que je suppose 3D) cet hypersurface peut t'elle être rendue équivalente à une boule ?

J'ai répondu trop vite. En espace "plat" cette hypersurface est un hyperplan (l'équivalent en 3D d'un plan 2D).
Mais un observateur n'en voit qu'une section, dont la géométrie est celle d'une sphère 2D : la lumière émise par des galaxies situées à l'intérieur de la sphère lui est déjà parvenue, et celles des galaxies situées à l'extérieur ne lui parvient pas encore (et ne lui parviendra jamais pour celles situées à l'extérieur de l'horizon des événements).

[ordage]

C'est moins simple que ça. D'autres découpages sont possibles, où l'hypersurface spatiale n'est pas orthogonale à dt (comme il y a des systèmes de coordonnées dans lesquels la métrique que tu connais le mieux, celle de Schwarzschild, a des termes croisés dt.dr).

Bonjour
Par exemple, en posant R = a(t). r, dans le cas k =0, sections spatiales plates, on obtient:



tout aussi valide, dont les sections spatiales (t = cste)



sont euclidiennes et pas en expansion.

L'observateur sur une géodésique radiale (le même que celui qui est co-mobile en FLRW) s'obtient pour dR/dt = R.H(t). Question:la géodésique radiale est-elle orthogonale aux sections spatiales euclidiennes dans cette métrique ?
Cordialement

[yves95210]

Bonsoir,

je regarderai ça demain matin...

[Mailou75]

Salut et merci,

Ce n'est pas Buchert, mais d'autres cosmologistes utilisent LTB, l'idée ne vient pas de moi...

Hehe, on y arrive

C'est moins simple que ça. D'autres découpages sont possibles, où l'hypersurface spatiale n'est pas orthogonale à dt (comme il y a des systèmes de coordonnées dans lesquels la métrique que tu connais le mieux, celle de Schwarzschild, a des termes croisés dt.dr).

Oui je n'en doute pas on doit pourvoir "découper" d'une infinité de façon. Les systèmes de coordonnées m'intéressent en tant que systèmes, mais ici on touche à quelque chose d'un peu plus "physique" et je préfère m'en tenir à "l'espace" qui n'a de sens que pour un observateur donné. Sa découpe perso.

La courbure de l'espace-temps peut être localement positive, négative ou nulle suivant son contenu local en matière/énergie (sans oublier dans ce contenu les termes de pression ou de quantité de mouvement qui interviennent dans le tenseur énergie-impulsion).

En fait ma question portait sur un trou noir, j'ai oublié de préciser, sinon la question est vague, lol.

Oui

Cool

Avec , on voit que la courbure de l'espace-temps est toujours strictement positive dans un univers "de poussière" (où p est négligeable), mais qu'elle peut être négative quand, tout en étant statistiquement comobiles, les particules sont suffisamment agitées (ont des vitesses propres assez importantes par rapport au flux comobile) pour que leur quantité de mouvement conduise à une valeur assez grande de p (la densité de pression ou de manière équivalente la densité de quantité de mouvement).

C'est amusant on penserait instinctivement que c'est l'inverse, l'agitation étant une forme d'énergie, elle devrait être attractive. En fait je ne saisis pas très bien pourquoi on parle à la fois de courbure et d'expansion. Une courbure négative ne suffit elle pas à expliquer que les objets comobiles (parallèles) s'écartent les uns des autres ? Ça donne le sentiment qu'on mélange un truc plutôt newtonien (expansion) avec la relativité (trajectoires de lignes d'univers)...

D'autre part, on constate que ne dépend pas de la courbure spatiale, mais uniquement des composantes du tenseur énergie-impulsion, et est bien indépendant du feuilletage en hypersurfaces 3D de genre espace choisi, en particulier celui dans lequel ces hypersurfaces sont orthogonales aux lignes d'univers des observateurs comobiles (qui conduit au système de coordonnées dans lequel on écrit la métrique FLRW).

Voilà c'est ça que j'aimerais comprendre, je suis déjà heureux d'apprendre qu'il existe au moins un absolu dans l'histoire. Je conçois à peu près ce que peut être un découpage 3D courbe (bien que les "lignes droites" de la surface ne puissent être empruntées par personne sous peine de changer d'espace). Mais je conçois mal la courbure d'un espace temps 4D, ce qui est implicite pour vous ne l'est pas pour moi, c'est pour ça que j'aimerais faire le tri dans les systèmes de Schw pour avoir déjà une base de compréhension. Pour l'instant, je ne sais pas si ça se voit, mais je comprends à peine de quoi vous parlez...

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[Mailou75]

Si on prend l'univers observable total, qui semble quasi plat au vu des dernières mesures, peut t'on représenter sa partie spatiale à un instant t fixé comme une boule dont on serait le centre, et dans laquelle on serait en mesure de situer les galaxies connues ?

Oui, ça s’appelle l'espace comobile. Cette boule c'est le contenu de notre univers visible. Les objet y sont à leur position aujourd'hui, l'horizon à 46 milliards d'AL, la distance comobile du CMB. Ce n'est pas du tout ce que l'on voit, car la lumière met du temps à nous arriver etc...

Si oui, alors il me semble, comme dans l'exemple de mach3 sur un espace euclidien, que si on fait un découpage quelconque à l’intérieur de cette boule l'espace sera de même courbure que l'espace total (aux inhomogénéités près)

Ce dont tu parles est déjà une tranche 3D, je suis pas sur qu'on puisse trancher une tranche lol. Mach3 en parlais juste au sens mathématique je crois.

[pachacamac]

"je comprends à peine de quoi vous parlez... "

Pareil

Ce dont tu parles est déjà une tranche 3D, je suis pas sur qu'on puisse trancher une tranche lol.

Oui ce qui me pose un gros problème c'est que si on prend l'espace 3D à des instants fixés croissants , on devrait avoir (d'après mes représentations) une boule qui grossit disons d 'environ la taille d'une bille après l'inflation jusqu'à R = 46 MA aujourd'hui, mais il semble qu'en utilisant les math de la RG, si on veut obtenir que la partie spatiale de l'espace-temps 4D on obtient des hypersurfaces ou des hyperplans or cela ne peut pas correspondre à des boules...


En fait je comprend pas du tout, comment pour un temps donné on peut découper l'espace temps d'une infinité de façon possibles. Mais je pense que je vais en rester là et admettre que ça me dépasse.. Rien ne m'oblige à tout comprendre

Et aussi la réponse de Yves qui pensait m’éclairer m'a complétement coulé

J'ai répondu trop vite. En espace "plat" cette hypersurface est un hyperplan (l'équivalent en 3D d'un plan 2D).
Mais un observateur n'en voit qu'une section, dont la géométrie est celle d'une sphère 2D :

J'ai un peu de mal à me représenter un hyperplan 3D ( là je crois que c'est valable pour tout le monde ) mais que pour un observateur qui en voit qu'une section, celle ci aura la géométrie d'une sphère 2D me dépasse.

la lumière émise par des galaxies situées à l'intérieur de la sphère lui est déjà parvenue, et celles des galaxies situées à l'extérieur ne lui parvient pas encore

Heu...je comprendrai si les objets lumineux astrophysiques n’émettraient qu'un flash lumineux que leur lumière nous soit deja parvenu et nous aurait dépassé mais pour des étoiles ou galaxies qui émettent leur lumière pendant plusieurs MA elle nous parvient encore non ?

Sans dessins ou schémas explicatifs je crois que je pourrais pas aller beaucoup plus loin..

[yves95210]

Bonjour,

Par exemple, en posant R = a(t). r, dans le cas k =0, sections spatiales plates, on obtient:



tout aussi valide, dont les sections spatiales (t = cste)



sont euclidiennes et pas en expansion.

L'observateur sur une géodésique radiale (le même que celui qui est co-mobile en FLRW) s'obtient pour dR/dt = R.H(t). Question:la géodésique radiale est-elle orthogonale aux sections spatiales euclidiennes dans cette métrique ?

Oui, puisque ces sections spatiales sont les mêmes que dans le feuilletage à t constant issu de la forme habituelle de la métrique FLRW (elles contiennent le même ensemble d'événements de l'espace-temps).

Il est faux de dire qu'elles ne sont pas en expansion. L'intervalle défini par ton dl entre deux points d'une section spatiale est fonction de t. Autrement dit c'est la règle que tu utilises qui s'étire de manière que la distance mesurée entre deux particules comobiles situées dans une même section spatiale (quel que soit t) soit constante, mais la distance physique entre ces particules (celle qui serait mesurée par une règle qui ne s'étire pas) augmente évidemment de la même façon que dans le système de coordonnées FLRW habituel puisque


Mais c'est un bon contre-exemple montrant que la présence d'un terme croisé dt.dR dans l'expression de la métrique (dans le système de coordonnées choisi) n'implique pas que les hypersurfaces spatiales à t constant ne soient pas orthogonales à dt.

[yves95210]

Et aussi la réponse de Yves qui pensait m’éclairer m'a complétement coulé

Mea culpa :

J'ai un peu de mal à me représenter un hyperplan 3D ( là je crois que c'est valable pour tout le monde ) mais que pour un observateur qui en voit qu'une section, celle ci aura la géométrie d'une sphère 2D me dépasse.

Je n'aurais peut-être pas dû parler d'hyperplan... Il s'agit simplement d'un espace euclidien à trois dimension (sous-espace de dimension N-1 de l'espace-temps à quatre dimensions).

Plus concrètement on peut se ramener à un espace-temps à deux dimensions d'espace, dans lequel une tranche de simultanéité sera bien un plan tel qu'on a l'habitude d'en parler en géométrie euclidienne.
Pour qu'un observateur comobile reçoive à la date t₀ des photons émis depuis des sources à la date t, il faut que ces photons aient tous eu le même temps de parcours (t₀-t). Ils doivent donc tous appartenir à un même cercle de ce plan : si on oublie l'expansion, il s'agit du cercle de rayon R = c.(t₀-t), centré sur l'intersection de la ligne d'univers de l'observateur avec le plan (le point du plan où il se serait situé à la date t).
En tenant compte de l'expansion c'est plus compliqué, mais le résultat reste évidemment un cercle.

En trois dimensions d'espace, c'est la même chose, sauf que le rayon R = c.(t₀-t) est celui d'une sphère (une surface, contenue dans l'hypersurface 3D à t constant ou "hyperplan").

[pachacamac]

Merci C'est plus clair. Je pense que je vais prendre un crayon et du papier pour me représenter tout ça et peu être même poster une question dans le forum de math pour mieux appréhender la notion d'hypersurface 3D .

[ordage]

Bonjour,

Il est faux de dire qu'elles ne sont pas en expansion. [.

Bonjour

Pas d'accord!

Dans cette forme, R est une coordonnée, pas une fonction.

Par contre, la phénoménologie des géodésiques, qui sont des courbes spatio-temporelles dans un espace-temps (à 4 dimensions) ont la même phénoménologie (divergence vers le futur sur les lignes d'univers) dans les 2 formes (dans toutes les formes d'ailleurs puisque c'est un phénomène spatio-temporel).

En fait, la courbure intrinsèque quadridimensionnelle, (l'expansion en FLRW) qui était introduite par le facteur a(t) s'appliquant sur la section spatiale en métrique FLRW se trouve "reportée" dans la dimension temporelle (à coordonnées spatiales constantes) qui s'écrit :
ds² = dt²(-1 +R²H²).

Il ne faut pas perdre de vue que la métrique FLRW n'est qu'une manière de décrire un espace-temps par un feuilletage particulier et n'a pas de caractère absolu ou obligatoire (même si elle est pratique, il faut le reconnaître).

Dans la forme que j'ai citée, en effet, la géodésique radiale (en fait, son 4-vecteur vitesse qui lui est tangent) est bien orthogonale (en relativité) aux sections spatiales (aux trois 4-vecteurs qui la définissent) définies par le dl² que j'avais également cité.

Cordialement

[yves95210]

Bonjour,

Dans cette forme, R est une coordonnée, pas une fonction.

Par contre, la phénoménologie des géodésiques, qui sont des courbes spatio-temporelles dans un espace-temps (à 4 dimensions) ont la même phénoménologie (divergence vers le futur sur les lignes d'univers) dans les 2 formes (dans toutes les formes d'ailleurs puisque c'est un phénomène spatio-temporel).

En fait, la courbure intrinsèque quadridimensionnelle, (l'expansion en FLRW) qui était introduite par le facteur a(t) s'appliquant sur la section spatiale en métrique FLRW se trouve "reportée" dans la dimension temporelle (à coordonnées spatiales constantes) qui s'écrit :
ds² = dt²(-1 +R²H²).

Oui, d'accord.