Newton versus Gauss un grand écart négligé ?

[Ladrix]

Bonsoir.
@gts2
Chacun voit midi à sa porte, pas de risque de se disputer.
Newton prévient, "ma fonction n'est pas (tout à fait) exacte de près".
Donc selon l'auteur, de près le résultat ne sera pas 1/x² mais soit + grand, soit + petit.

Donc il y a une erreur quelque part, ou des problèmes liés à la discrétisation de la sphère.

Je calcule quelques milliards d'éléments de la sphère selon les directives de Newton (améliorées) sur 10 000 positions du projectile.
Conformément à ses dires, j'obtient un résultat égal à 1/x² de loin et légèrement différent 10% à la louche au contact de la sphère. Il me semble que la partie de 1/x² perdue à l'extérieur se retrouve à l'intérieur de la dite sphère. Il faut pour le prouver sans contestation effectuer :
1) la conversion de A f(d) en A f(t)
2) une fois ce "petit" travail effectué, il faut intégrer la fonction A f(t) de x= -inf à x=0 et ce pour la courbe que j'aurais convertie
3) comparer cette intégrale avec celle de 1/x² convertie elle aussi en f(t) évidement.
4) n'ayant pas encore effectué ces actions je ne me prononce pas.

Je répète, non, d'après Gauss, à l'extérieur c'est 1/x2

Mr Gauss est libre de ses opinions. Je trouve, comme Newton l'indique, un écart non négligeable avec 1/x². Mais c'est certain, ce n'est pas une preuve. Votre remarque fait ressortir un écart entre Newton et Gauss, mais cet écart les regarde.

Newton avait aussi prévu que pour une sphère (proposition 71) : la force gravitationnelle d’un corps qui se trouve à l’extérieur d’une couche sphérique fermée de matière est la même que ce qu’elle serait si toute la matière de la couche était rassemblée en son centre.

Je ne comprend pas bien ce que veut dire cette proposition 71.
Si c'est une sphère creuse alors en trouve trace dans la courbe publiée précédement.
Si la coquille à une épaisseur nulle, une masse 1, l'accélération maximum se situe à x=-r et x=r et vaut la 1 de 1/x².
Dans la coquille ainsi conformée, l'accélération est nulle, la vitesse égale sur toute cette traversée est égale à la vitesse d'arrivée qui, comme chacun sait, est la même que la vitesse de libération si le projectile à commencé sa chute de x=-inf à une vitesse initiale nulle.
Un bémol cependant, si ces conditions initiales étaient réunies, le projectile de démarrerai jamais car l'accélération initiale serait nulle...

corollaire : la vitesse de libération au centre d'une sphère homogène et isotrope serait celle de la même masse concentrée en une bulle sphérique d'épaisseur nulle de même rayon et de valeur 1 dans mon sytème d'unités précisé ci dessus. Cette proposition est purement spéculative en l'état de mon travail.

J'avais préparé une vidéo mais faut la placer sur Youtube. Je vais réfléchir au pensum.

Bonne soirée à tous.

Ladrix
-----

[gts2]

Votre 1/x2 approximatif pour x proche de 1 n'est pas un problème de physique mais d'informatique.
En suivant votre méthode, voilà ce que cela donne pour N=64 (je vais de -N à +N dans les trois directions)

[Archi3]

Salut.
@gts2
Des questions très pertinentes.
Je dois cependant préciser que je ne suis pas prof de math ni de physique et que je n'exprime que des avis personnels.

juste pour comprendre ta démarche, tu n'es donc pas physicien, tu ne connaissais pas le théorème de Gauss, mais tu penses qu'avec des calculs approximatifs sur un ordinateur, tu vas pouvoir contredire des résultats qui ont été mathématiquement démontrés de manière exacte, et utilisés, par exemple, par des milliers d'ingénieurs qui arrivent à maitriser suffisamment la trajectoire des satellites pour permettre à ton GPS de te localiser à quelques mètres près ?

tu es d'accord que la probabilité qu'il y ait des erreurs que tu sois capable de détecter toi avec ton petit programme informatique est nulle ?

[gts2]

Pour N=256 cela donne cela :



On voit que cela se rapproche de 1/x2

La proposition 71 dit que pour tout point extérieur à une sphère aussi proche qu'on veut, la loi est en 1/x2.

La courbe rouge est le résultat donné par Newton/Gauss, les points bleus sont ceux donnés par votre technique de calcul.

[Ladrix]

Re bonjour à tous.

@archi3
Merci d'encourager l'artiste, sutout si on espère qu'il va chuter de l'infini...
L'argument d'autorité n'a pas de valeur probante.
Mais vos remarques sont tout à fait recevables.
Je tiens à préciser qu'il y a 350 ans, notre cher Newton travaillait sur un parchemin avec une plume doigt (?)
Aujourd'hui, le premier clampin venu dispose d'outils extraordinaires. on tape la nanoseconde sans frémir sur les Pc dits bas de gamme.
j'ai taquiné les 10ns dans ma jeunesse (y a 45 ans) et j'ai testé sur mon Tectronix 50 Mhz les premiers Asz23 qui donnaient des transitions de la nanoseconde, approchant les transitions d'un relais à goutte de mercure. Bien sur l'oscillo ne voyait que son propre temps de montée...Aujourd'hui, on en est à 250 picosecondes par cycle sur un Pc à 600 euros, cool. A la ns , le gamin tord le nez, mon téléphone rame, j'en veux un autre.
J'en fait partie (des clampins) et mon ordi fait en 0.05 seconde le travail de calcul d'un homme de la période des Lumières en peut être quelques vies.
Par exemple :
calculer
A = xy/(x²+y2) (x²+y²) ^1/2
4/3*2*pi*10^9 fois c'est le calcul de l'interaction projectile / sphère pour 1 position du dit projectile.
le tout répété 10 000 fois et écrire tout ça sur un beau array de 12 10^6 réels afin de, par une autre astuce,d'établir une belle courbe sur mon bel écran. (l'array est pas assez grand mais j'ai une méthode performante).
Ceci dit, ce qui compte ce sont les résultats obtenus et non le diplôme de celui qui les obtient.
Sur mon écran je vois, après de nombreux effort, une belle courbe qui correspond aux assertions des glorieux ancêtres qui n'ont jamais pu tracer, faute de nos outils modernes, les résultats de leurs travaux.

tu penses qu'avec des calculs approximatifs sur un ordinateur, tu vas pouvoir contredire des résultats qui ont été mathématiquement démontrés de manière exacte,

Mes calculs ne contredisent pas les résultats ni de Newton, ni de Gauss.
Mes calculs aproximatifs portent sur une belle sphère de quelques milliards d'éléments finis, ceci donnant une précision suffisante pour juger de la validité de la méthode.
Mais mes temps de calculs (totaux) pour une courbe en 10 000 points étant très inférieurs à la seconde, je pourrais pousser plus loin la précision qui en l'état est limitée par ma ram encombrés de windows 11.
Je peux améliorer ma quantification volumique d'un ordre de grandeur, je vais opter en fait pour 3000 éléments au rayon soit 4/3*2*pi* 3² *10^9 éléments pour ma cible,(oui c'est beaucoup très beaucoup) ce qui me permettra de continuer mon affaire en pratiquant les intégrations à venir, après transcription (pas évidente) A=f(d) en A=f(t), suivant Simpson sans me compliquer la vie avec les chiquettes des restes de données.
Pour ce faire il suffit que je rentre 3000 au lieu de 1000 pour la constante qui défini la suite des calculs qui dureront 10 fois plus, mais je suis pas pres, j'attendrai les quelques secondes avec sérénité.
Bien sûr, vous me direz que cette vitesse supra luminique est impossible, trop de milliards de calcul pour un processeur trop lent...
Certainement, mais la preuve du pudding, c'est qu'on le mange...
C'est l'algo qui compte, et le clampin en aura pondu un efficace (dans le cadre du problème posé)

des milliers d'ingénieurs qui arrivent à maitriser suffisamment la trajectoire des satellites pour permettre à ton GPS de te localiser à quelques mètres près ?

Disgression sur la précision des GPS
Google me trace avec une précision effectivement diabolique et me situe systématiquement à 3 km de mon terrier (je vis dans un terrier dans un bois, coolitude)
Mon gps actif, google me situe parfois à 50 km et me fait parcourir( à l'insu de mon plein gré) des trajets à pied à la vitesse de la lumière... en traversant l'Oise hors des ponts réservés à cet usage, aussi les calculs des autres, je les prends parfois avec des pincettes. Ceci est pour rire un peu...

tu es d'accord que la probabilité qu'il y ait des erreurs que tu sois capable de détecter toi avec ton petit programme informatique est nulle

Je suis d'accord.
Mon "petit" programme informatique attaque la femtoseconde virtuelle par opération... vous atteignez combien avec les votres ?
Mais la courbe obtenue étant celle prévue par la conjonction des travaux de Newton et Gauss dire que mes résultats seraient faux devrait être étayés par une réfutation solide des deux éminents mathématiciens sus nommés. Bon courage.

Merci des critiques, travailler seul est pas facile, un avis extérieur est le bienvenu.

Je rappelle que Newton n'aura jamais piublié dans une revue autorisée ni Gauss, ni Einstein, je ne parles mêm pasde Kepler et Galilée aussi l'argument d'autorité n'est pas (tout à fait) pertinent.
Merci Archi3 pour votre message d'encouragements.

Un cordial salut
Ladrix.

[Ladrix]

Bonjour gts2

merci des précisions.
Je note que la courbe du #34 n'est pas tout à fait celle du#32
Pour la dernière, je constate que les point bleus sont bien sur la courbe en rouge.
Ainsi mes calculs seraient relativement précis.
Mais comment calculez vous et que calculez vous.
Je présume que vous traitez les points bleus à partir de ma courbe graphique.
Comme celle ci est à échelle réduite, je vous passe la courbe échelle 1 pour la partie qui nous inéresse actuellement, pour x =-1 essentiellement.
sphere ech 1.jpg

ainsi qu'une vue d'ensemble à échelle réduite.
sphere ech 1 complete.jpg

A vous lire

Ladrix

[gts2]

Mes calculs ne contredisent pas les résultats ni de Newton, ni de Gauss.

On progresse, on rappelle que Newton dit 1/x2 à l'extérieur d'une sphère.

Mais la courbe obtenue étant celle prévue par la conjonction des travaux de Newton et Gauss dire que mes résultats seraient faux.

Votre courbe, dans l'état actuel, contredit Newton et Gauss : à l'extérieur, pour r proche de 1.

[gts2]

Je note que la courbe du #34 n'est pas tout à fait celle du#32

Normal : pas le même nombre de points de calcul 256 vs. 64

Mais comment calculez vous et que calculez vous.

Je calcule comme vous (en divisant la sphère en petits morceaux) et la même chose que vous : l'accélération.

Je présume que vous traitez les points bleus à partir de ma courbe graphique.

Je ne peux partir de votre courbe qui est inexacte car trop peu de points de calcul.

[Ladrix]

@gts2
C'est un plaisir d'échanger avec vous.
Mais vous n'avez pas répondu à une partie de ma question.
Que calculez vous ? (et avec quoi, ça m'intéresse)
Vous me dites : je ne traite pas votre courbe graphique.
ce en quoi je ne peut qu'être d'accord, puis que c'est une approximation des réels obtenus, approximation due à la pixellisation de l'écran qui n'affiche que des entiers.

à vous lire impatient je suis. (citation de notre Maître Yoda)

Ladrix

[gts2]

Mais vous n'avez pas répondu à une partie de ma question. Que calculez vous ? (et avec quoi, ça m'intéresse)

J'avais répondu "Je calcule ... la même chose que vous : l'accélération."

Je l'ai écrit en Python et en Pascal (La courbe est celle obtenue en Pascal).

[Ladrix]

@gts2
je calcule avec Delphi 7

Mais sur quelle base vous calculez mes points ???

ladrix

[gts2]

Je fais comme vous, à ce que j'ai compris, je coupe la sphère en petits morceaux de coordonnées XYZ, je calcule la projection de l'accélération sur l'axe des x : et j'additionne.

[Ladrix]

@gts2
Vous calculez direct en 3d.
vous calculez la sphère pour chaque point de la trajectoire.
Mais N dans tout ça c'est le nb d'éléments si je comprends bien votre propos.
ce doit être bien long.

Dans mon cas, le nb d'éléments choisi au départ est de
4/3*pi* 10^9 éléments
soit
4 188 790 204
pour gagner du temps, j'utilise une unité perso le "volume barre" soit Vb = volume / 2 pi
ça va déja 6.28 fois plus vite car je n'ai plus que
666 666 666 éléments à intégrer par point de trajectoire.
Mais ça suffit pas pour un temps de calcul acceptable qui est pour moi la seconde.
Je projette ma sphère sur un plan et je gagne un facteur de n/2
Dans mon cas actuel 500
reste
1 333 333 calculs
Mais pour 10 000 points c'est encore très long.
Aussi je prends un raccourci digne de celui de stephen King...
Grâce à lui, mes calculs sont réduits de 10 000 à 12 puisque je calcule sur +- 5 rayons de la sphère.
Et là je trace mes courbes en moins d'une seconde...
Pouvez vous calculer pour N = 10 E9 ???


A vous lire

Ladrix.

[Archi3]

@gts2
Vous calculez direct en 3d.
vous calculez la sphère pour chaque point de la trajectoire.
Mais N dans tout ça c'est le nb d'éléments si je comprends bien votre propos.
ce doit être bien long.

Dans mon cas, le nb d'éléments choisi au départ est de
4/3*pi* 10^9 éléments
soit
4 188 790 204
pour gagner du temps, j'utilise une unité perso le "volume barre" soit Vb = volume / 2 pi
ça va déja 6.28 fois plus vite car je n'ai plus que
666 666 666 éléments à intégrer par point de trajectoire.
Mais ça suffit pas pour un temps de calcul acceptable qui est pour moi la seconde.
Je projette ma sphère sur un plan et je gagne un facteur de n/2

bon je vais reformuler différemment.
Les équations de base de la mécanique newtonienne sont vérifiées avec une très bonne précision, jusqu'à ce qu'on tombe sur les effets relativistes (qui ne sont manifestement pas pris en compte dans ton calcul). Les résultats exacts sont connus dans des géométries simples comme la géométrie sphérique. Si tu calcules numériquement avec un ordinateur, tu DOIS retrouver les résultats mathématiques déduits de la théorie, aux écarts numériques près. Ce n'est même une question de savoir si ça s'applique au monde réel, ce sont simplement des maths. Le théorème de Gauss est rigoureusement vrai avec une force en 1/r^2 et ses conséquences aussi.

Autrement dit si un calcul numérique trouve un résultat différent d'un résultat analytique, en partant des mêmes équations au départ, c'est que l'erreur est dans le calcul numérique et dans les méthodes d'approximation utilisées. Il n'y a pas d'autre possibilité, ça ne peut être QUE CA, à 100 % . Aucune autre explication possible.

En l'occurrence, ta description de ton calcul est peu claire, par exemple je ne sais pas ce que tu veux dire par "je projette la sphère sur un plan" pour calculer une intégrale 3 D.

Si tu penses que ton calcul donne une valeur différente de la théorie, c'est que ta méthode de calcul est incorrecte, c'est tout. Tu ne peux pas changer le résultat mathématique d'équations exactes.

[mach3]

Sur l'aspect Newton versus Gauss, tout a été dit (il n'y avait d'ailleurs pas matière à débat), le dernier message d'Archi3 faisant office de clôture. Si la conversation doit se poursuivre, c'est pour comprendre pourquoi les calculs de Ladrix s'écartent de la prédiction théorique qui est indiscutable dans le cadre de la mécanique classique. Toute tentative de remise en cause de la loi en 1/r2 à l'extérieur d'un astre de symétrie sphérique en mécanique classique sera sanctionnée pour non respect du point 6 de la charte.

mach3, pour la modération

[gts2]

c'est pour comprendre pourquoi les calculs de Ladrix s'écartent de la prédiction théorique.

C'est facile : il suffit de comparer le message #32 avec 2.10⁶ points, en gros les calculs de @Ladrix et le #34 avec 134.10⁶ points

[Ladrix]

bonjour.

Mes calculs sont ce qu'ils sont.
Me référant à https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem
shell_theorem je cite le texte d'entrée

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Shell theorem

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From Wikipedia, the free encyclopedia

In classical mechanics, the shell theorem gives gravitational simplifications that can be applied to objects inside or outside a spherically symmetrical body. This theorem has particular application to astronomy.

Isaac Newton proved the shell theorem[1] and stated that:

A spherically symmetric body affects external objects gravitationally as though all of its mass were concentrated at a point at its center.
If the body is a spherically symmetric shell (i.e., a hollow ball), no net gravitational force is exerted by the shell on any object inside, regardless of the object's location within the shell.

A corollary is that inside a solid sphere of constant density, the gravitational force within the object varies linearly with distance from the center, becoming zero by symmetry at the center of mass. This can be seen as follows: take a point within such a sphere, at a distance r r from the center of the sphere. Then you can ignore all of the shells of greater radius, according to the shell theorem (2). But the point can be considered to be external to the remaining sphere of radius r, and according to (1) all of the mass of this sphere can be considered to be concentrated at its centre. The remaining mass m m is proportional to r 3 r^{3} (because it is based on volume). The gravitational force exerted on a body at radius r will be proportional to m / r 2 m/r^2 (the inverse square law), so the overall gravitational effect is proportional to r 3 / r 2 = r r^3/r^2 =r, so is linear in r r.

These results were important to Newton's analysis of planetary motion; they are not immediately obvious, but they can be proven with calculus. (Gauss's law for gravity offers an alternative way to state the theorem.)

In addition to gravity, the shell theorem can also be used to describe the electric field generated by a static spherically symmetric charge density, or similarly for any other phenomenon that follows an inverse square law. The derivations below focus on gravity, but the results can easily be generalized to the electrostatic force.

aussi je suis étonné qu'on me reproche de ne pas respecter laes résultats de Newton dont j'extrait la fonction de près
m / r 2 m/r^2
on remarquera que newton corrige sa fonction valable au loin en 1/x² de la projection sur l'axe des x des masses réelles positionnées en y (coordonnées de la sphère)
Ce coef est < 1 donc le résultat de 1/x² est minoré d'autant.
Mes calculs (supra luminiques) ne font qu'exécuter ces directives (que je ne connais que depuis hier !!!)
Conformément à l'injonction de la Modération, je déclare donc le sujet clos. Si certains ont des raisons valables pour contester mes résultats, qu'ils le fassent en Mp ou qu'ils se taisent à jamais...

Bonne journée à tous

Ladrix