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Divergence de sin n



  1. #1
    Vhopkins

    Divergence de sin n


    ------

    Bonjour à tous,

    Je dois montrer que la suite (sin n) est divergente par l'absurbe.

    Indication donnée par l'énoncé : Considérer les sous suites (sin(n+1)) et (sin(2n)) puis utiliser sin²+cos²=1 pour la contradiction ...

    Je n'arrive pas à faire grand chose de ces 2 suites ...

    Merci d'avance

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  4. #2
    Thorin

    Re : Divergence de sin n

    Je pense qu'en utilisant le fait que sin(2n)=2sin(n)cos(n), puis en trouvant vers quoi tend cos(n) si on suppose que sin(n) tend vers une limite, puis en en déduisant une égalité que doit respecter la limite, et en faisant de même pour sin(n+1), tu devais aboutir.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #3
    luckylucky

    Re : Divergence de sin n

    supose que ça converge vers L . Alors sin(n+1)-->L
    Et avec sin² + cos² =1 tu trouves 2 valeurs possibles pour L : appelons les a et b .
    mais sin (2n) = 2sin(n)cos(n) doit aussi tend vers L
    donc tu dois aussi avoir a et b qui vérifent : 2*racine ( 1 - x²) = 1 .. est-ce le cas ? .. donc ?

  6. #4
    Ledescat

    Re : Divergence de sin n

    Salut,

    Une manière de voir (proche de celles déjà dites):
    Tu supposes que sin(n)->L,
    1er cas: L=0, en utilisant sin(n+1)=sin(1)cos(n)+sin(n)co s(1), tu trouves la limite de cos(n), et contradiction avec cos²+sin²=1

    2nd cas: L différent de 0, en utilisant sin(2n)=2sin(n)cos(n), tu trouves que cos(n)->1/2
    En utilisant cos(2n)=cos²(n)-sin²(n) et le passage à la limite, tu as: 1/2=1/4-L², soit L²=-1/4, contradiction.

    Cordialement,
    Cogito ergo sum.

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  8. #5
    Vhopkins

    Re : Divergence de sin n

    En prenant la méthode de Luckylucky,

    On suppose lim sin(n)=l

    Pour la sous suite sin(n+1):
    on trouve l=a ou b

    avec a=lim racine(1-cos²(n+1))
    b=lim - racine(1-cos²(n+1))

    Pour la sous suite sin(2n) :
    l=lim 2cos(n)sin(n)

    A partir de la je ne suis plus du tout ton raisonnement...

    On doit vérifier que

    lim 2cos(n)sin(n)=lim racine(1-cos²(n+1))
    ou =lim - racine(1-cos²(n+1))
    Dernière modification par Vhopkins ; 18/02/2009 à 15h29.

  9. #6
    luckylucky

    Re : Divergence de sin n

    sin ( n+1 ) = sin n cos 1 + cos n sin 1
    par passage à la limite : L = L cos1 + racine (1-L²) sin1
    tu mets les L d'un coté, la racine de l'autre et t'élève au carré :
    L²(1-cos1)²=(1-L²)sin²1

    Maintenant factorisation par L² , et en utilisant que cos² + sin² = 1
    2L²(1-cos1)=sin²1=1-cos²1=(1-cos1)(1+cos1)
    donc L²=(1+cos1)/2 là tu as les 2 valeurs possibles.

    Maintenant avec sin(2n)=2sin(n)cos(n) on a L=2L*racine(1-L²) donc L²=3/4

    Alors tu déduit de tes 2 égalités que 3/2=1+cos1 ie cos1=1/2 .. et ça c'est faux . Donc L n'existe pas, et sin n n'a pas de limite.

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  11. #7
    Vhopkins

    Re : Divergence de sin n

    Parfait merci bcp pour votre aide et surtout toi luckylucky

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