Équation de Dirac pour plusieurs particules

[Husserliana]

Bonjour à tous,

Une question en passant. J'ai lu sur le mur Facebook d'un mathématicien à la retraite la remarque suivante: "il n'y a tout simplement pas de système de particules" (et en fait, même pas de centre de masse !) en relativité restreinte ; et c'est pourquoi on ne saurait écrire l'équation de Dirac de deux particules."
Il n'en dit pas plus, ce qui rend pour moi le commentaire très... cryptique. Qu'est-ce qui nous empêcherait de parler de et travailler sur des "système de plusieurs particules" en RR, et par suite, en théorie quantique relativiste à votre avis ?
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[Antonium]

Bonjour,

Etrange remarque, on sait très bien travailler sur des systèmes à plusieurs particules, encore heureux si on veut faire des prédictions pour ce qu'il se passe dans les collisionneurs... D'ailleurs l'équation de Dirac pour deux particules est juste deux équations de Dirac, une pour chaque particule... En effet c'est une équation d'onde sur la cinématique des fermions, elle ne prend pas en compte leurs interactions, donc qu'il y aie une, deux, trois ou mille particules ne change rien. L'histoire est différente lorsqu'on considère des interactions (qui existent dans le monde réel). Dans ce cas les équations décrivant la dynamique changent, et ne sont pas l'équation de Dirac, mais on sait les écrire, et les résoudre perturbativement si l'interaction n'est pas trop forte.

[Deedee81]

Salut,

Oui, faut juste un hamiltonien avec le terme d'interaction. Bon, je ne me suis jamais amusé à ça (sauf pour électron - photon) mais il n'y a pas d'impossibilité de principe.

[ThM55]

Quand on a plusieurs électrons on ne peut pas écrire simplement une équation de Dirac indépendante pour chacun. Ce serait faux. L'état à plusieurs particules appartient au produit des espaces d'état (c'est cette observation qui a conduit Schrödinger à décrire les état intriqués) et ils sont antisymétriques si on interchange les variables dynamiques, y compris le spin (car l'électron est un fermion). On peut le faire aisément si on ignore l'interaction électromagnétique mais il faut "à la main" antisymétriser l'état. Cependant si on veut vraiment écrire une équation d'onde pour un tel système, si on veut être réaliste, il faut inclure leur interaction électromagnétique et cela pose d'énormes problèmes car il faut tenir compte des effets de retard, on ne peut pas simplement écrire le hamiltonien d'un des électrons dans le potentiel créé par l'autre. C'est peut-être cela que ce mathématicien voulait dire? Cependant, il existe une approximation réaliste valable dans certaines limite (où on peut négliger certains effets relativistes), cela s'appelle l'équation de Breit. Elle a été découverte en 1929, soit environ un an après l'équation de Dirac. Voir ici: https://en.wikipedia.org/wiki/Breit_equation (n'existe pas dans Wiki français!).

De manière plus générale, il y a l'équation de Bethe-Salpeter, qui permet de décrire les états liés.

En électrodynamique quantique on ne procède pas de cette manière. On part d'un champ obéissant à l'équation de Dirac. Cette équation dans ce contexte n'est PAS la fonction d'onde d'une seule particule a priori, on le considère comme un champ classique, un système dynamique à nombre infini de degrés de liberté. Chaque degré de liberté est ensuite quantifié et on trouve que les amplitudes des modes de Fourier deviennent des opérateurs de création et d'annihilation qui sont appliqués à l'état du champ. Pour la cohérence on se voit obligé de prendre des opérateurs qui anti-commutent, ce qui rend l'état automatiquement antisymétrique. Contrairement à ce que j'ai dit plus haut (où on le faisait à la main), ici cela devient un théorème qui a d'ailleurs une formulation plus générale. On peut à partir de là retrouver les équations d'onde, pour une, deux ou plus d'électrons mais ce n'est pas tellement utile. Il y a la même procédure pour le champ électromagnétique. Jusue là ils sont indépendants. Les choses sérieuses commencent quand on écrit le terme d'interaction. A ce moment on ne sait plus résoudre l'équation comme pour les champs libres et on s'embarque dans une autre aventure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Indépendamment de ces questions, la notion de fonction d'onde a une validité limitée en théorie quantique relativiste car la localisation précise d'une particule n'est plus possible. On le voit par exemple dans le paradoxe de Klein.

[coussin]

Indépendamment de ces questions, la notion de fonction d'onde a une validité limitée en théorie quantique relativiste car la localisation précise d'une particule n'est plus possible. On le voit par exemple dans le paradoxe de Klein.

Paradoxe de Klein, Zitterbewegung ne sont qu'un artefact du fait que fonctions d'onde de la particule et de son antiparticule sont mélangées. Une conséquence est l'impossibilité de definir proprement un courant de probabilité.
Il est toujours possible d'appliquer une transformation de Foldy-Wouthuysen qui "démêle" les fonctions d'onde de la particule et de son antiparticule. Le paradoxe de Klein et le Zitterbewegung disparaissent alors.
Tout n'est pas rose néanmoins puisque les interactions deviennent très difficiles à décrire après cette transformation...