Contraction de tenseurs

[Murmure-du-vent]

Bonjour

Quand on multiplie une matrice par un vecteur colonne à sa droite ou un vecteur ligne à sa gauche on utilise un truc mnémotechnique pour contracter deux tenseurs. Existe t il des méthodes pratiques pour calculer des contractions sur des formules
plus complexes?
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Une manière 'pratique' (mais qui nécessite tout de même un peu d'entraînement) pour contracter n'importe quels tenseurs (et bien plus) est d'utiliser la convention d'Einstein: https://fr.wikipedia.org/wiki/Conven...n_d%27Einstein

Dans votre exemple, cela donne: et

[Murmure-du-vent]

Prenons un exemple,
J'ai deux représentations du groupe SU(2) soient donc deux matrices
et le tenseur completement antisymetrique
j'aimerais vérifier si le produit contracté de ses 3 tenseurs est antisymétrique. Y a t il un truc mécanique por ecrire
le résultat? (je veux dire dans le genre multiplication matricielle)?

.

[Universus]

Bonjour,

Ça se fait aisément. Pour A fixe, définissez un vecteur ligne où A étiquette ledit vecteur et n'est pas un indice du vecteur. De façon analogue, pour B fixe, définissez un vecteur colonne . Définissez finalement une matrice qui, par hypothèse d'antisymétrie, vérifie .

Dans ce cas, le scalaire . Vous souhaitez donc montrer que . De prime abord, si , il n'y a pas de raison que ce soit le cas, mais puisque vous travaillez avec des représentations précises, cela fonctionne peut-être.

Cependant, à moins que vous ayez deux représentations très explicites, de sorte que vous pouvez écrire les vecteurs explicitement, le calcul indiciel mentionné par Paraboloide_Hyperbolique est bien plus pratique pour résoudre un tel problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Murmure-du-vent]

Merci pour vos réponses. Avant de vérifier vos formules, j'aimerais biencomprendre un truc
Soit le tenseur à 4 composantes antisymétrique avec
Y a t il une définition "naturelle de
Je lis un livre ou il y a des égalités cohérentes avec
Est ce une convention?

[Universus]

Bonjour,

Évidemment, il y a toujours une question de notation, ce qui tient un peu de la convention. Cependant, la distinction entre l'objet et l'objet est qu'il s'agit « d'applications » inverses : en utilisant la convention d'Einstein (c'est-à-dire en sommant sur l'indice répété), nous avons le delta de Kronecker . Ceci peut s'interpréter comme une égalité entre matrices, dans quel cas ceci dit que les deux matrices sont inverses l'une de l'autre.

La matrice que vous associez à est . Dans ce cas, la matrice à associer à doit être la matrice inverse, à savoir .

[Murmure-du-vent]

En fait le livre où j'ai des problemes est
http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/IntroductionLQG.pdf

Pourriez vous regarder les équations (1.22) page 35
Déjà que pour moi une matrice c'est avec un indice en haut pour ligne et un en bas pour colonne...

[Universus]

Bonjour,

Je me doutais que vous pourriez aller vers les spineurs. Dans ce cas, ce que j'ai dit ne s'applique pas tout à fait, car nous ne travaillons plus vraiment avec des tenseurs (malgré ce qu'écrivent Rovelli et Vidotto, dont l'emploi du mot « tenseur » est plus physicienne que mathématicienne). L'exercice 1.1 montre que , de sorte que nous obtenons une racine carrée de la matrice identité (un peu dans l'esprit qu'une spineur et les « tenseurs spinoriels » sont des racines carrées des vecteurs et des « tenseurs vectoriels » ). L'exercice parle de lui-même, il n'y a pas grand chose à ajouter ici.

Une matrice n'est qu'un tableau rectangulaire d'entrées : il n'importe pas de savoir où placer les indices déterminant les coefficients. Il s'avère que nous pouvons représenter une application linéaire comme une matrice (pour autant que des bases soient spécifiées), mais ce n'est qu'une représentation : la matrice elle-même n'est pas l'application linéaire. De même, un produit scalaire peut être représenté (pour autant qu'une base de E ait été spécifiée) par une matrice, quand bien même un produit scalaire n'est pas une application linéaire.

Dans la notation indicielle (ou tensorielle, voire encore spinorielle), l'emplacement des indices donne une indication sur la nature de l'objet considéré. Or, rien n'empêche de voir ses composantes comme des quantités étiquetées, dans quel cas on peut représenter l'objet par une matrice : la matrice elle-même ne sait rien de la nature de l'objet, ne donnant que la valeur de ses composantes.

[Murmure-du-vent]

Je suppose que si dans le livre de Rovelli et l'objet
sont écrits avec la meme matrice, c'est dans deux bases différentes. De quel genre ces bases? vecteurs, formes lineaires?
l'un et l'autre?

[Universus]

Un spineur est grosso modo un élément de (l'espace vectoriel de) la plus petite représentation (irréductible) non triviale d'un groupe de rotations. Par exemple, la -ème représentation irréductible du groupe agit sur , et le spin de la particule ainsi décrite est . Un vecteur est dans la représentation , un spineur est dans la représentation .

Il s'avère que, comme représentations, , la partie étant en fait obtenue en symétrisant le produit tensoriel. En d'autres termes, supposons que est une base de . Un vecteur avec sommé sur l'ensemble (car le vecteur est 3D) peut s'écrire sous la forme avec A et B sommés sur l'ensemble ; pour ce faire, en posant , il suffit d'effectuer l'association . Ainsi, , et .

Ainsi, lorsque Rovelli et Vidotto écrivent , il faut voir cela comme définissant un objet ; par hypothèse d'antisymétrie, cet objet appartient à la partie de ce produit, de sorte que . L'objet donné par appartient à l'espace dual.

[Murmure-du-vent]

Merci pour votre réponse si détaillée.

Le produit tensoriel de deux spineurs

peut se réécrire

Ca correspond à

Existe t il une opération du style contraction entre et ce produit tensoriel de spineur qui donne cette partie anti symétrique?
Idem pour la partie symétrique avec autre chose que

Merci

[Universus]

Bonjour,

Il y a un peu un éventail de réponses possibles, tout dépendant de ce qui vous apparaît comme une bonne opération. En dimension 2 cependant, pour la partie antisymétrique, une réponse passablement affirmative est possible.

Il est à noter qu'un « spineur » est un vecteur dans un sens abstrait, car étant un élément d'un espace vectoriel (abstrait). Lorsque je parlais de « vecteur », c'était en un sens « concret », c'est-à-dire que les éléments de la 2ème représentation de SO(3) sont dans la complexification de l'espace tridimensionnel « physique » : . D'un point de vue disons anthropocentrique ou physique, l'espace vectoriel est assez tangible et l'espace « spinoriel » correspond de manière abstraite à sa « racine carrée » ; d'un point de vue mathématique cependant, la 1ère représentation est plus simple et permet de construire toutes les autres qui suivent.

Ainsi, comme constructions algébriques, il n'y a pas de différence entre l'isomorphisme et l'isomorphisme peut-être plus usuel en géométrie différentielle sur les vecteurs tangents à une variété. Il ne faut donc pas se laisser impressionner par le mot « spineur ».

Supposons que la variété (disons réelle) M est une surface, de sorte que chaque plan tangent est bidimensionnel ; alors est quadridimensionnel, est unidimensionnel et est tridimensionnel. Formellement, nous sommes dans la même situation qu'avec les spineurs, mais vous y verrez peut-être plus clair.

Le produit extérieur est isomorphe à dès qu'un 2-vecteur de base a été choisi : on peut identifier et . Si , alors

.

Si on prend , alors est identifié au réel . En notant la base de duale à la base , alors , d'où

.

L'attrait de cette relation pour votre question est qu'en notation tensorielle (à la Wald), elle s'écrit . En identifiant un 2-vecteur à un réel, nous pourrions aussi simplement écrire . Ainsi, le produit extérieur et la contraction avec le 2-tenseur covariant antisymétrique sont des opérations identifiées.

Si nous considérons plutôt supérieure à 1, ou si nous considérons en dimension supérieure à 2, alors aucun de ces espaces n'est isomorphe à et il faut plus d'un 2-tenseur covariant (anti)symétrique pour lier le produit tensoriel (anti)symétrisé à la contraction.

[Murmure-du-vent]

Merci. c'est tres exactement la formule que je cherchais de maniere empirique.