Divergence QED
Bonjour,
Une remarque de mtheory dans le fil sur les cordes m'a rappelé une question que je me pose :
J'ai lu que le développement perturbatif (renormalisé !) de la QED était asymptotiquement divergent.
Est-ce vrai ? Est-ce démontré ? Cela signifierait que le lagrangien QED ne serait qu'effectif. Quelles sont les réflexions autour de cette divergence (causes et solutions) ?
Merci de vos lumière,
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Il me semble que des méthodes non-perturbatives ont établi qu'une théorie des champs était soit triviale (cad qu'il n'y a pas d'interaction) soit de rayon de convergence nul (cad que la resommation du développement perturbatif d'une interaction ne converge jamais quelque soit la valeur du couplage de cette interaction). Mais ce sont de vagues souvenirs dont aucune référence ne m'est restée.Est-ce vrai ?
En toute rigueur QED est une théorie effective pour plusieurs raisons :Cela signifierait que le lagrangien QED ne serait qu'effectif
1) A partir de E=Mw, la physique n'est plus décrite par QED, mais par la théorie électro-faible.
2) QED n'explique pas la quantification de la charge électrique (le modèle standard non plus d'ailleurs) car basée sur une symétrie abélienne, U(1).
3) Meme si on met de coté quelconque nouvelle physique apparaissant à une certaine échelle, il reste que QED étant basé sur une symétrie U(1), elle souffre de la présence d'un pole de Landau, elle n'est pas asymptotiquement libre. C'est à dire qu'il existe une énergie finie pour laquelle le couplage électromagnétique devient infini (le fameux alpha valant 1/137 à la masse de l'électron). La théorie n'a donc plus de sens au dela de cette échelle. Pour QED je n'ai plus la valeur en tete mais ce pole est bien au-delà de l'échelle de Planck, donc peu important physiquement, puisque QED doit etre remplacé par une autre théorie bien avant de devenir pathologique.
Honnetement je n'en sais rien. Soit on prend un point de vue pragmatique et on se limite à un incroyable accord entre QED et les mesures avec seulement quelques termes de la serie de perturbations (ce qui ne représente pas moins de quelques millions de diagrammes, à 3 ou 4 boucles) pour juger de la validité de la théorie. Soit on tient absolument à obtenir une résolution non-perturbative, et la je n'en sais pas plus... désoléQuelles sont les réflexions autour de cette divergence (causes et solutions) ?
Bonjour,
Je te remercie pour ces précisions.
Je viens d'apprendre quelque chose et je viens d'aller voir ça sur le net, c'est vraiment intéressant. Je devrais étoffer un peu ma bibliothèqueEnvoyé par Karibou Blanc
et potasser un peu le groupe de renormalisation que j'avais bypassé car plutôt ardu. Mea culpa.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Hello Deedee,
Pour aborder le groupe de renormalisation et en avoir une idée physique plus claire, je te conseille de commencer par l'approche statistique du groupe de Wilson
Ça se connecte bien sûr avec la vision "physique des hautes énergies" et cure de diagrammes, mais ma faible expérience du GR m'a fait sentir que je n'ai réellement compris le GR que via l'interprétation de Wilson comme un groupe de transformation de paramètres permettant de décrire une théorie sur plusieurs échelles différentes.
Bonjour,
Merci du conseil.Pour aborder le groupe de renormalisation et en avoir une idée physique plus claire, je te conseille de commencer par l'approche statistique du groupe de Wilson
Je connaissais l'approche par les théories critiques, fort intéressante... au début (car après je trouvais quand même cela imbuvable).
J'avais compris la "philosophie" mais voilà bien quelque chose que moi je n'ai pas "senti" et cela montre bien que je suis lacunaire dans ce domaine.
Je viens de trouver quelques articles sur ArXiv (via Wikipedia)
- l'approche par le groupe de Wilson http://fr.arxiv.org/abs/hep-th/0603151 42 pages
- l'approche par les phénomènes critiques http://fr.arxiv.org/abs/cond-mat/0012164 150 pages
Ca m'a l'air très bien.
Je vais imprimer le premier et digérer ça tranquillement.
Merci encore à vous deux.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
En parlant de ça, il y a une question que je me pose depuis pas mal de temps...Hello Deedee,
Pour aborder le groupe de renormalisation et en avoir une idée physique plus claire, je te conseille de commencer par l'approche statistique du groupe de Wilson
Ça se connecte bien sûr avec la vision "physique des hautes énergies" et cure de diagrammes, mais ma faible expérience du GR m'a fait sentir que je n'ai réellement compris le GR que via l'interprétation de Wilson comme un groupe de transformation de paramètres permettant de décrire une théorie sur plusieurs échelles différentes.
Lorsqu'on traite par exemple le modèle phi4 avec une action euclidienne pour un modèle critique O(1) par exemple, on montre avec le GR (à la Wilson), que si on se place sur la variété critique et que l'on applique plusieurs coups de GR disons, on voit apparaitre des paramètres du modèles qui sont relevants et d'autres irrelevants. Il me semble, en particulier que les paramètres associés aux ordres supérieurs à l'ordre 4 sont irrelevants sous l'action du GR, il me semble, si mes souvenirs sont bons, que ça justifie pourquoi ça ne sert pas à grand chose d'aller au delà de phi4 pour avoir l'exposant de la transition.
Comme je n'ai jamais fait de renormalisation en TQC, je me demandais si les paramètres qui apparaissent dans le Langrangien QED correspondaient à des paramètres relevants sous le GR, ce qui justifierait en quelque sorte l'ordre auquel on s'arrete ou bien ça n'a rien à voir du tout avec ça ?
P.S : dites le moi si je raconte n'importe quoi hein !
Bonjour,
Eh bien, on a de bonnes raisons de soupçonner que la sommation complète de la série perturbative est divergente (Cf Kaku), quand bien même on peut montrer avec la méthode BPHZ que la QED est renormalisable. Donc on traite la QED comme juste une théorie effective et la série perturbative juste comme un développement asymptotique effectivement.
Sinon, je suis d'accord avec ce que dit Karibou
“I'm smart enough to know that I'm dumb.” Richard Feynman
Bonjour,
Voilà qui répond bien à ma question. Merci. Le bouquin de Kaku a l'air bien, mais il est pas donné, pffffff les bons bouquins de physique ça coute toujours la peau des f...
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Je suis bien d'accord, c'est d'ailleurs sous cette angle que je l'ai découvert. Et puis avec le temps, et des questionnements sur la renormalisation en tqc, j'ai fini par lire ca : http://arxiv.org/abs/hep-ph/0506330Pour aborder le groupe de renormalisation et en avoir une idée physique plus claire, je te conseille de commencer par l'approche statistique du groupe de Wilson
La clé pour comprendre le groupe de renormalisation est que les constantes (couplages, masses et normes) qu'on écrit dans un lagrangien ne sont des grandeurs physiques (cad directement mesurables) que dans une description classique des phénomènes que la théorie des champs décrit. Ces constantes naives ne réalise rien de plus qu'une simple paramètrisation de la théorie. Ils sont ce qu'on appelle des paramètres nues, et n'ont pas de sens physique.
Restons classique pour le moment, et prenons l'exemple de la physique statistique, on a mettons un ensemble de spins sur un réseau. J'écris mon lagrangien d'interaction de ces spins en utilisant un couplage g. L'idée de Wilson est qu'il est possible de décrire la meme physique (intéraction de spins) en utilisant une théorie (un lagrangien et donc un g) différente que l'on dérive de la première en faisant un changement d'échelle (ce qui revient à décrire la physique à une énergie différente, car l'invariance par translation implique un rescaling inverse (deltaP.deltaX=cste) dans l'espace des moments). On peut commencer à remarquer ici que le couplage g défini pour un réseau de pas a, je le note g(a), n'est pas completement une grandeur physique car un changement d'échelle entrainera un changement de g de manière à ce que mon nouveau lagrangien décrive toutjours la meme physique. C'est l'invariance sous le groupe de renormalisation. Bien évidemment pour décrire mes interactions de spin, je n'ai besoin qu'une seule paramètrisation de mon lagrangien, cad d'un seul choix de taille de réseau. Une fois a fixé, g(a) est fixé et représente bien une grandeur physique mesurable du système lorsque l'énergie des interactions est de l'ordre de 1/a.
En TQC, la situation est analogue à ceci près que toute les échelles d'énergie interviennent en meme temps, des lors qu'on inclut les fluctuations quantiques (corrections à boucles), car les champs circulant dans les boucles ont un moment arbitraire. Alors que dans l'approche classique seule une échelle (celle définie par la taille du réseau) intervenait dans la description des interactions.
La conséquence est que le couplage g(E=1/a) n'est plus physique car l'ensemble des g(E) pour différentes énergies (et non un seul pour une énergie présice) est impliqué dans la description quantique de l'interaction.
A la différence d'un vrai réseau, il n'existe aucune taille physique minimale pour un champ, ce dernier étant continu. Ainsi il n'existe aucune échelle de référence E_ref pour définir une valeur physique du couplage g=g(E_ref) et l'ensemble des g(E) s'étent de g(0) à g(infinie). Ils sont tous reliés par entre eux par ce qu'on appelle le groupe de renormalisation.
L'autre conséquence de cette "superposition d'échelle" qu'imposent les fluctuations quantiques et qu'à n'importe quelle valeur de l'énergie initiale en jeu dans l'interaction, le couplage g(infinie) intervient dans le calcul rendant toute prédiction de la théorie infinie. La raison est simplement qu'il n'existe aucune échelle minimale (de référence) pour définir l'intensité de l'interaction, et que donc l'énergie échangée dans une boucle peut etre infinie. En termes technique on dit qu'il n'y a aucun cut-off naturel dans la théorie quantique.
La solution consiste à ajouter à la main une référence dans la théorie et d'utiliser une mesure expérimentale de g à une énergie choisie arbitrairement comme référence, g(E_exp), pour décrire l'interaction en présence des fluctuations quantiques. La valeur de g(E_exp) est nécessairement physique et finie car elle est le résultat d'une mesure. La conclusion est celle attendue: en termes de paramètres physiques la théorie quantique a des prédictions parfaitement finie.
C'est parfaitement résumé, bravo Karibou
Pour donner un petit mementum, je fais remarquer que l'approche de la TQC, une fois exprimée en terme de variables de Wilson, est la démarche inverse de Wilson : en physique stat on fait la plupart du temps des changements d'échelle en X, en TQC c'est (historiquement) des changements d'échelle en P. Ceci explique que les fonctions beta par exemple ont des signes opposés dans les deux définitions (TQC et approche de Wilson).
Bien sûr une fois cette petite remarque faite, tout se raccorde bien
Tout à fait, et c'est ce qui explique (en partie, corrige moi Karibou si je dis des bêtises) l'histoire des schémas de renormalisation différents : on prendra plusieurs référérences différentes et il est souvent fructueux de comparer les résultats obtenus. En électrofaible, on peut se placer à la masse de l'électron, la masse du Z, et sans doute plus tard la masse du Higgs (une fois qu'on aura découvert la bestiole - si on la découvre
Bonjour,
Ah oui ! Après avoir jeté un oeil, j'imprime itou.
Mais pourquoi ils ne l'ont pas dit comme ça dans mes bouquins, j'aurais compris !
D'où le lien entre ma question initiale et vos remarques. Les pièces du puzzle s'emboitent
Merci pour ces explications pédagogiques, je ne m'attendais pas un tel florilège d'explications claires
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Pour être un peu "rough", la renormalisation n'est "qu'une" loi de changement de "base" de la théorie dans l'espace des paramètres
re-salut,
Personne pour répondre à ma petite question ?
Désoli, elle était passée à la trappere-salut,
Personne pour répondre à ma petite question ?
Ta question est intéressante, je n'ai jamais fait le calcul pour voir si les paramètres du lagrangien QED sont relevants au sens de Wilson ; je sais par contre qu'ils ont la bonne dimension vis-à-vis du critère de degré de divergence superficielle, or ce degré de divergence est à rapprocher des exposants de Wilson donc intuitivement j'aurais envie de dire que ta remarque est pertinente et assez correcte, mais l'intuition dans ce genre de choses ne suffit pas
Ok merci pour ton avis GwyddonDésoli, elle était passée à la trappe
Ta question est intéressante, je n'ai jamais fait le calcul pour voir si les paramètres du lagrangien QED sont relevants au sens de Wilson ; je sais par contre qu'ils ont la bonne dimension vis-à-vis du critère de degré de divergence superficielle, or ce degré de divergence est à rapprocher des exposants de Wilson donc intuitivement j'aurais envie de dire que ta remarque est pertinente et assez correcte, mais l'intuition dans ce genre de choses ne suffit pas.
Si d'autres physiciens des hautes energies peuvent continuer de m'éclairer sur cette question ils sont les bienvenus
En fait en QED il n'y a que deux paramètres, la masse de l'électron et la constante de structure fine (ie le couplage de jauge). Le lagrangien de QED est renormalisable, ce qui signifie que les couplages sont de dimension (de masse) positive ou nulle, la masse est de dimension 1, et le couplage de gauge de dimension 0. Cela signifie qu'en changeant d'échelle d'énergie (ie en appliquant une transformation du GR), la masse m et le couplage g seront modifiés (car les paramètres évoluent sous le GR de manière à ce que le lagrangien soit invariant) de la facon suivante (je donne juste les ordres de grandeurs en me basant sur une simple analyse dimensionelle) :je me demandais si les paramètres qui apparaissent dans le Langrangien QED correspondaient à des paramètres relevants sous le GR, ce qui justifierait en quelque sorte l'ordre auquel on s'arrete ou bien ça n'a rien à voir du tout avec ça ?
m^2 -> m^2 + E^2
g -> g + beta.log(E)
La masse carrée de dimension 2 est dite relevante car son effet devient de plus en plus important lorsque l'énergie augmente. En revanche un coefficient de dimension 0 est dit marginal, car dépendant du signe de beta (la fameuse fonction beta!) le couplage croit (devient relevant) ou decroit (devient irrelevant) avec l'énergie.
On peut tres bien ajouter d'autres operateurs de dimensions supérieures à 4 dans le lagrangien de QED, on parle d'opérateurs non-renormalisable. Dans ce cas il faudra introduire un paramètre dimensionné supplémentaire (M) de manière à ce que ces nouveaux operateurs soient ramené à une dimension de 4 pour avoir une action sans dimension. Par exemple un operateur de dimension 6, comme F^3 (F est le tenseur champ EM) apparaitra dans le lagrangien avec le coefficient suivant :
(a/M^2) F^3
ou a a dimension 0. On remarque tout de suite que cette nouvelle M doit être importante devant m car dans le cas contraire QED (cad les termes renormalisables seulement) ne pourrait pas être une bonne théorie de l'electrodynamique car il faudrait que tout les autres opérateurs de dimensions supérieures soient pris en compte pour faire des prédictions car leurs effets seraient tous du meme ordre de grandeur que les termes renormalisables. On dit alors que ces nouveaux termes sont effectifs dans le sens ou ils decrivent de manière effective les effets d'une nouvelle particule (de masse M) vivant à une échelle d'énergie plus importante que l'électron.
Ok mais pourquoi il n'y a que deux paramètres ? A priori c'est un peu arbitraire de s'arreter à l'ordre deux en champs et en dérivées des champs non ?
Je pensais qu'une explication possible était la renormalisation...mais si c'est pas ça (on voit déjà que c'est assez compliqué ne serait ce que pour la constante de couplage) qu'est ce qui justifie ce troncage du développement de la densité lagrangienne ?
Hello gatsu,
En même temps il y a des raisons physiques à l'expression du lagrangien QED, donc ce n'est pas une contrainte que met la renormalisation a priori.
Dit autrement, sans renormalisation tu as le lagrangien QED. Après ce que peut t'apporter la renormalisation, c'est de savoir si ce lagrangien que tu as a priori est suffisant (ie la théorie est bien renormalisable) ; si ce n'est pas le cas, tu peux alors commencer à réfléchir à l'ajout de termes d'ordre supérieur pour corriger les soucis.
Par exemple c'est ce qui se passe avec du phi3 il me semble.
Car tout les autres opérateurs de dimensions suppérieures non pas d'effet sur la physique à l'échelle de la masse de l'électron ou en dessous.qu'est ce qui justifie ce troncage du développement de la densité lagrangienne ?
Il faut voir le lagrangien QED comme le premier ordre d'un développement effectif. Historiquement les gens se sont arreter la car ils pensaient qu'une théorie quantique devait etre renormalisable pour avoir un sens physique. Aujourd'hui la situation a muri et les lagrangiens non-renormalisables sont tres utiles en TQC car ils décrivent de manière effective les effets d'une physique vivant à hautes énergies sur la dynamique d'une physique à basse énergie.
Ainsi il faut voir les autres opérateurs (qu'on a tronqué) ne sont de petites corrections à QED pour des énergies inférieur à la masse de l'électron.
