Equation d'Helmholtz - fonction de green en coordonnées cylindriques

[clafoutif]

Bonjour à tous,

Je souhaiterais obtenir une expression de la fonction de green issue du problème de green de l'équation de Helmhotz en coordonnées cylindrique (et non sphérique).
Pour ce faire je pars de l'expression du probleme de green dans ce systeme de coordonnées en faisant l'hypothèse d'une symétrie selon l'axe theta.


étant la position du point d'écoute et appartenant à lespace

A partir de la je suis un peu bloqué dans le sens ou je pense qu'il faudrait utiliser la transformée de Fourier pour simplifier le coté droit de l'expression. Cependant je ne sais pas utiliser la transformée de fourier pour des fonctions de deux variables et encore appliquer aux dérivées partielles.

Merci d'avance pour votre aide.
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[ThM55]

Bonjour.
C'est un problème classique d'équations aux dérivées partielles. La méthode classique est de séparer les variables, c'est-à-dire chercher une solution sous la forme d'un produit de fonctions de chacune des coordonnées cylindriques. Notes: le second membre est déjà séparé; il faut aussi spécifier les conditions aux limites. Je m'attends à du Bessel pour la fonction radiale.

Comme c'est un problème très classique, on trouve assez facilement la solution sur le web dans des notes de cours. Au hasard: https://galileoandeinstein.phys.virg...Functions.html

[clafoutif]

Bonjour, merci pour votre réponse.

C'est exactement la ou je bloque car la méthode de séparation des variables (à mon sens ) permet uniquement de résoudre l'éqution homogène. Effectivement cela donne lieu à des fonctions de Bessel de premiere et deuxième espèce.
Seulement ici l'équation est inhomogène et je ne sais pas comment gerer les fonctions diracs.

J'ai lu dans certain papier qu'il etait possible de travailler avec la transfomée de fourier inverse de la fonction de Green :

https://physics.stackexchange.com/qu...al-coordinates

https://bingweb.binghamton.edu/~suzu...ylindrical.pdf

Mais peut etre que je me trompe et que la méthode de séparation des variable foncionne tres bien avec l'équation inhomogène...

[coussin]

"inhomogène" est un bien grand mot pour le dirac qui est nul presque partout

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Effectivement, en lisant votre second message je vois que j'ai zappé les distributions delta et je n'ai pas répondu à votre question.

Une méthode possible est en effet de passer à la transformée de Fourier. Ici c'est sur deux variables, il faut faire une TF à 2 dimensions. Je ne suis pas certain de voir l'origine du facteur 1/r au 2d membre. C'est un résultat du terme angulaire après intégration?

La TF du second membre est



En faisant de même la TF du premier membre on obtient une expression algébrique pour , la TF de G, qu'on résout.

Il faut ensuite passer à la transformée inverse et c'est là que se trouvent les difficultés en général car les fonctions présentent un ou plusieurs pôles. Il faut les contourner en tenant compte de données supplémentaires. Essayez de le faire pour voir où vous êtres bloqué, moi je n'ai pas trop le temps.