Bonsoir ou bonjour à tous,
généralement, pour obtenir les équations de bilan de quantité de mouvement local en mécanique des milieux continus, il existe 2 approches principales :
- Un principe fondamental de la dynamique sur une particule matérielle (une généralisation des particules fluides à tout milieu continu).
- L'utilisation du théorème de transport de Reynolds sur un bilan global de quantité de mouvement.
Je n'ai aucun problème avec l'approche reposant sur une particule fluide, mais je n'aime pas tellement recourir à ce genre de méthode que je trouve assez inélégante, surtout que la plupart des cours avancés de mécanique des milieux continus se servent beaucoup plus du passage de bilan global au bilan local à l'aide du théorème de transport de Reynolds que de la méthode des particules. Bref, mon problème est le suivant (je vous donne également un pdf avec ma "démonstration" en équation) :
Dans un bilan global de quantité de mouvement sur un volume de contrôle de mon milieu continu, les seules forces prises en compte dans l'évolution de la quantité de mouvement de mon volume de contrôle sont les forces extérieures agissant sur mon système. Cela regroupe les forces surfaciques extérieures et les forces volumiques extérieures. En effet, les forces intérieures, une fois sommées, se compensent par principe d'action-réaction. Donc je ne les prend pas en compte.
J'utilise alors le théorème de Cauchy sur les forces surfaciques, qui me permet d'écrire les forces sur le bord de mon système avec le tenseur des contraintes, au lieu d'utiliser un vecteur de densité de force surfacique. Noté ici que le tenseur des contraintes n'est défini à priori que sur le bord de mon système.
Si j'utilise très naïvement le théorème de transport de Reynolds et le théorème de Green-Ostrogradski sur ce bilan global, je me retrouve avec 2 problèmes principaux :
- A priori, le tenseur des contraintes n'est pas défini ailleurs que sur le bord de mon système, et je ne peux donc pas utiliser le théorème de Green-Ostrogradski sur celui-ci.
- Finalement dans mon bilan, il ne me reste que les forces volumiques extérieures. Or je sais par exemple qu'en astrophysique (mon domaine de coeur), on considère à la fois des systèmes autogravitant et des systèmes de fluide chargé pour modéliser les plasmas astrophysiques ce qui rentre parfaitement dans le cadre des milieux continus. Dans les deux cas, on utilise la force de Lorentz ou la force de gravitation avec leurs champs respectifs qui prennent également en compte les champs créés par le milieu lui-même. Ce qui n'est donc pas qu'une force extérieure.
Je sais que le deuxième point se règle facilement si au lieu de prendre uniquement les forces extérieures dans mon bilan global initial, je prend aussi en compte les forces intérieures, mais j'aimerai comprendre pourquoi je ne peux pas utiliser les différents théorèmes de ma "démonstration" sur ce bilan spécifique qui semble parfaitement juste, en considérant le principe d'action-réaction.
Finalement mes deux questions sont :
- Pourquoi je peux appliquer le théorème de Green-Ostrogradski sur le tenseur des contraintes qui n'est sensé être défini que sur les bords de mon volume de contrôle ?
- Pourquoi je dois impérativement prendre en compte les forces intérieures dans mon bilan global pour passer au bilan local, alors que leur résultante est nulle d'après le principe d'action-réaction ?
Merci d'avance pour vos réponses, et n'hésitez pas à me demander plus de précisions ou de clarté.
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