Contrainte de von Mises

[sevenair]

Bonjour,

J’aimerais comprendre pourquoi, si je possède une contrainte plane s’appliquant sur une facette de normal «*x*» et qui possède une valeur de 100MPa, en exprimant mon tenseur de contrainte dans un repère globale (0,x,y) et en calculant ma contrainte de von Mises, je trouve une valeur de 158 MPa, alors qu’en exprimant mon tenseur de contrainte dans le repère principal et en recalculant la contrainte de Von Mises, je retrouve bien mes 100 MPa.

Je laisse une illustration de mon cas, si vous pouvez m’expliquer mon erreur.

Merci d’avance
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[Resartus]

Bonjour,
C'est votre calcul de transformation des contraintes par la rotation qui semble faux : Vous devriez avoir dans votre cours les formules exactes

A défaut, j'ai trouvé cela en Français (mais il faut aller jusqu'à la page 25)

https://profs.polymtl.ca/jagoulet/Si...ontraintes.pdf

[sevenair]

Bonjour,

Merci pour la réponse.

J’ai effectivement les même formules que le polycopié dans mon cours et je saurais moi même les retrouver, cependant, et c’est peut être là mon erreur, j’ai compris que cela concerne une contrainte qui s’applique sur une facette quelconque de normal n. Dans mon cas la contrainte est directement appliqué sur une facette de normal «*x*», ce qui correspondrait dans la formule général du polycopié à ce que l’angle de la facette quelconque avec le repère x,y soit égale a 0. En remplaçant par 0 la valeur de l’angle, nous somme censé trouver sigmaN (contrainte normal)= sigmaX (soit la projection de mon vecteur sur X) et tauNT(contrainte de cisaillement) =sigmaY (la projection de mon vecteur sur Y).

Peut être que je me trompe mais si c’est bien le cas, je serais alors face à la même problématique lors du calcul des contraintes de Von Mises

[sevenair]

J’ai redémontré les formules du poly pour ensuite les adapté à mon cas.

Je ne sais pas si il y a une erreur mais cela me semble correct, d’où ensuite l’incohérence sur le calcul des contraintes de Von Mises.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Dans votre calcul, il manque la composante sigmay qui n'est plus nulle après la rotation alpha. En la prenant en compte, vous devriez retrouver le bon résultat.

[sevenair]

Bonsoir,

Encore merci pour la réponse.

J’ai du mal à suivre, de quoi parle on quand on parle de l’angle alpha et de sigma y.
Les angles Phi dans ma feuille et l’angle Thêta dans le polycopié font référence à l’angle qui permet de définir l’orientation de la facette par rapport au repère x,y. Dans le cas que j’expose, c’est angle est nul (on remplace Phi dans ma feuille par 0 et Theta par 0 dans la formule du poly) et cela nous ramène à une contrainte normal (sigmaN)=sigmaX et une contrainte de cisaillement (tauNt)*=sigmaXY. Pour connaître la valeur de sigmaX et sigmaXY, je pose alpha, l’angle qui définit l’orientation de la contrainte par rapport au plan x,y. Donc comme je l’écris sur ma feuille, sigmaX=sigma*cos(alpha) et sigmaXY=sigma*sin(alpha).

Mon raisonnement pose un problème, je le conçois. Si j’écris actuellement le tenseur de contrainte, j’obtiens un tenseur non symétrique. La seule façon d’obtenir quelque chose de symétrique, est de ne pas considérer la projection de la contrainte sur l’axe Y, comme étant du cisaillement mais plutôt comme une contrainte normal en Y (enfin pas sûr non plus si quelqu’un peut m’éclairer). Donc est-ce cette contrainte dont vous parliez quand vous faire référence à sigmaY non nul ?

[Resartus]

Bonjour,
J'avais mal compris votre angle alpha (qui n'est pas une rotation). En fait votre calcul est juste :
Si la force de 100N que vous imposez est normale à la surface, votre calcul donne bien 100N pour le critère de Von Mises.
Mais si la force exercée sur la surface x est en travers (avec l'angle alpha, donc), cela veut dire qu'une partie plus ou moins grande est du cisaillement.
Et dans ce cas, le résultat (un peu contreintuitif en effet) est que le critère, dont le but est justement de détecter des cisaillements excessifs, va bien donner une valeur supérieure à 100.
Et au passage on peut vérifier aussi qu'une manière de réduire ce risque est d'exercer une contrepression dans l'axe perpendiculaire sigmay

[sevenair]

Bonjour,

Encore merci pour la réponse.

Nous somme donc en phase pour dire que le calcul de la contrainte de Von Mises lorsque l’on considère la contrainte normal à X et le cisaillement ne donne pas un résultat identique à celui qui considère seulement les contraintes principal. D’où ma question initial, est ce que les conditions de mon problème ne sont tous simplement pas physique ? C’est à dire qu’avoir une seul contrainte sur un plan normal à l’axe de notre repère sans contrepression comme vous l’avez suggéré, est sûrement non physique puisque si j’écris mon tenseur des contraintes dans le repère global (0,x,y) je n’ai pas un tenseur symétrique.

Cela pourrais justifier le fait de trouver une différence en contraintes de Von Miss selon le repère que l’on choisit (repère global ou principal).

[Resartus]

Bonjour,
il est tout à fait possible d'exercer des contraintes t.q. sigmay et sigmaz soient nulles (voire même négatives!). Par contre, pour l'équilibre, il faut toujours que tauxy=tauyx etc ce qui va bien donner un tenseur symétrique.
Notez bien par contre que ce que vous faites (i.e. remplacer une contrainte purement perpendiculaire par une contrainte en travers) n'est pas un simple changement de repère, mais bien une modification du type de contrainte, d'où le fait que le résultat est différent

[sevenair]

Bonjour,

Il y a une réelle volonté de ma part d’avoir une contrainte de «*travers*», pour mettre en évidence la différence en contrainte de VM selon si on se place dans le repère globale ou dans le repère principal (Ce qui ne devrait pas être le cas).

Je ne pense pas que ce soit la contrainte de «*travers*» qui pose problème, car effectivement dans le polycopié on admet directement une contrainte normal à la facette et une contrainte tangentielle (de cisaillement) mais à partir de ces deux contraintes, on peut reconstruire la contrainte de travers que je possède. D’ailleurs mon cours lui, dans le cas général, part bien d’une contrainte de «*travers*» sur une facette quelconque, orienté d’un certain angle par rapport au repère global (voir image 2 que j’ai envoyé). Mais on peut très bien par projection à se ramener à une contrainte purement normal sigmaN et tangentielle tauNT.

Bien évidement que si je ne possédait pas de cisaillement dans mon cas, je n’aurais que du sigmaN=sigmaX et tout serait plus simple, cependant rare sont les cas où nous possédons de la traction/compression pur s’exerçant sur une facette et la formule est censé fonctionner peu importe le type de chargement.

La seul subtilité que je n’ai toujours pas saisie, c’est pourquoi, pour mon problème, en exprimant le tenseur des contraintes dans le repère global ou dans le repère principal, et en recalculant la contrainte de VM, on ne retrouve pas la même chose. Pourtant en calculs par méthode éléments finis (dans tous les modèles que j’ai eu à traiter), que je passe par les contraintes principales ou les contraintes dans le repère globale, je retombe sur le meme VM.
Cela implique forcément que soit j’ai une erreur de calcul mais j’ai vérifié plusieurs fois l’ensemble de mes calculs et tout concorde, soit les hypothèses de mon problème ne rentre pas dans l’application du critère de VM, peut être faut-il que mon problème soit équilibré (vu que mes calculs EF, sont basé un modèle statique en équilibre) ? Ou autre raison qui m’échappe.

[Resartus]

Bonjour,
Les problèmes ne sont pas équivalents, parce que en appliquant la contrainte de travers sur Ox, vous imposez une contrainte tauxy, mais cela entraine une contrainte tauyx (en raison de la symétrie) et il faut bien que les supports sur y fournissent cette contrainte qui n'était pas présente dans le premier cas.
Et si maintenant vous calculez les axes principaux de ce nouveau tenseur vous allez vous apercevoir que sa composante principale n'est plus égale à 100 mais supérieure (on peut utiliser les formules de rotation pour la calculer)

[gts2]

Bonjour,

Il y a des erreurs de parenthèsage : c'est 3*(100...)^2 et non (3*100...)^2.

Autre chose c'est quoi repère principal ? Si c'est diagonalisation, le calcul est incorrect.

En corrigeant la parenthèse on trouve 122,5 N et en diagonalisant, on trouve aussi 122,5 N.

Précision : je ne connais pas grand chose dans le domaine considéré.

[sevenair]

Bonjour.

Merci pour vos réponse ! Je crois que je comprend enfin le phénomène derrière.

Il y a tout d’abord effectivement une erreur de parenthèse. Je n’ai pas vérifier l’exactitude du résultats précisément car pour moi à partir du moment où je ne retrouvais pas la formule de la norme (qu’un coefficient 3 s’était glissé), j’aurais forcément eu un résultat faux et pour le repère principal, il s’agit effectivement de la diagonalisation, un repère qui n’admet pas de contrainte de cisaillement, et donc orienté de façon à avoir ses axes principaux colinéaire aux contraintes dites principales, et toute ma faute était de penser que ce repère était orienté de la même façon que l’orientation de ma contrainte initial.

En l’état, ma faute est de ne pas avoir symétrisé le tenseur des contraintes, pour appliquer le critère de VM.
Au départ cela paraît extrêmement contre intuitif, de se dire qu’en appliquant une contrainte avec un certain angle par rapport au repère x,y, on aura des contraintes principales différentes de ce qui est initialement prévu.
Effectivement, j’introduis du cisaillement, de part l’orientation de ma contrainte, et effectivement si je laisse les choses en l’état, j’obtiens un tenseur non symétrique. Donc forcément je dois imposer tauXY=tauYX mais alors d’où viens de tauYX, qu’est ce qui entraîne cette contrainte ? Et c’est la que je pense avoir compris, sans être sur, mais en RDM, les efforts de cohésions internes «*équilibrent*» le système sous l’action des efforts externes (est-ce le bon raisonnement ?) c’est ce qui induit le tauYX.

Et pour la suite je suis d’accord, je me retrouve avec deux contraintes principal S1=109.443 et S2=-22.843 et j’ai bien une contrainte de VM=122.5 MPa dans les deux cas.

Encore merci cela m’a beaucoup aidé

[sevenair]

Bonjour.

Merci pour vos réponse ! Je crois que je comprend enfin le phénomène derrière.

Il y a tout d’abord effectivement une erreur de parenthèse. Je n’ai pas vérifier l’exactitude du résultats précisément car pour moi à partir du moment où je ne retrouvais pas la formule de la norme (qu’un coefficient 3 s’était glissé), j’aurais forcément eu un résultat faux et pour le repère principal, il s’agit effectivement de la diagonalisation, un repère qui n’admet pas de contrainte de cisaillement, et donc orienté de façon à avoir ses axes principaux colinéaire aux contraintes dites principales, et toute ma faute était de penser que ce repère était orienté de la même façon que l’orientation de ma contrainte initial.

En l’état, ma faute est de ne pas avoir symétrisé le tenseur des contraintes, pour appliquer le critère de VM.
Au départ cela paraît extrêmement contre intuitif, de se dire qu’en appliquant une contrainte avec un certain angle par rapport au repère x,y, on aura des contraintes principales différentes de ce qui est initialement prévu.
Effectivement, j’introduis du cisaillement, de part l’orientation de ma contrainte, et effectivement si je laisse les choses en l’état, j’obtiens un tenseur non symétrique. Donc forcément je dois imposer tauXY=tauYX mais alors d’où viens de tauYX, qu’est ce qui entraîne cette contrainte ? Et c’est la que je pense avoir compris, sans être sur, mais en RDM, les efforts de cohésions internes «*équilibrent*» le système sous l’action des efforts externes (est-ce le bon raisonnement ?) c’est ce qui induit le tauYX.

Et pour la suite je suis d’accord, je me retrouve avec deux contraintes principal S1=109.443 et S2=-22.843 et j’ai bien une contrainte de VM=122.5 MPa dans les deux cas.

Encore merci cela m’a beaucoup aidé