Divergence

[Jon83]

Bonjour!
Comment interpréter cette phrase : "si la divergence de quelque chose est nulle, alors cette chose est la courbure de quelque chose d’autre" ?
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[Resartus]

Bonjour
Si un champ vectoriel est de divergence nulle, il peut être considéré comme le rotationnel (la "courbure" vectorielle?) d'un champ qui est son potentiel vecteur*

Cela marche dans un espace euclidien 3D. Mais pas facile de trouver un équivalent en dimension supérieure

*une infinité même, puisque on peut lui ajouter le gradient de n'importe quel champ scalaire sans changer le rotationnel

[ThM55]

En dimensions supérieures c'est le théorème de Poincaré pour les formes différentielles fermées dans un domaine étoilé.

Le terme de "courbure" peut sembler bizarre mais il vient des théories de jauge dans lesquelles le champ est assimilé à la courbure d'une connexion. Il y a une analogie formelle avec la courbure en relativité générale, qui avait été notée par Cheng Ning Yang lui-même. Dans le cas abélien (comme le champ électromagnétique), c'est un simple rotationnel mais dans le cas non-abélien, il y aussi a un terme avec un commutateur, c'est un peu plus compliqué. Je trouve qu'introduire la notion de courbure dans une phrase aussi simple est un peu exagéré.

[Jon83]

Merci pour vos réponses!

Pour info, la phrase est tirée de "Quantum Field Théorie in a Nutshell " de E. Zee Princeton 2ème édition (p325)

Cordialement, Jon

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Merci pour vos réponses!

Pour info, la phrase est tirée de "Quantum Field Théorie in a Nutshell " de E. Zee Princeton 2ème édition (p325)

Cordialement, Jon

Zee explique très bien les théories de jauge non abéliennes (chapitre IV.5 dans la première édition). Mais il n'explique pas l'analogie soulignée par C.N.Yang. Formellement, les coefficients de connexion (de Christoffel) en relativité générale sont analogues au potentiel vecteur du champ de Yang-Mills et le tenseur de courbure de Riemann est analogue au tenseur de champ F. Ls formules se ressemblent. La différence est qu'en relativité générale il y a un "sous-sol", un étage en plus sous la connexion, qui est la métrique pseudo-riemannienne dont dérive cette connexion. Mais les deux étages au dessus sont très ressemblants, les formules sont les mêmes, avec des indices en plus. C'est de cette manière que je comprends la terminologie de courbure employée ici.

En théorie abélienne, donc dans le cas de Maxwell où le groupe de jauge U(1) est commutatif, on a dF=0 pour la 2-forme F. C'est une forme fermée (une divergence qui est nulle). D'après le théorème de Poincaré on doit avoir F=dA où A est une 1-forme: une forme fermée est exacte, sous les conditions du théorème (si ces conditions ne sont pas remplies globalement, on aborde les question de cohomologie et de groupe de de Rham). Dans le cas de Yang-Mills, Zee explique comment le faire: on remplace la dérivée extérieure d par D = d+A oµ A est le potentiel (membre de l'algèbre de Lie de SU(2)) et on écrit simplement (le d agissant sur A, formule (13) dans le chapitre IV). C'est très élégant.

Hors sujet, C.N.Yang né en 1920 vit toujours, il a 102 ans. Son collègue T.D.Lee, codécouvreur avec lui et Shieng Sun Wu pour la partie expérimentale de la violation de la parité P, est décédé le mois dernier.