Démonstration et remarques à propos des transformations de Lorentz.
Essai de démonstration des
transformations de Lorentz.
Gérard BESSE, Janvier 2025
Bonjour et Merci de bien vouloir me donner
votre avis sur ce texte.
Il représente mon humble effort personnel
de compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de base de la théorie de la relativité.
J'espère ce texte suffisamment
compréhensible pour pouvoir susciter
quelque intérêt :
Soit donc un référentiel galiléen S1 et son
origine O1.
On est dans le vide, et c est la vitesse
de la lumière, constante dans ce milieu
pour tout système galiléen en translation
uniforme.
Ceci selon les lois de la relativité
restreinte.
Soit un second référentiel galiléen S2,
d'origine O2, en mouvement rectiligne
uniforme par rapport au premier.
Il se déplace à la vitesse v par rapport
à S1, et sur l'axe des x.
À l'instant t=0, O2 est en O1 et un signal
lumineux est envoyé en M (x1) sur S1,
suivant l'axe des x.
M est d'abscisse M(x2) sur S2.
Le signal est reçu sur S2 en M(x2,t2)
à l'instant t2, tel que :
t2= x2/c
Il est reçu en M(x1,t1) sur S1 à l'instant
t1= x1/c.
Le déplacement de O' par rapport à O
dans cet intervalle, entraîne sur S', ¥ t' :
x2 = x1-vt2 = x1-vx2/c,
D'où les coordonnées en M quand
le signal est reçu :
x1 = x2 (1+v/c)
Maintenant, soit dans le vide, un troisième
référentiel galiléen S3 qui se déplace dans
le sens inverse de l'axe des x, donc à la
vitesse -v par rapport à S1.
On envoie un signal lumineux dans ce sens
Inverse, sur la direction de l'axe des x.
De même on pose t= 0 quand au départ du
signal, O3 coïncide avec O. Si t3 est le temps
mis par ce signal pour arriver en M (x3, t3),
on a alors sur S3 et ¥t :
t3 = x3/c
Le même signal est reçu en M3 (x'1,t'1)
au temps du système S1 :
t'1 = x'1/c
¥t, on peut aussi écrire en abcisses, selon
le déplacement de O3 par rapport à O
pendant le temps de transit du signal:
O3 M3 = O3 O + O M3 or O O3 = -vt3
D'où :
x3 = vt3 + x'1
et comme t3 = x3/c, On a alors :
x'1 = x3 (1-v/c)
Si l'on suppose maintenant t= t',
l'isotropisme présupposé du continuum
implique de considérer ces deux
expériences comme inverses l'une de
l'autre.
On peut dès lors considérer M3 comme
le symétrique de M par rapport à O.
D'où pour S3 :
x3 = -x2 , et : x'1 = -x1
Ce qui entraîne :
x1 = x2 (1-v/c)
Et comme précédemment on avait pour
S2 :
x1 = x2 (1+v/c)
On en déduit par le produit des deux
égalités, si 1-v/c est non nul :
x1 carré = x2 carré (1- v2/c2)
Ou encore, si (1- v2/c2) est
supérieur à 0 :
x2 = x1/ 1- v2/c2)
et comme x/c = t
t2 = t1/ 1- v2/c2)
Si l'on pose pour simplifier,
b = 1/ 1- v2/c2)
On a pour tout instant t
x2 = bx1 et t2 = bt1
Ce qui signifie que le signal envoyé sur S1
depuis O1= O2 à l'instant t=0, arrive en M
à ces coordonnées respectives sur S1 et S2.
On peut aussi généralement écrire, pour
deux systèmes Galiléens S et S',
considérant les écarts :
x' = bx et t' = bt
Puis la longueur d'un segment correspondant
sur un système, au temps mis par la lumière
dans ce système, pour le parcourir d'une
extrémité à l'autre:
l' = bl et t' = bt
Maintenant, si l'on considère un segment
M1 M2 dont M1 serait en O' à l'instant t,
on a pour son autre extrémité M2, pour tout
instant t :
O'M2 = x' = b(O'O + OM2) d'où
x' = b(-vt + x)
x' = b(x-vt)
Ce qui donne, pour le temps, en divisant
par c, come x/c = t :
t' = b(t-vt/c)
t' = b(t-vx/c2)
REMARQUE :
Pour résoudre le problème, j'ai dû supposer
1-v2/c2 non nul.
Si 1-v2/c2 est nul, soit v=c, la résolution
est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que
1-v2/c2 soit positif pour en extraire la
racine. Ceci a donné la solution précédente.
Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires,
il existerait encore des solutions si 1-v2/c2
était négatif, soit, si v, la vitesse de S' par
rapport à S, était supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment
S' pourrait recevoir le signal de O venant du
systeme S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi éliminer cette solution introduisant un autre espace temps ?
Formellement, on aurait alors deux autres
solutions pour 1-v2/c2 négatif, dans un
espace " imaginaire" en :
i v2/c2-1 et -i v2/c2-1 ou bien :
i I1-v2/c2I et -i I1-v2/c2I
Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i v2/c2 -1 , et
x2 = x1/-i v2/c2 -1
Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i v2/c2 -1 , et
x' = (x- vt)/ -i v2/c2 -1
En effet, la vitesse de la lumière est
considérée comme inaccessible à cause
du diviseur 1-v2/c2 nul, et des notions de
masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas
considérer pour autant, l'existence possible
de systèmes pouvant se déplacer dans un
espace à cinq dimensions à des vitesses
supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait
alors pas forcément eu besoin de dépasser
la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à
cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées
imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace
temps, resterait à découvrir.
Suis-je en plein délire de science fiction,
ou bien dans une réflexion crédible ?
Ces autres solutions au problème ont
certainement été entrevues ou évoquées
par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tous cas, ces solutions aux
transformations, ont-elles été délaissées ?
C'est poser là, j'en conviens, beaucoup de
questions, mais comme la peur du ridicule
ne tue pas...
Merci de me donner votre avis sur ce texte,
Il représente mon humble effort personnel
de compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de la
théorie de la relativité.
Scientifiquement vôtre.
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Envoyé par GWCL 