Effet Aharonov-Bohm

[Christian Arnaud]

Amis de la quantique , bonjour

Apparemment, l'expérience d'Aharonov-Bohm de 1959 avait pour objet de tester le couplage entre un champ potentiel vecteur A non nul (alors que le champ magnétique B l'est) et une onde de probabilité d'électron ; ce qui semble bien étrange et me fait vous poser deux questions :

1) Y-a-t-il d'autres expériences connues visant à tester la réalité physique du champ potentiel vecteur A ?

2) Sait-on comment cette idée farfelue est venue à l'idée de gens aussi sérieux ?

Merci de vos réponses
-----

[Antonium]

Bonjour,

Je suis très loin d'être connaisseur du statut expérimental actuel, mais il y a quand même quelques choses à dire :

1) Les interférences de type Aharonov-Bohm ont été importantes pour le développement de l'effet Hall quantique fractionnaire (https://en.wikipedia.org/wiki/Fracti...um_Hall_effect), dont les acteurs principaux sont les anyons non abéliens, observés par exemple ici : https://arxiv.org/pdf/1112.3400.pdf

Il y a a beaucoup d'applications liées à ces particules anioniques. D'un côté plus "technologique" ils veulent être utilisés pour faire des nouveaux algorithmes de calcul quantique (Je ne sais pas si ça a déjà été mis en place, peut être quelqu'un viendra compléter). L'avantage est que le "output" d'un tel algorithme sera beaucoup plus résistant à d'éventuels défauts introduisant des erreurs que les algorithmes quantiques usuels. La raison est topologique, la phase de Aharonov-Bohm dépend de la topologie de la trajectoire empruntée par les anyons, ainsi une petite perturbation ne change pas l'aspect global. J'ai hâte de découvrir ce que cela va donner.

Une autre côté plus théorique est la relation avec les théories de Chern-Simmons. Il y aurait énormément à dire donc je préfère être bref en laissant quelques "buzz-words" pour d'éventuels curieux. C'est lié à certaines phases topologiques de systèmes de matière condensée, en plus d'être une reformulation de la gravité quantique en 3 dimensions d'espace-temps, d'être dual aux modèles conformes de Wess-Zumino-Witten, ou encore d'être intimement liées aux mathématiques pures à travers la théorie des noeuds et le polynôme de Jones.

Tout ces phénomènes prennent donc racines dans l'effet Aharonov-Bohm, ce qui le rend extrêmement fascinant.

2) C'est loin d'être farfelu et vient juste de la combinaison de deux aspects bien connus.
a) En électrodynamique classique, les équations du mouvement sont reproduites par l'action d'une particule chargée qui contient le potentiel vecteur A, et pas les champs électriques/magnétiques.
b) En mécanique quantique, la fonction d'onde d'une particule chargée qui est déplacée de long d'une trajectoire acquiert une phase proportionnelle à l'action.
En combinant a) et b) on a donc que la phase d'une particule chargée acquiert une phase qui dépend du potentiel vecteur. La phase est inobservable en tant que tel, mais joue un role dès lors que l'on considère deux particules où la différence de phase devient observable.

[Christian Arnaud]

a) En électrodynamique classique, les équations du mouvement sont reproduites par l'action d'une particule chargée qui contient le potentiel vecteur A, et pas les champs électriques/magnétiques.

Bonjour,
Ah bon , moi j'en étais resté à la force de Lorentz où seuls les champs interviennent directement

[Antonium]

Oui, c'est bien de la force de Lorentz dont on parle. Si on cherche à la dériver à partir du principe de moindre action, le lagrangien contient le vecteur potentiel, comme démontré par exemple sur Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Force_électromagnétique (le wiki anglais est beaucoup plus fourni)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Sait-on comment cette idée farfelue est venue à l'idée de gens aussi sérieux ?

Oui.
Un des moyens pour incorporer l'électromagnétisme dans l'équation de Schrödinger ou celle de Pauli, ou encore celle de Dirac, c'est via le potentiel vecteur. Ce potentiel affecte la phase de la fonction d'onde (il est ajouté à l'opérateur impulsion, qui est un gradient). Comme la phase n'est pas mesurable directement, cela n'a pas d'effet dans beaucoup de cas. Dans le cas de l'effet Aharonov-Bohm toutefois, il s'agit d'une interférence, c'est-à-dire de la mesure d'une différence de phases et cela se voit dans un déplacement des interférences.

On le présente parfois de manière volontairement paradoxale en disant que l'effet se produit hors de tout champ magnétique. Mais cette présentation est un peu trompeuse. Le champ magnétique est en effet nul partout sur les trajectoires classiques des électrons, qui sont rectilignes. Mais il s'agit d'une expérience quantique, donc non-classique et il est erroné dans ce cas de raisonner avec des trajectoires rectilignes. Il s'agit bien d'ondes, dont la phase est affectée localement par le potentiel et d'ailleurs s'étendent jusqu'à la source du champ (le solénoïde). Une autre manière, équivalente, de raisonner est par la somme des amplitudes de Feynman le long de trajectoires mais là aussi une phase est associée à chaque trajectoire et est affectée par le potentiel.

Y-a-t-il d'autres expériences connues visant à tester la réalité physique du champ potentiel vecteur A ?

Oui.
Un exemple remarquable de ce genre d'effet date de 1930 et est dû à Dirac. Dirac a montré que s'il existe des monopôles magnétiques, le produit de leur charge magnétique et de la charge électrique élémentaire e est quantifié. On a une relation où n est un entier. Dirac a déduit cette relation du fait que la phase de la fonction d'onde du monopôle dans le champ de la particule chargée, de même que celle de la particule électriquement chargée dans le champ d'un monopôle, doit être univaluée. Cette contrainte impose une condition stricte sur sa phase, et on en déduit la condition de quantification de Dirac. Pour décrire le potentiel du monopôle, Dirac a proposé que celui-ci soit relié à l'infini au moyen d'une "corde", qui est un tube de flux magnétique, un peu comme un très fin solénoïde. Cela permet de calculer le potentiel vecteur du monopôle à partir des équations de Mawxell. Il est amusant de calculer l'effet Aharonov-Bohm créé par la corde de Dirac: si la condition de quantification de Dirac est vérifiée, alors le décalage A-B est invisible, il correspond à une période complète. Autrement dit, cette "corde" est fictive, c'est un artifice de calcul qui ne représente rien d'observable. Une autre conséquence, plus intéressante, est que s'il existe quelque part dans l'univers un seul monopôle magnétique, alors toutes les charges électriques sont quantifiées; elles sont forcément multiple entier d'une charge fondamentale. On aurait là une explication de la quantification de la charge, qui reste un postulat dans le modèle standard.

Cependant, on n'a jamais observé de monopôle magnétique. Leur existence est prédite par certaines théories de grande unification, mais dans ce contexte il s'agit de particules composites de grande masse, qu'il est très difficile de produire en paires. Malgré cette difficulté et la très faible probabilité qu'on l'observe un jour, le monopôle fait toujours l'objet de recherches expérimentales. Je renvoie au site du CERN, il y a plusieurs programmes sur le sujet et on peut trouver facilement de la documentation.

[coussin]

Je n'ai jamais compris pourquoi on dit que le champ magnétique est nul dans ces expériences...
On parle bien de particules chargées en mouvement, non ? Elles génèrent donc un champ magnétique. D'ailleurs, une interprétation de l'effet repose sur la diffusion de ce champ magnétique par la région contenant le solénoïde...

[pachacamac]

Pour comprendre l'effet Aharonov–Bohm et son utilisation dans les gaz d'atomes froids, un cours de Jean Dalibard au collège de France :

en vidéo : https://www.college-de-france.fr/fr/...ule-ponctuelle
ou en texte ( à partir de la page 12) https://www.college-de-france.fr/sit...compressed.pdf

Bonus :

La topologie dans le laboratoire : comment détecter le nombre de Chern et les phases topologiques dans un gaz d'atomes froids ?

[ThM55]

Je n'ai jamais compris pourquoi on dit que le champ magnétique est nul dans ces expériences...
On parle bien de particules chargées en mouvement, non ? Elles génèrent donc un champ magnétique. D'ailleurs, une interprétation de l'effet repose sur la diffusion de ce champ magnétique par la région contenant le solénoïde...

C'est parce qu'on parle d'un champ externe, pas du champ créé par la particule elle-même.

[Christian Arnaud]

Je n'ai jamais compris pourquoi on dit que le champ magnétique est nul dans ces expériences...

Ah , bonjour Coussin et merci pour cette remarque qui mérite qu'on s' arrête un temps
D'après ce que j'ai compris , cette expérience proposée en 1959 est une expérience de pensée et qui pose comme cadre un espace où le champ magnétique est nul mais pas son potentiel vecteur.
Ils prennent pour ça un solénoïde infini dont on sait en théorie que le champ extérieur à celui-ci est nul (voir par exemple :https://www.youtube.com/watch?v=tTW4GxRG4cg
Alors j'ai déjà deux remarques par rapport à ça :
1) par où passent les lignes du champ qui sortent d'une extrémité du tube pour rejoindre l'autre extrémité ?
2) si l'on admet à la rigueur qu'il y a un champ extérieur de retour très faible, celui ci est très faible , certes, mais non nul et peut donc expliquer le déphasage des ondes d'électron sans avoir recours à l'interaction avec le potentiel vecteur.
Et, enfin, j'ajouterais que les expériences réalisées sont concrètes et ne peuvent donc se passer autour d'un solénoïde infini

[ThM55]

Oui, les expériences ont évidemment été faites avec des solénoïdes finis, cela va sans dire. Dans le premières expériences des années 1980 il s'agissait de petits filaments ferromagnétiques qu'on appelle des "whiskers", qui se forment dans certains matériaux et qui contiennent un flux magnétique. Evidemment, les lignes de champ de referment à l'extérieur des whiskers, et pour cette raison il y a eu une certaine controverse sur le fait que l'effet observé était bien l'effet quantique ou autre chose.

Je ne connais pas bien la suite des essais expérimentaux, c'est une chose que je n'ai pas du tout suivie. Mon explication ne concernait que le modèle "idéal" avec un solénoïde infini. La théorie quantique prédit un effet observable. Qu'il soit vérifié expérimentalement ou pas, cela ne me semble pas essentiel. L'essentiel est que le potentiel vecteur est acteur dans le hamiltonien et ses propriétés topologiques peuvent avoir des effets observables.

[gts2]

par où passent les lignes du champ qui sortent d'une extrémité du tube pour rejoindre l'autre extrémité ?

Je crois avoir compris que les expériences de Tonomura ont été faites avec des tores ce qui règle le problème.

[pachacamac]

Exact. Les raies de diffraction ne sont plus obtenues par le passage à gauche ou à droite du solénoïde mais par le passage à l’intérieur ou à l’extérieur du trou

.

[ThM55]

Super, merci. Remarquer la longueur d'onde de de Broglie des électrons, c'est tout petit!

Une dernière remarque, toujours sur le plan purement théorique. Le potentiel vecteur présente une indétermination, celle apportée par l'invariance de jauge. En physique classique on considère pour cette raison que sa valeur numérique n'est pas vraiment physique car on peut toujours lui ajouter le gradient d'un champ (une forme exacte). Ce sont les champs électrique et magnétique qui comptent. En physique quantique, c'est vrai aussi jusqu'à un certain point. Par exemple dans la quantification par l'intégrale de chemins de Feynman, on doit factoriser cette redondance non physique par diverses techniques mathématiques élaborées. Mais quand deux configurations du champ potentiel ont des propriétés topologiques distinctes, par exemple si elles correspondent à des classes d'homotopie différentes, elles ne peuvent être transformées l'une dans l'autre par une transformation de jauge. C'est cela qui cause les effets physique. Par exemple si je retire une droite ou un tore de l'espace, son groupe fondamental devient non trivial et on peut définir des configurations de champ physiquement non équivalentes. C'est de ce côté qu'il faut chercher pour comprendre ce qui se passe et expliquer pourquoi le potentiel peut avoir des effets observables même pour des propagations dans des régions sans champ magnétique.

[Christian Arnaud]

La théorie quantique prédit un effet observable. Qu'il soit vérifié expérimentalement ou pas, cela ne me semble pas essentiel. L'essentiel est que le potentiel vecteur est acteur dans le hamiltonien et ses propriétés topologiques peuvent avoir des effets observables.

Oui, Hamiltonien ou Lagrangien

Je crois avoir compris que les expériences de Tonomura ont été faites avec des tores ce qui règle le problème.

Oui, en effet , de cette façon les lignes de champ sont confinées à l’intérieur du solénoïde-tore ; je crois qu’on peut trouver ces tores par exemple chez PICO Electronics aux US.

Exact. Les raies de diffraction ne sont plus obtenues par le passage à gauche ou à droite du solénoïde mais par le passage à l’intérieur ou à l’extérieur du trou

Pièce jointe 483660.

Ok et grand merci pour la vidéo (que tu avais déjà cité d’ailleurs un peu plus tôt).
C’est vraiment d’une grande clarté et tout à fait adapté à la question même si il faut s’accrocher de temps en temps (mais c’est normal puisque c’est du cours niveau Normal’Sup ou X).
J’avoue que si j’étais tombé sur cette vidéo avant de poser ma question, je m’en serais abstenu

Super, merci. Remarquer la longueur d'onde de de Broglie des électrons, c'est tout petit!
......
C'est de ce côté qu'il faut chercher pour comprendre ce qui se passe et expliquer pourquoi le potentiel peut avoir des effets observables même pour des propagations dans des régions sans champ magnétique.

Bin oui, h/p ça peut pas être très grand.

Ok pour l’importance du potentiel ; avec toutes vos réponses j’ai maintenant les infos qu’il me fallait et j’en suis maintenant persuadé.

On peut fermer le sujet et je remercie encore tous les participants

[pachacamac]

"C’est vraiment d’une grande clarté "

Oui, j'avais assisté en présentiel à ce cours et à quelques autres de Jean Dalibard au Collège de France, c'est tellement clair et son cheminement logique que j'avais l'impression à la sortie d'avoir compris l'essentiel (sauf le détail des équations ) alors que j'ai vraiment pas le niveau mathématique pour cela.