Contraction de tenseurs

[Jon83]

Bonjour à tous!
Je pense avoir compris la technique Mathématique , mais je ne comprends pas son utilité pratique (en Physique par exemple) ???
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[gts2]

Bonjour,

Si vous parlez de la contraction entre deux tenseurs, un exemple simple est le produit scalaire, et l'usage du produit scalaire en physique est large.

[mach3]

Dans quasiment toutes les équations liées à la relativité générale, il y a des contractions de tenseurs.
Le tenseur de Ricci, qui intervient dans l'équation d'Einstein, est le tenseur de courbure de Riemann contracté sur lui-même.
Le scalaire de Ricci, qui intervient aussi dans cette équation, est le tenseur de Ricci contracté sur lui-même (dans le détail c'est une double contraction avec le tenseur métrique inverse).
La contraction du tenseur métrique avec des vecteurs permet de définir les "longueurs" (au sens large) des vecteurs et les "angles" (au sens large aussi) entre les vecteurs.

Etc.

m@ch3

[ThM55]

Si on a un tenseur de type (n,n) et que l'on contracte tous ses indices on obtient un scalaire qui ne dépend pas du choix du système de coordonnées. C'est un invariant. Cela permet d'extraire des grandeurs tensorielles des grandeurs scalaires que l'on peut mesurer sans dépendance au système de coordonnées. Par exemple en relativité restreinte, le tenseur métrique a une forme simple dans un système inertiel, notons le . En le contractant avec le vecteur tangent à une courbe de genre temps paramétrée par un paramètre affine on obtient une forme dont l'intégrale sur la trajectoire est un invariant, qui est le temps propre du mobile:



Avec un énoncé identique pour la relativité générale où la métrique a une courbure.

En général une grandeur physiquement mesurable de manière invariante provient de la contraction de tenseurs. Une composante de tenseur dépend en général du système de coordonnées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Bonjour à tous!
Je pense avoir compris la technique Mathématique , mais je ne comprends pas son utilité pratique (en Physique par exemple) ???

Une contraction est une somme sur les produits des composantes une à une.

Le cas de base est l'application d'une forme linéaire sur un vecteur. En 3D, prenons V un vecteur, de composantes (x^1, x^2, x^3), et une forme linéaire W (w_1, w_2, w_3), dans la base duale.

La contraction entre V et W donne le scalaire résultant de l'application de W sur V, soit w_1 x^1 + w_2 x^2 + w_3 x^3.

L'idée se généralise à tout tenseur, et cela sert partout où on a de l'algèbre linéaire et multi-linéaire.

Différentes conventions permettent de simplifier, principalement en permettant de ne pas écrire la somme terme à terme. Déjà en utilisant la notation somme sur l'indice contracté, par exemple .

Un autre exemple est l'application d'une forme bi-linéaire sur deux vecteurs (par exemple avec g une métrique, c'est un produit scalaire), il y a une contraction sur i et une contraction sur j. La norme serait .

Une convention réduisant encore la notation est celle dite "d'Einstein", selon laquelle le signe somme (indiquant la contraction) est sous-entendu si un indice muet de même lettre apparaît une seule fois en haut et une seule fois en bas. Dont, pour les exemples ci-dessus, , , etc.

Pour répéter cela sert partout où on a de l'algèbre linéaire et multi-linéaire, à plein d'endroits en physique.