Bonjour à tous,
Je dois montrer que la suite (sin n) est divergente par l'absurbe.
Indication donnée par l'énoncé : Considérer les sous suites (sin(n+1)) et (sin(2n)) puis utiliser sin²+cos²=1 pour la contradiction ...
Je n'arrive pas à faire grand chose de ces 2 suites ...
Merci d'avance
Je pense qu'en utilisant le fait que sin(2n)=2sin(n)cos(n), puis en trouvant vers quoi tend cos(n) si on suppose que sin(n) tend vers une limite, puis en en déduisant une égalité que doit respecter la limite, et en faisant de même pour sin(n+1), tu devais aboutir.
supose que ça converge vers L . Alors sin(n+1)-->L
Et avec sin² + cos² =1 tu trouves 2 valeurs possibles pour L : appelons les a et b .
mais sin (2n) = 2sin(n)cos(n) doit aussi tend vers L
donc tu dois aussi avoir a et b qui vérifent : 2*racine ( 1 - x²) = 1 .. est-ce le cas ? .. donc ?
Salut,
Une manière de voir (proche de celles déjà dites):
Tu supposes que sin(n)->L,
1er cas: L=0, en utilisant sin(n+1)=sin(1)cos(n)+sin(n)co s(1), tu trouves la limite de cos(n), et contradiction avec cos²+sin²=1
2nd cas: L différent de 0, en utilisant sin(2n)=2sin(n)cos(n), tu trouves que cos(n)->1/2
En utilisant cos(2n)=cos²(n)-sin²(n) et le passage à la limite, tu as: 1/2=1/4-L², soit L²=-1/4, contradiction.
Cordialement,
En prenant la méthode de Luckylucky,
On suppose lim sin(n)=l
Pour la sous suite sin(n+1):
on trouve l=a ou b
avec a=lim racine(1-cos²(n+1))
b=lim - racine(1-cos²(n+1))
Pour la sous suite sin(2n) :
l=lim 2cos(n)sin(n)
A partir de la je ne suis plus du tout ton raisonnement...
On doit vérifier que
lim 2cos(n)sin(n)=lim racine(1-cos²(n+1))
ou =lim - racine(1-cos²(n+1))
sin ( n+1 ) = sin n cos 1 + cos n sin 1
par passage à la limite : L = L cos1 + racine (1-L²) sin1
tu mets les L d'un coté, la racine de l'autre et t'élève au carré :
L²(1-cos1)²=(1-L²)sin²1
Maintenant factorisation par L² , et en utilisant que cos² + sin² = 1
2L²(1-cos1)=sin²1=1-cos²1=(1-cos1)(1+cos1)
donc L²=(1+cos1)/2 là tu as les 2 valeurs possibles.
Maintenant avec sin(2n)=2sin(n)cos(n) on a L=2L*racine(1-L²) donc L²=3/4
Alors tu déduit de tes 2 égalités que 3/2=1+cos1 ie cos1=1/2 .. et ça c'est faux . Donc L n'existe pas, et sin n n'a pas de limite.
Parfait merci bcp pour votre aide et surtout toi luckylucky
