Pourquoi la théorie de relativité et la mécanique quantique sont incompatibles ?

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Pouvez vous m'expliquer un peu plus pertinemment, pourquoi la théorie de relativité et la mécanique quantique sont deux théories incompatibles ?

J'entends souvent dire que la vrai raison de cette incompatibilité, est que lorsque on projette la théorie de relativité dans la mécanique quantique, il y a des quantités infinies qui apparaissent, au lieu que ces quantités soient compris entre et . Est ce que vous pouvez m'expliquer toute l'histoire de ces quantités infinies qui apparaissent ? Ils disent que c'est lié au phénomènes de renormalisation. J'ignore dans quel contexte.

Ils disent aussi, que parmi ces sources d’incompatibilité est que le champ d'Einstein ne peut pas être quantifié. Pouvez vous donner plus d'explications sur ce point, pour que ça devient un peu plus clair ?

Merci d'avance.
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[albanxiii]

Bonjour,

Étant donné qu'on trouve trouzemilles références à ce sujet avec une simple recherche google (ne pas oublier "générale" après relativité, sinon cela n'a pas de sens), peut-être pourriez-vous être plus précis dans votre demande, qui n'a pas pour but, j'espère, de voir égrener des généralités déjà écrite ailleurs, voire même sur ce forum (!) ?

[Antonium]

Bonjour,

Ça fait presque 30 ans qu’on sait que la mécanique quantique et la relativité générale peuvent fonctionner ensemble.

Par exemple la théorie quantique de Yang Mills maximalement supersymetrique en 4 dimensions admet une limite classique qui décrit la relativité générale dans un espace asymptotiquement anti de Sitter en 5 dimensions trivialement fibré avec une 5-sphère. On peut donc utiliser la théorie de Yang Mills pour calculer les corrections quantiques pour cette solution particulière de la relativité générale.

On connaît plein d’autres exemples comme celui ci où il n’y a aucune incompatibilité. En revanche on ne connaît pas encore de telle construction pour les solutions de relativité générale que l’on observe autour de nous. Ça ne veut pas dire qu’on en trouvera jamais, c’est juste techniquement difficile. Mais en principe ça peut très bien fonctionner.

Les divergences dont vous parlez sont les divergences usuelles observées en théorie quantique des champs et ne sont pas spécifiques à la gravitation. On observe exactement les mêmes divergences dans la théorie de Fermi, ou même le modèle standard si on interdit pas l’ajout d’opérateurs de dimension 5 ou supérieure compatibles avec les symétries.

On sait aussi très bien quantifier perturbativement des fluctuations du tenseur métrique et cela donne des prédictions universelles pour les premières corrections quantiques au potentiel de Newton.

[La Limule]

Bonjour,
Antonium a raison, par exemple nul signal utilisant les intrications quantique
ne peut parvenir entre Bob et Alice plus vite que la lumiere.
prenons la relativité
Deux particule distince mais de meme spin, de meme charges energie peuve incidemment se croiser en un poin de l'espace temps sans que cela pose de probleme
La mecanique quantique avec le théoreme du clonage quantique reponds
que il ne peut y avair de "Clones"


J'aimerais signaler un point ou l'une dit oui et l'autre dit non:

[A voir en vidéo sur Futura]

[oualos]

La théorie ER=EPR de Süsskind supposant l'existence d 'une cinquième dimension émet l'hypothèse que tout l'univers est maillé par des trous de ver ce qui expliquerait en tout cas l'intrication et même plus généralement permettrait de déduire la Mécanique Q de la Relativité: seul problème, on ne sait pas prouver l'existence de cette dimension supplémentaire pour des raisons évidentes.
Gageons que peut-être dans le futur des chercheurs mettront en évidence des expériences permettant de l'attester.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci à vous 4 pour vos réponses.

Les divergences dont vous parlez sont les divergences usuelles observées en théorie quantique des champs et ne sont pas spécifiques à la gravitation. On observe exactement les mêmes divergences dans la théorie de Fermi, ou même le modèle standard si on interdit pas l’ajout d’opérateurs de dimension 5 ou supérieure compatibles avec les symétries.

Pouvez vous me donner plus de détails sur ce propos en utilisant un peu de formalisme mathématique, pour que je puisse bien saisir où se trouve exactement le hic ?

Merci d'avance.

[Antonium]

Bonjour,

en théorie quantique des champs, dans le cas le plus simple d'un champ scalaire (on retrouve les mêmes types de calculs pour les champs tensoriels comme la métrique), on s'intéresse à calculer des fonctions de correlations du type



où est un champ scalaire et est l'action du système qui une fonctionnelle du champ . Cette fonction de correlation n'est jamais infinie. Considérons l'exemple non trivial le plus simple

.

Lorsque la mesure est gaussienne et on peut tout calculer exactement en calculant le determinant fonctionnel de l'opérateur .

Lorsque ,on ne sait pas calculer l'intégrale mais on peut formellement expandre l'exponentielle en série et intervertir la série avec l'intégrale de chemin, ce qui est faux et qui est la raison de pourquoi on se retrouvera avec des infinis. On écrit donc une série perturbative (c'est une série asymptotique de rayon de convergence 0)



On se retrouve donc à calculer des moments pour une distribution Gaussienne. En général la série asymptotique est une bonne approximation du résultat exact si on se considère qu'un nombre de termes de l'ordre de , sinon on peut calculer les corrections à l'aide de resommations de Borel.

Pour en venir aux infinis, ils surviennent lorsqu'on calcule ces moments Gaussiens. Par exemple, dans l'espace de Fourier, on se retrouve avec des termes du type (ici à l'ordre en intégrant la fonction de Green de l'opérateur quadratique)



qui est une intégrale divergente si la dimension de l'espace . En général on s'en sort en disant qu'au lieu d'intégrer sur tout , on intègre seulement dans une boule de rayon , et par exemple en on se retrouve avec le terme dominant de l'intégrale étant qui mesure la divergence. On peut continuer le calcul en ajoutant un nouveau terme à l'action, que l'on appelle un contre-terme, qui va générer une nouvelle contribution qui va exactement cancel cette divergence pour laisser un résultat fini. Ce terme est déterminé par une information externe, du type connaître la fonction en un point
.

L'intérêt de faire ça est que, si l'on connait la valeur du corrélateur en un point , cela permet d'éliminer toutes les divergences à l'aide d'un contre-terme, et toutes les prédictions pour la fonction de corrélation à d'autres points sont alors finies. En pratique c'est bien parce que expérimentalement on peut faire un nombre fini de mesures pour déterminer tous les contre termes nécessaires et ensuite faire autant de prédictions que l'on veut, au moins à une précision fixée.

Dans certains cas spéciaux, connaître la fonction en un nombre fini de points permet d'ensuite éliminer toutes les divergences à tous les ordres en . Ces théories sont dites renormalisables. En général la théorie est non renormalisable et il faut connaître la fonction en un nombre infini de points, ce qui semble stupide étant donné que c'est ce qu'on voudrait calculer. En revanche avec un nombre fini de point on peut calculer à un ordre fini en . Autrement dit, étant donnée une précision souhaitée, on peut approximer la fonction de correlation avec un nombre fini de points en input. En ce sens les théories non renormalisables sont quand même prédictives.

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La j'ai détaillé un exemple simpliste de l'origine des divergences et de comment est-ce qu'on les traite. Ces divergences sont communes à toutes les théories quantiques de champs y compris la gravitation.

Des références pédagogiques pour plus de détails :
https://arxiv.org/pdf/0709.3555
https://arxiv.org/pdf/1201.2714

[Anonyme007]

Merci beaucoup Antonium.

[La Limule]

C'est une histoire de renormalisation incompatibles?

[ThM55]

C'est une histoire de renormalisation incompatibles?

C'est plutôt que la relativité générale est de type non renormalisable. Comme Antonium l'a expliqué de manière lumineuse, cela ne signifie pas forcément que la théorie est dépourvue de pouvoir prédictif mais qu'elle est plus limitée. La théorie de Fermi de l'interaction faible était non renormalisable, elle a pourtant été utilisée pendant 40 ans avec des prédictions vérifiées. Mais les théories de type renormalisable ou a fortiori, finies (sans divergences), comme l'espèrent les théoriciens des cordes, sont toujours préférées. La théorie de Fermi a été englobée dans l'unification électrofaible, qui est renormalisable.

Dans le cas de la relativité générale, on peut quantifier son approximation linéarisée (une théorie de champ de spin 2) et calculer des effets quantiques même si elle n'est pas renormalisable car au premier ordre on n'a pas de divergences. On a pu par exemple estimer une correction quantique au décalage du périhélie de Mercure. Le problème dans ce cas et dans des cas similaires est que la correction quantique est tellement petite que cette prédiction est largement inférieure aux erreurs de mesure. Le contenu expérimental d'une théorie quantique de la relativité générale, s'il émerge un jour, sera dans une toute autre échelle énergétique.

[La Limule]

Meci ThM55 et Atonium