Principe de superposition quantique

[Mzk07]

Bonjour,

J’essaie de comprendre cette formulation mathématique mais le problème c’est que je viens de très loin car je ne suis pas du tout de formation scientifique, ce qui implique que j’ai du mal à comprendre les termes mathématiques et encore plus le formalisme de Dirac…!
Soyez donc indulgents avec moi si je dis des absurdités svp

J’ai donc trouvé cette formule:

|ψ〉=∑ᵢ cᵢ|φᵢ〉


- Au niveau des termes mathématiques, je crois comprendre que:

|ψ〉: Fonction d’onde (= vecteur d’état un système quantique?)

∑: Somme de ..

ᵢ: Nombre arbitraire? Ou unité imaginaire?

C: Coefficient complexe (mais ça veut dire quoi au juste?)

|φᵢ〉: ???

Pouvez vous m’aider à mieux comprendre s’il vous plaît ?




- Au niveau de la notation; Est ce que cela veut dire que:

|ψ〉 = c1 x |φ1〉 + c2 x |φ2〉 + c3 x |φ3〉 + … c n x |φ n〉 + …?



- Si c’est l’idée, une fonction d’onde est donc = à la somme de tous les vecteurs possibles combinés? :

fonction onde 1.PNG


- Jusqu’ici, tout ceci pourrait me paraître assez logique (...) dans l’ensemble, mais pourtant dans ce cas, je ne comprends toujours pas pourquoi on utilise phi et non psi...

Soit: |ψ〉=∑ᵢ cᵢ |φᵢ〉 et pas |ψ〉=∑ᵢ cᵢ |ψᵢ〉?

(cette deuxième formulation me paraîtrait plus logique)


- Enfin, une autre chose que j’ai trouvé et qui a fini de me perdre sur la question:

fonction onde 2.PNG

Je comprends qu’on utilise la notation bra-ket pour parler de vecteurs, mais là encore je ne comprends pas pourquoi on utilise phi… (et par rapport à la formule que je questionne au début, où sont passés les coefficients?)



Voilà, bref, je suis complètement perdue dans mon cerveau de novice totale, alors à votre bon cœur si quelqu’un a envie de m’éclairer!

Merci!
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[Deedee81]

Salut,

|ψ〉=∑ᵢ cᵢ|φᵢ〉
|ψ〉: Fonction d’onde (= vecteur d’état un système quantique?)

Oui.

ᵢ: Nombre arbitraire? Ou unité imaginaire?

Non, i est ici indice. Cette formule est juste la décomposition sur un certain nombre (*) d'états de base avec des coefficients appropriés.
C'est exactement la même chose que la décomposition d'un vecteur sur des vecteurs de base. En fait c'est pas la "même chose", c'est cela : l'espace d'états est un espace de Hilbert (c'est-à-dire un espace vectoriel complexe et complet).
(*) ce nombre varie selon l'espace de Hilbert : fini; dénombrable ou infini continu (dans ce cas faut une intégralle au lieu d'une somme), mais ce nombre, la dimension de l'espace de Hilbert, est toujours le même tant qu'on a le même espace de Hilbert.

C: Coefficient complexe (mais ça veut dire quoi au juste?)

Comme dit ci-dessus, le coefficient de la décomposition vectorielle. Ici un nombre complexe car l'espace de Hilbert est complexe.
Pour l'interprétation si on a un observable associé aux états de base, disons pour fixer les idées : les positions, alors |Ci|² est la probabilité de trouver le système à la position φᵢ si on mesure sa position. Bien entendu, la somme des |Ci|² doit valoir 1 (on parle d'états normalisés). Ci est aussi appelé amplitude ou amplitude quantique.

- Au niveau de la notation; Est ce que cela veut dire que:
|ψ〉 = c1 x |φ1〉 + c2 x |φ2〉 + c3 x |φ3〉 + … c n x |φ n〉 + …?

Oui

- Si c’est l’idée, une fonction d’onde est donc = à la somme de tous les vecteurs possibles combinés? :
Pièce jointe 481130

Ouiiiiiii.... tu vois, tu as compris tout seul

- Jusqu’ici, tout ceci pourrait me paraître assez logique (...) dans l’ensemble, mais pourtant dans ce cas, je ne comprends toujours pas pourquoi on utilise phi et non psi...

On pourrait, tant qu'il n'y a pas d'ambiguité.

(cette deuxième formulation me paraîtrait plus logique)

Pas nécessairement car la base est arbitraire et en général on garde la même. Par contre on va considérer toutes sortes d'états pour le système. Ainsi |ψ〉 et autres |r> ou |t> ou tout autre état se décomposeront sur la même base (mais les coefficients seront différents évidemment).

Les notations aussi sont quelque peut arbitraires tant qu'il n'y a pas de confusion. Moi pour l'état j'ai plutôt tendance à utiliser alpha et pour les états de base x. Chacun son truc

- Enfin, une autre chose que j’ai trouvé et qui a fini de me perdre sur la question:

Notations difféntes et cas différents, ici c'est juste la somme de deux vecteurs. Cétou. A la rigueur c'est une décomposition sur une base de deux états avec des coefficients égaux à un, mais c'est alors un cas très particulier.

[Mzk07]

Ohlala, merci infiniment*!
C’est très gentil d’avoir pris le temps de répondre à mes interrogations, tout est tellement plus clair maintenant*grâce à toi

C’est vrai que le deuxième schéma que j’ai trouvé m’avait plus embrouillée qu’autre chose, mais maintenant je comprends pourquoi

Je vais peut être dire des bêtises mais en fait, je crois que j’étais restée bloquée sur l’idée que phi devait avoir une «*signification mathématique*» particulière, c’est à dire qui correspondrait à la notation des vecteurs de telle observable en particulier.

Mais si je comprends bien, ici pour |ψ〉=∑ᵢ cᵢ|φᵢ〉 *:

- Il s’agit d’une formulation générale applicable à n’importe quelle base choisie (et pour définir la base, on choisit telle observable et donc tel opérateur)
- Dans laquelle phi désigne simplement un vecteur de cette base arbitrairement choisie
- Et on l’appelle phi arbitrairement (mais on pourrait tout aussi bien l’appeler alpha ou psi, ça serait la même chose)*?

Bref, en tous cas, encore mille mercis, c’est vraiment précieux pour des amateurs comme moi de pouvoir avoir ce genre d’échanges avec des spécialistes.

Bonne journée*!

[ThM55]

Une petite remarque: la notation de Dirac a une particularité importante qu'on néglige souvent d'expliquer: le symbole contenu entre | et > n'est pas le vecteur, c'est juste une étiquette qui spécifie le vecteur parmi d'autres. C'est l'ensemble (ce que Dirac appelait un "ket"), qui représente le vecteur. On pourrait donc très bien écrire |i>, où i est un entier de 1 à n pour désigner les vecteurs de base d'un espace de dimension n. Ecrire est donc un peu redondant.

Dirac allait encore plus loin dans ce sens: l'étiquette désignant le vecteur, placée entre | et >, pouvait aussi représenter les valeurs propres d'un opérateur A. Si par exemple A a la valeur propre a, le vecteur |a> est un vecteur propre correspondant à cette valeur propre. On aura donc .

Les mathématiciens n'utilisent pas la notation de Dirac et certains physiciens la rejettent aussi car elle peut créer une certaine confusion dans la notation de l'adjoint d'un opérateur. Les mathématiciens désignerons par exemple le vecteur d'état par , ce que Dirac notera bien sûr . Le produit hermitien est noté en notation mathématique standard et chez Dirac. L'adjoint de A est défini par l'opérateur (s'il existe) tel que

pour tous vecteurs et .

A droite du signe égal, l'opérateur A agit réellement sur le vecteur, les parenthèses désignent le produit hermitien.

En notation de Dirac, le produit hermitien n'est pas représenté par un symbole propre: il utilise implicitement la correspondance de Riesz-Fréchet et qui permet de définir le dual <a| d'un ket |a> (que Dirac appelle un "bra").

C'est ici que la notation de Dirac pose un petit problème d’ambiguïté: dans la notation , on suppose toujours que l'opérateur agit vers la droite. On n'écrit pas un truc comme qui n'a aucun sens, puisque le symbole entre < et | n'est qu'une étiquette, ce n'est pas un vecteur. Pour définir l'adjoint en notation de Dirac, il faut donc écrire

.

Je trouve dommage qu'on explique ceci assez mal dans la plupart des cours. J'ai encore le souvenir de soirées d'intense confusion pendant les révisions avant examens il y a une quarantaine d'années.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mzk07]

Bonjour,

Ah oui en effet, tout ça peut porter à confusion, surtout à mon niveau..

Merci beaucoup pour toutes ces précisions

[BACHIR2023]

Bonjour
Si c’est l’idée, une fonction d’onde est donc = à la somme de tous les vecteurs possibles combinés? Envoyé par Mzk07
Néanmoins, rappelons-nous que, en théorie quantique, nous parlons d’un vecteur complexe et non d’un vecteur réel. Toute l’étrangeté du principe de superposition réside dans le fait que tous les états coexistent en même temps !!!
C’est le choix, par le biais de l’interaction de la particule avec un appareil – généralement un objet macroscopique – qui élimine toutes les possibilités et n’en laisse qu’une seule. C’est la mesure.

[Deedee81]

Salut,

Bachir, s'il te plait, essaie d'utiliser la balise "QUOTE". Car parfois c'est difficile de voir que le texte ne vient pas de toi. Le "envoyé par MZk07" n'est pas suffisant et n'est pas dans les habitudes du forum.

Pour cela il te suffit de cliquer sur "répondre avec citation" ou alors de mettre toi même la balise.

Merci,

[BACHIR2023]

Salut Deedee
A vrai dire, je ne connaissais pas cette fonction. Je vais faire attention pour les prochains messages.
Mais je n'y parviens pas du premier coup je demande un peu d'indulgence .
C'est gentil d'expliquer si possible à l'aide d'un clip vidéo.
merci d'avance

[gts2]

C'est gentil d'expliquer si possible à l'aide d'un clip vidéo.

Le bouton "Répondre avec citation" est juste en-dessous du message tout à fait à droite, une video pour çà ?

[BACHIR2023]

ca marche pas

[BACHIR2023]

Salut Deedee
Le bouton "Répondre avec citation" est juste en-dessous du message tout à fait à droite.

je trouve pas ce bouton, je trouve le bouton répondre sans le mot citation.

[Deedee81]

Salut,

je trouve pas ce bouton, je trouve le bouton répondre sans le mot citation.

Le problème est lié à la version du forum.

Mais tu peux utiliser les balises. Par exemple pour avoir la citation ci-dessus j'ai mis :

Et même :

[Mzk07]

Salut Bachir,
Mais oui... Et justement, c'est ceci que je trouve aussi fascinant qu'intriguant, et c'est aussi précisément ce qui me parait complètement contre intuitif !
Il va falloir que je me trouve des images mentales pour me représenter un espace vectoriel complexe maintenant
Merci!

[Deedee81]

Salut,

Il va falloir que je me trouve des images mentales pour me représenter un espace vectoriel complexe maintenant

Curieusement pour une fois c'est pas difficile Des vecteurs c'est juste des vecteurs cétou. Et on sait que deux espaces vectoriels de même dimension sont isomorphe, ce qui facilite les choses tant du point de vue des maths que du point de vue "mental". La seule chose ici est que le corps associé à l'espace vectoriel est l'ensemble des complexes plutôt que celui des réels. Ca ne complique (un peu) les choses que pour les composantes (une fois une base choisie) et le produit scalaire. Mais bon, ça c'est pas trop grave. Les vecteurs restent des vecteurs avec les mêmes règles "géométriques" que tout bon vecteur qui se respecte.

C'est plus difficile de se représenter un espace un espace vectoriel avec une infinité de dimensions (*) (surtout une infinité continue, un espace vectoriel complexe de ce type est pré-hilbertien, et on le complète via les suites de Cauchy. Et ces espaces ne sont pas toujours isomorphes. Les espaces avec un nombre fini de dimensions sont quand même plus faciles, déjà ils sont toujours complet). L'infini est une bestiole souvent peu intuitive (**). Mais heureusement on n'a généralement pas besoin de visualiser l'espace de Hilbert (exception pratique avec la sphère de Bloch pour le cas 2D, souvent utilisé en calcul quantique). On a plus besoin de visualiser l'espace "ordinaire".

(enfin, y a pire encore : les espaces ultramétriques, les espaces projectifs, les espaces de distributions...)

(*) anecdote/blague : Deux amis, un physicien et un mathématicien, vont ensemble assister à une conférence sur la théorie des cordes.
A la fin, le physicien dit, pffffffiou, c'est compliqué, des espaces à 11 dimensions. Tu arrives à te représenter ça toi ?
Oui, facilement.
Comment tu fais ?
Je visualise à N dimensions puis je pose N = 11


(**) un cas tordu : entre deux bases (d'un espace avec une infinité de dimensions, même pas nécessairement continue) il n'existe pas toujours une transformation unitaire passant de l'une à l'autre (un exemple très simple est une ligne infinie de spins, avec une base donné par une direction verticale et une base donnée par une direction inclinée). Mais je n'ai rencontré cette monstruosité qu'en théorie quantique des champs. En MQ traditionnelle (et même relativiste) on échappe à ces horreurs. C'est déjà bien compliqué comme ça.

[ThM55]

En MQ traditionnelle (et même relativiste) on échappe à ces horreurs.

Pas si sûr.


Je te recommande l'excellent article de François Gieres quant-ph/9907069v2. J'aime bien en particulier l'exemple 3: un opérateur hermitien pour lequel il montre une fonction propre avec valeur propre imaginaire. De quoi faire douter tous ceux qui pensent que les maths de la MQ sont toutes simples. C'est un simple exemple qui montre qu'en dimension infinie il faut prêter un minimum d'attention au domaine des opérateurs et que l'adjoint peut avoir un domaine distinct.

Ma remarque sur l'adjoint en notation de Dirac est très bien expliquée à la section 4.2.1 de cet article.

[Deedee81]

Pas si sûr.

Oui bien sûr je ne dis pas que ça ne peut pas se produire (au contraire).
Je dis juste qu'on peut l'éviter (en tout cas je n'ai jamais été confronté à la difficulté, mais je n'ai pas tout fait ou tout lu bien entendu).

Mais tu as raison de dire qu'il vaut quand même mieux être prévenu du risque. Par exemple dans l'étude du modèle Ising le risque peut se produire s'il vient l'idée saugrenue de faire le changement de base qui ne "convient pas". Au moins on sait qu'il ne faut pas faire n'importe quoi.

P.S. il est bien cet article, merci. Je ne le connaissais pas. Mieux encore il montre qu'on peut avoir des difficultés même sans le cas que je soulevais (le changement de base). Dans la formulation matricielle j'avais vu aussi des avertissement sur le fait que certaines règles de manipulation des matrices étaient fausses avec une infinité de dimensions.

[BACHIR2023]

salut

Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)]

c'est un essai

[BACHIR2023]

enfin ça marche
merci infiniment Deedee

[Deedee81]

Salut,

merci infiniment Deedee

Heureux d'avoir rendu service (ce qui me rappelle "l'homme bicentenaire" )
Tu vas pouvoir faire des superpositions quantiques de messages et citations