Billes qui se percutent... (divertissement)

[Nekama]

Bonjour,

Je propose un petit problème mais à titre de "divertissement", pour tous ceux qui aiment se casser les méninges.

On dispose de deux cylindres qui ont tous les deux un rayon R et une masse M.
Un des deux est au bord en haut d'un plan incliné à une hauteur H de l'autre. Il a une inertie I_a = a MR².
L'autre est situé en bas du plan incliné. Il a une inertie I_b = b MR².
La distance (mesurée au sol ; en béton tout du long) qui sépare les deux points de contact des cylindres avec ce dernier est de D.
Le coefficient de frottement dynamique et le coefficient de roulement sont égaux et valent respectivement µ_d = µ_r = µ.
Le coefficient de frottement statique au niveau du sol, également nommé d'adhérence µ_a > 2 tg(th) où th est l'angle que fait la pente du plan incliné.

On pousse légèrement la bille rouge qui se met à dévaler la pente.

Quelle distance sépare les 2 billes une fois à l'arrêt ?


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[Resartus]

Bonjour,
Pas sûr de comprendre ce que vous appelez les "inerties" Ia et Ib. Si c'est le moment d'inertie, voulez-vous dire que ces cylindres ne sont pas homogènes et/ou pas pleins, et donc que les coefficients a et b pourraient valoir autre chose que 1/2, qui est la valeur pour un cylindre homogène plein?

Par ailleurs, un coefficient de roulement non nul est indispensable pour que les cylindres s'arrêtent*, mais il est généralement très petit en comparaison du coefficient de frottement dynamique, qui est lui en général proche (bien qu'inférieur) au coefficient de frottement statique. Imposer l'égalité ne semble pas très réaliste.

*sous réserve que le plan final soit bien horizontal, et pas en pente comme le laisserait penser votre image...

[Nekama]

Bonjour,
Pas sûr de comprendre ce que vous appelez les "inerties" Ia et Ib. Si c'est le moment d'inertie, voulez-vous dire que ces cylindres ne sont pas homogènes et/ou pas pleins, et donc que les coefficients a et b pourraient valoir autre chose que 1/2, qui est la valeur pour un cylindre homogène plein?

Oui, I est le moment d'inertie.
Le a et le b sont là pour considérer des cylindres non homogènes :
- un cylindre peut être totalement creux (I = MR^2)
- un cylindre homogène (I = 1/2 MR^2)
- un cylindre dont toute la masse est sur l'axe (I = 0).

Par ailleurs, un coefficient de roulement non nul est indispensable pour que les cylindres s'arrêtent*, mais il est généralement très petit en comparaison du coefficient de frottement dynamique, qui est lui en général proche (bien qu'inférieur) au coefficient de frottement statique. Imposer l'égalité ne semble pas très réaliste.

C'est le cas pour des surfaces lubrifiées (< 0,1) ou pour des roues en caoutchouc sur une surface lisse.

[Black Jack 2]

Bonjour,
Pas sûr de comprendre ce que vous appelez les "inerties" Ia et Ib. Si c'est le moment d'inertie, voulez-vous dire que ces cylindres ne sont pas homogènes et/ou pas pleins, et donc que les coefficients a et b pourraient valoir autre chose que 1/2, qui est la valeur pour un cylindre homogène plein?

Par ailleurs, un coefficient de roulement non nul est indispensable pour que les cylindres s'arrêtent*, mais il est généralement très petit en comparaison du coefficient de frottement dynamique, qui est lui en général proche (bien qu'inférieur) au coefficient de frottement statique. Imposer l'égalité ne semble pas très réaliste.

*sous réserve que le plan final soit bien horizontal, et pas en pente comme le laisserait penser votre image...

Bonjour,

Voila par exemple trouvé sur le net :


https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...e_au_roulement

http://ekladata.com/phcQ9ZNN8Enzh1Rb...rottements.pdf

Extraits des liens :

Pour comparer les coefficients, il faut évidemment se placer dans le même cas (ou à peu près) dans les 2 tableaux

Par exemple : acier sur acier lubrifié
coeff frottement (dynamique) = 0,09
coeff roulement = 0,001 à 0,0024

Cela va bien dans le sens de ta remarque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Rebonjour,

J'amorce la pompe.

Je présume que les billes de la dernière ligne de l'énoncé sont les cylindres du début de l'énoncé.

Les indications sur les valeurs des différents coefficients (frottement dynamique, roulement) sont tels que le cylindre rouge va rouler sans glisser sur tout le trajet avant le choc avec le bleu.

L'énergie cinétique Ec du cylindre rouge juste avant le choc est mgH - pertes de roulement sur le trajet.

Les pertes de roulement sont protionnelles à la réaction normale du support sur le cylindre et donc proportionnelles à mg sur le trajet horizontal et proportionnelles à mg.cos(theta) sur le trajet sur le plan incliné.

Et donc Ec = mgH - µ.m.g.cos(theta).H/sin(theta) - µ.m.g.(D - H/sin(theta))

On a aussi Ec = 1/2.mv² + 1/2.I.w² (avec w = v/r) puisque roulement sans glissement.
avec I = a.m.R²

Juste après le choc:
Le cylindre bleu est en glissement pur avec la vitesse v de la ligne précédente et le mouvement va progressivement aller vers du roulement à cause des pertes au sol, on peut calculer la distance parcourue dans ce parcours en roulement + glissement et enfin calculer la distance parcourue en roulement seul (l'énergie ici se dissipe par le travail de la force de roulement)
Attention qu'ici le moment d'inertie du cylindre est b.m.R².

Le cylindre rouge est en roulement seul autour de son axe avec la vitesse angulaire w ci-dessus, il "patine" et a une vitesse nulle (de son centre d'inertie). La force de frottement (encore faut-il dire laquelle) avec le sol va engendrer un couple sur le cylindre qui va progressivement augmenter sa vitesse linéaire (et diminuer sa vitesse angulaire) (pendant cette phase, on a évident pas w = v/R), on peut calculer la distance parcourue dans cette phase ... et ensuite, lorsque le cylindre fini en roulement seul (ici, on a w = v/R), l'énergie cinétique restant est dissipée par le travail de la force due au coefficient de roulement ... et on peut donc calculer aussi la distance parcourue lors de cette phase.
Et enfin calculer la distance qui sépare les 2 cylindres lorsqu'ils se retrouvent à l'arrêt.

Tout ceci en négligeant, l'effet "engrenage" connu au billard au moment du choc entre les 2 cylindres ... qui devrait avoir un effet négligeable (avec un coefficient de frottement entre les cylindres réaliste).

Si quelqu'un a le courage d'écrire toute la résolution (rien d'insurmontable, mais un peu longuet à faire) ...