Bonjour,
Je cherche à obtenir l'équation du mouvement du sommet de la représentée sur les 2 photos ci-dessous, soumise à une excitation sinusoïdale de la part de la table sismique
J'ai essayé avec un PFD mais j'ai du mal avec les forces de réaction des 4 tiges et la force exercée par le pendule
Merci beaucoup
Image 14-05-2025 à 19.51.jpeg
Image 14-05-2025 à 19.54.jpeg
Bonjour,
Dans un premier temps (et même un deuxième) vous pouvez considérer que les quatre tiges ont le même comportement et donc ne prendre qu'une tige.
Ensuite je suppose que les tiges fléchissent et donc l'étude est une étude d'un modèle continu pas d'un solide.
Vous pouvez pour commencer considérer que l'action de la tige sur la plate-forme est équivalente à celle d'un ressort dont l'autre extrémité est relié à la table.
Il sera toujours tant ensuite de justifier cette équivalence.
Vous avez donc une plate forme que l'on va supposer rigide reliée à un ressort et qui soutient le pendule.
Bonjour,Envoyé par eleve2
Cela risque fort de donner un mouvement chaotique infiniment dépendant des conditions initiales tel celui-ci: https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=m923FsfhNYE
Bonjour
En tenant compte du premier schéma et du message #2, on peut penser que le mouvement vibratoire horizontal de la table vibrante et l'élasticité des quatre tige imposent à la plaquette supérieure un mouvement de translation. Dans un repère adéquat fixe par rapport à la terre, son déplacement horizontal peut s'écrire : xt=b.sin(w.t) et son déplacement vertical : yt=-b.cos(w.t) où w désigne la pulsation des vibrations de la table. On peut alors simplement écrire l'équation différentielle vérifiée par l'élongation angulaire θ du pendule dans le référentiel non galiléen. On fait ainsi intervenir deux pseudo forces d'inerties :
1° / Une première force verticale qui s'ajoute algébriquement au poids. Tout se passe comme si le poids variait périodiquement : cela conduit à un phénomène de résonance paramétrique pour w=2wo où wo désigne la pulsation propre du pendule.
2°/ une seconde force horizontale qui correspond à une excitation périodique du pendule : cela conduit à un phénomène de résonance ""classique" pour w=wo.
La résolution sous Python de l'équation différentielle confirme ces remarques.
L'amplitude reste quasiment constante en dehors des deux cas précédents. Voi les courbes simulées pour w=2wo et pour w=wo. Je laisse eleve2 interpréter ces courbes.
pendule_parametrique1.png
pendule_parametrique2.png
Cette phrase est incomplète, il faudrait préciser : "référentiel non galiléen de la tablette supérieure".On peut alors simplement écrire l'équation différentielle vérifiée par l'élongation angulaire θ du pendule dans le référentiel non galiléen .
PS : mon étude précédente exclue tout couplage entre le mouvement du pendule et le mouvement de la tablette supérieure. C'est une bonne approximation à condition que la masse du pendule soit faible devant celle de l'ensemble {tablette, tiges}
Tout à fait, mais vu le but du jeu sous-entendu (TMD), enfin je suppose, il y a couplage puisque le but est de réduire xt.
S'il y a couplage, l'étude est beaucoup plus complexe et utilises des résultats de RDM. Je pense tout de même que cela doit conduire à un phénomène de résonance...
S'il y a couplage, l'étude est beaucoup plus complexe et utilises des résultats de RDM. Je pense tout de même que cela doit conduire à un phénomène de résonance...
Bonsoir,
Sur la photo, lorsque l'on voit la masse du pendule, la " physionomie " des 4 pieds, à moins d'avoir un déplacement important de la table, ce sont les pieds qui vont absorber les déplacements car ils n'ont aucune raideur dans le sens du déplacement et en plus avec les rayons de pliage, tout concours à ce que le pendule tende à ne pas bouger.
Il faudrait peut-être que le primo-posteur donne quelques indications : que se passe-t-il quand la table vibre, et idem lorsque le pendule est immobilisée (ou sans pendule).
Merci beaucoup à tous pour vos réponses,
Je précise que la table sismique a un déplacement sinusoïdal x_0 (t) = A cos(ωt). Les tiges sont rigides mais dans le cadre de la modélisation je préfèrerais les supposer souples car sinon cela deviendrait trop compliqué. Quand la table vibre, le bâtiment bouge et le pendule aussi. Sans pendule, le bâtiment bouge également. Dans certains cas (pour des tiges de 25 cm), l'amplitude des oscillations à la résonance est plus faible avec le pendule, en revanche pour d'autres cas (tiges de 35 cm), la présence du pendule augmente les amplitudes maximales.
Si j'ai bien compris, gts2 et petitmousse49 proposent de supposer que le déplacement du sommet de la tour est le même qu'une masse attachée à un ressort qui oscille horizontalement. Mais dans ce cas il faudrait une relation liant sa constante de rappel k à la hauteur des tiges et d'autres paramètres éventuels non ?
Dernière modification par eleve2 ; 16/05/2025 à 14h14.
Au vu de la photo, j'émet des doutes sur le fait que les tiges soient rigides. Et si elles étaient rigides cela serait plus simple et pas plus compliqué.
Tige rigide => mouvement de la plate-forme égal à celui de la table et vous n'avez plus qu'une variable la position du pendule.
Tige souple => on a deux variables : position de la table et position du pendule.
Pour comparer les cas, il faudrait les fréquences de résonance du bâtiment sans pendule et avec et également la fréquence d'oscillation du pendule seul.
Oui, Mais dans ce cas, pas de tige rigide...
Cela vous le ferez éventuellement dans un deuxième temps : vous pouvez, pour le moment, déterminer k expérimentalement.
Quelques liens :
Mines_Ponts_MP_2007_ Taipei
prepabellevue.org
iut.u-bordeaux.fr
eduscol
Imagine une des quatre tiges verticales dont l'extrémité inférieure est liée à la table. Si tu exerces à l'extrémité supérieure un déplacement horizontal faible x, la tige fléchit et exerce sur le doigt du manipulateur une force de rappel de la forme F=-k.x : on retrouve le comportement d'un ressort. Puisque le plateau supérieur est en translation, les actions des quatre tiges sont identiques. Dans son action influençant le mouvement de translation du plateau, on peu donc assimiler l'action horizontale des quatre tiges à celle d'un ressort de raideur K=4k. La théorie de la résistance des matériaux fournit pour k l'expression suivante :
avec :
L=: longueur d'une tige
E : module de Young du matériau : cela se trouve facilement sur le net
I : moment quadratique d'une section de la tige :
avec : e : épaisseur ; h : largeur de la tige.
Dans mon message #4, je m'étais surtout intéressé à ton premier schéma mais le second suggère des tiges relativement longues et peu épaisses alors que le pendule semble a priori assez lourd. Pas question dans ses conditions de négliger le couplage. L'équation différentielle vérifiée par θ et l'équation diffférentielle vérifiée par xt ne sont pas indépendantes. Seule une résolution numérique est possible.
Par rapport à mon premier message, tu peux aussi négliger le déplacement vertical yt du plateau supérieur et donc supposer que le mouvement de celui-ci est rectiligne horizontale d'élongation xt.
Reste à obtenir les deux équations différentielles vérifiées par xt et par θ...
oui pardon, effectivement j'ai confondu, je voulais dire que les tiges étaient souples mais je préfère considérer qu'elles sont rigides pour simplifier
J'avais déjà vu le sujet Mines Ponts MP 2007 mais ce sujet porte sur un TMD horizontal et non vertical, je ne sais pas si je peux vraiment dire que le sommet du bâtiment aura le même mouvement....
Si les tiges sont rigides, le mouvement de la plate forme supérieure sera celle de la table, indépendamment de la fréquence, de la présence du pendule ...
Il "suffit" de remplacer l'oscillateur TMD par votre pendule.
Bonjour,
Attention, dans la formule du calcul de I, il faut tenir compte du sens de l'effort, pour savoir quel est l'axe de référence et en déduire les e et h.
